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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. José Carlos Morilla 
 
 
 
 
 
 
Santos 
2009 
Prof. José Carlos Morilla
2 
 
1  CÁLCULO VETORIAL .................................................................................................. 4 
1.1  Segmentos Orientados ........................................................................................... 4 
1.2  Vetores ................................................................................................................... 4 
1.2.1  Soma de um ponto com um vetor .................................................................... 5 
1.2.2  Adição de vetores ............................................................................................ 5 
1.2.3  Diferença de vetores ........................................................................................ 6 
1.2.4  Módulo, Direção e Sentido ............................................................................... 6 
1.2.5  Produto de um número real por um vetor. ....................................................... 6 
1.2.6  Espaço vetorial. ............................................................................................... 7 
1.2.7  Exercícios. ....................................................................................................... 7 
1.3  Dependência e Independência Linear. ................................................................... 8 
1.3.1  Definições ........................................................................................................ 8 
1.3.2  Exercícios. ....................................................................................................... 9 
1.4  Base ....................................................................................................................... 9 
1.4.1  Adição entre vetores ...................................................................................... 10 
1.4.2  Multiplicação por um escalar.......................................................................... 11 
1.4.3  Exercícios ...................................................................................................... 11 
1.4.4  Ortogonalidade. ............................................................................................. 12 
1.4.5  Exercícios. ..................................................................................................... 13 
1.5  Mudança de Base ................................................................................................. 13 
1.5.1  Mudança de Base Ortornormal. ..................................................................... 14 
1.5.2  Exercícios. ..................................................................................................... 14 
2  PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES ...................................................... 15 
2.1  Ângulo entre dois vetores. .................................................................................... 15 
2.2  Produto Escalar. ................................................................................................... 16 
2.2.1  Cossenos diretores ........................................................................................ 16 
2.2.2  Projeção de um vetor ..................................................................................... 17 
2.2.3  Propriedades do Produto Escalar. ................................................................. 17 
2.2.4  Exercícios. ..................................................................................................... 18 
2.3  Orientação no espaço V3. ..................................................................................... 19 
2.4  Produto Vetorial .................................................................................................... 19 
2.4.1  Vetores Canônicos ......................................................................................... 21 
2.4.2  Exercícios ...................................................................................................... 23 
2.5  Produto Misto ....................................................................................................... 23 
2.5.1  Propriedades do Produto Misto. ..................................................................... 24 
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3 
 
2.5.2  Exercícios ...................................................................................................... 25 
2.6  Duplo produto vetorial. ......................................................................................... 26 
2.6.1  Exercícios ...................................................................................................... 26 
3  GEOMETRIA ANALÍTICA .......................................................................................... 27 
3.1  Sistemas de Coordenadas Cartesianas ............................................................... 27 
3.1.1  Exercícios ...................................................................................................... 27 
3.2  Retas e Planos ..................................................................................................... 28 
3.2.1  Estudo da Reta. ............................................................................................. 28 
3.2.1.1  Equações Paramétricas da Reta. ............................................................ 28 
3.2.1.2  Exercícios ................................................................................................ 29 
3.2.2  Equações do Plano ........................................................................................ 29 
3.2.2.1  Equações Paramétricas do Plano ........................................................... 32 
3.2.2.2  Exercícios ................................................................................................ 34 
3.3  Posição relativa de retas e planos ........................................................................ 35 
3.3.1  Posição relativa entre duas retas. .................................................................. 35 
3.3.2  Exercícios ...................................................................................................... 36 
3.4  Posição relativa entre uma reta e um plano. ........................................................ 37 
3.4.1  Exercícios ...................................................................................................... 39 
3.4.2  Posição relativa entre planos. ........................................................................ 40 
3.4.3  Exercícios ...................................................................................................... 41 
   
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4 
 
1  CÁLCULO VETORIAL 
 
    
1.1  Segmentos Orientados 
Chamamos de segmento orientado a  Figura 3- Segmentos Opostos 
um  segmento  de  reta  que  possui  sua 
Dizemos  que  dois  segmentos  são 
origem em um ponto e sua extremidade 
equipolentes  quando  eles  possuem  o 
em outro. 
mesmo comprimento, a mesma direção e 
Tome-se,  por  exemplo,  o  segmento  o mesmo sentido. 
mostrado na figura 1. 
 
  Figura 4 - Segmentos Equipolentes 
Figura 1- Segmento de reta orientado   
Na  figura  1  o  segmento  de  reta 
1.2  Vetores 
representado tem sua origem no ponto A 
Chama-se de vetor ao segmento de 
e sua extremidade no ponto B. 
reta orientado que possui sua origem em 
Dizemos que um seguimento é nulo  um  ponto  e  extremidade  em  outro.  Na 
quando  sua  origem  coincide  com  sua  figura 5, o segmento AB é chamado de 
extremidade (A≡B).  vetor AB e indicado por AB. 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Dado um segmento AB, diz-se que o 
segmento BA é o seu oposto. 
 
Figura 5- Vetor AB 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
    
Sempre  que  designarmos  um  vetor 
Figura 2- Segmentos Opostos  este terá em sua designação uma seta, 
orientada para a direita, sobre o símbolo 
Dados dois segmentos orientados AB 
de sua designação. 
e  CD,  como os  mostrados  na figura  3, 
dizemos que eles têm a mesma direção 
Dois vetores AB eCD são iguais se e 
quando  os  segmentos  AB  e  CD  são 
somente  se,  (cid:1)(cid:1)(cid:1)o(cid:1)(cid:1)(cid:2)s   (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)d(cid:1)(cid:1)(cid:2)ois  segmentos 
paralelos ou coincidentes. 
orientados  que  os  representam  forem 
equipolentes. 
Com relação ao seu sentido, dizemos 
que dois segmentos possuem o mesmo 
sentido quando, além de terem a mesma 
direção  possuem  a  mesma  orientação. 
Quando a orientação é oposta, dizemos   
que os segmentos são opostos. 
Figura 6- Vetores iguais (AB =CD) 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
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5 
 
Dado um vetor v=AB, o vetor BA é 
chamado de oposto(cid:1) (cid:1)d(cid:2) e (cid:1) (cid:1)(cid:1)A(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)B(cid:2) e se indic(cid:1)a(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)p(cid:2)or 
-AB ou por - v.  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) 
    
 
Figura 7- Vetores Opostos 
Figura 8– Soma de vetores 
 
Podemos dizer, então que o vetor 
1.2.1  Soma de um ponto com um  w  é  soma  do  vetor  u  com  o  vetor  v. 
vetor  Podemos escrever então que: 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:1)(cid:2) 
Dado um ponto A e um vetor v, 
u+v=w 
existe  um  único  ponto  B  tal  que 
(cid:1)(cid:1)(cid:2) 
B-A=v.  O  ponto  B  é  chamado  de  (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
Graficamente, podemos usar a 
soma(cid:1)(cid:2) do ponto A com o vetor v e se  regra do paralelogramo: 
indica por A+ v .  (cid:1)(cid:1)(cid:2) 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
As  propriedades  abaixo  são 
imediatas: 
•  A+ =A 
•  (A-(cid:1)0v(cid:2))+v=A 
•  Se (cid:1)(cid:2) A+(cid:1)(cid:2) v =B+v  então A=B 
•  Se  A+ (cid:1)u(cid:1)(cid:1)(cid:2) =A+(cid:1)v(cid:1)(cid:1)(cid:2)  então u=v 
•  A+(B-A)(cid:1)(cid:1)=(cid:1)(cid:2)B  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
 
  Figura 9– Regra do Paralelogramo 
1.2.2  Adição de vetores    Na  figura  10,  o  vetor  AD 
Consideremos  dois  vetores  u e  v  e  representa  a  soma  entre  os  vetores 
um ponto qualquer A. Quando se toma o  u;v e w. 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:1)(cid:2) 
ponto  A,  e  a  ele  se  soma  o  vetor  u  (cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) C 
obtemos  um  segundo  ponto,  que  aqui 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 
vamos chamar de B. Quando se soma ao 
B 
ponto  B  o  vetor  v,  encontramos  um 
terceiro  ponto,  que  chamaremos  de  C. 
(cid:1)(cid:1)(cid:2)  D 
Podemos  dizer  que  existe  um  terceiro 
vetor w que ao ser somado ao ponto A 
encontramos o ponto C.  
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 
A   
Figura 10– Soma entre vetores 
  
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6 
 
1.2.3  Diferença de vetores  Dizemos  que  um  vetor  é  unitário 
Consideremos dois vetores u e v,  quando seu módulo for igual a um. 
como os mostrados na figura 11, o vetor 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:1)(cid:2) 
u =1 
k  u+ -v  é chamado de diferença entre 
|(cid:1)(cid:2)|
(cid:1)u(cid:2)(cid:5)e(cid:1) (cid:2)v.(cid:6)  (cid:1)(cid:2)(cid:7) De maneira análoga, a direção e o 
sentido do vetor u  são, por definição, a 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:1)(cid:2) 
Na  figura  11,  quando  se  toma  o 
direção  e  o  sentido  de  qualquer  dos 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
ponto  A  e  a  ele  se  soma  o  vetor  u, 
representantes de u . 
obtemos o ponto B. Quando se soma ao 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
ponto  A  o  vetor  v,  encontramos  um  Chama-se versor de um vetor não 
terceiro ponto, que chamaremos de D.  nulo v , o vetor unitário de mesmo sentido 
(cid:1)(cid:1)(cid:2) 
v .  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Dois vetores são ditos paralelos 
quando estes possuem a mesma direção. 
 
 
1.2.5  Produto de um número real por 
Figura 11– Diferença entre vetores  um vetor. 
Chamamos  de  produto  de  um 
Observa-se, então, que existe um 
número real, diferente de zero, por vetor 
vetor k que somado ao vetor v fornece o 
v  , ao vetor s tal que: 
vetor u(cid:1)(cid:2) . Podemos, então, escr(cid:1)(cid:1)e(cid:2) ver 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:9) 0 (cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) •  |  |=|a|×|v| 
v+k=u   (cid:1)    k=u-v 
•  As(cid:2) direçã(cid:1)o(cid:2) s é paralela à de 
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
Assim, podemos dizer que o vetor  v  (cid:1)(cid:2)
k é a diferença entre o vetor u  e o vetor  •  (cid:1)S(cid:2)e  a>0,  o  sentido  de  s  é 
(cid:1)v(cid:2) .  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) mesmo de v  (cid:1)(cid:2)
•  Se  a<0,  o (cid:1)(cid:2)sentido  de  s  é 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
OBS:- A diferença entre o vetor v  
oposto ao de v  (cid:1)(cid:2)
e o vetor u , será igual a -k.  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) •  Se  a  =  0  ou(cid:1) (cid:2)v for  nulo, o 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) resultado é um (cid:1)(cid:2)vetor nulo. 
  v- u = -k 
(cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) O produto de a por vse indica por 
 
av.  O  produto  (1/a)v(cid:1)(cid:2)  se  indica 
1.2.4  Módulo, Direção e Sentido  si(cid:1)(cid:1)m(cid:2)  plesmente por v/a.   (cid:1)(cid:2)
Dado um vetor u , todos os seus  (cid:1)(cid:2)
representantes  têm  o  mesmo 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
comprimento;  assim,  o  comprimento  de 
qualquer representante de u é chamado 
de módulo do vetor u  e é(cid:1) (cid:2)indicado por 
u . O módulo de um(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:2)vetor depende da 
unidade de comprimento utilizada.   
|(cid:1)(cid:2)|
Figura 12– Produto de um número real por um 
O módulo de um vetor, também, é 
vetor 
chamado de Norma do vetor. 
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7 
 
1.2.6  Espaço vetorial.  3.  Dados os vetores u e v, conforme 
Chama-se  espaço  vetorial  ao  a figura 15, determ(cid:1)(cid:1)(cid:1)i(cid:2) n e (cid:1)o(cid:1)(cid:2)  vetor x tal 
conjunto  de  vetores  munidos  de  pelo  que u+v+x=0.  (cid:1)(cid:2)
menos duas operações que respeitam as 
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
propriedades da adição e do produto de 
um  número  real  por  um  vetor.  Os 
espaços  vetoriais  são  estudados  na 
Álgebra Linear. 
 
  Figura 15 
OBS:- É comum se usar o termo escalar  4.  Determine  a  soma  dos  vetores 
para  designar  um  número  real,  em  indicados na figura 16. 
D
contraposição a um vetor. Assim, quando 
se  multiplica  um  vetor  por  um  número 
real é comum ser dito que este vetor será 
C
multiplicado por um escalar. Não se deve 
(a)
confundir  este  produto  com  Produto 
Escalar que será visto mais à frente.  A B
  D
1.2.7  Exercícios. 
C
1.  Para a figura 13, onde DC = 2AD, 
(b)
exprimir D – B em funçã(cid:11)o(cid:11)(cid:11)(cid:11) (cid:11)de A(cid:11)(cid:11) (cid:11)–(cid:11)(cid:11) (cid:11)B 
e C – B.  A B
B E D
F
C
(c)
A D C
 
A B
Figura 13 
2.  Para a figura 14, AD é a bissetriz 
do ângulo A. Exprimir D – A em 
função de B – A e C – A. 
A
B C
D
(d) 
 
Figura 14  Figura 16 
 
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5.  Dados os vetores u e v, da figura  1.3  Dependência e Independência 
17, determinar:  Linear. 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:1)(cid:2) 
O vetor resultante da soma entre  Sejam  n  vetores  v ,v ,.......,v  
1 n
u e v;  (n≥1)  e  a1,a2,........,an  núm(cid:1)(cid:2) e r(cid:1)(cid:2)o2s  rea i(cid:1)(cid:2)s. 
O  vetor  resultante  da  diferença  Chama-se  combinação  linear  dos 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:1)(cid:2) 
entre u e v;  vetores v ,v ,.......,v  ao vetor: 
1 n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)O(cid:2)    v(cid:1)(cid:1)(cid:2)e tor  resultante  do  produto de  (cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:2)2  (cid:1)(cid:2)
  a v +a v +…+a v =u 
u por um escalar igual a -5/3.  1 1 2 2 n n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)   Se  u  é  combinação  linear  dos 
vetores v 1(cid:1),(cid:2)v  ,.......,v n, diz-se, também, 
que u é g(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)era (cid:1)(cid:1)(cid:1)d(cid:2)o2 por e s(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)tes vetores.  
(cid:1)(cid:2)
Dados  n  vetores  v  ,v  ,.......,v   
  1 n
(n≥1), dizemos que eles são linearmente 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)2  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Figura 17 
dependentes (LD) se existem escalares 
6.  Se  (A,  B)  é  representante  de  a ,a ,........,a , não todos nulos, tais que: 
1 2 n
u e  (C,  D)  um  representante 
n
d(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)e  (cid:9) v0  , prove que se AB // CD,  av=0 
i i
exis(cid:1)(cid:1)t(cid:2) e(cid:9)  u0m  número  real  l   tal  que  (cid:18)i=1 (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
u v·. 
ou seja,  
 
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)  (cid:5) (cid:12)(cid:1)(cid:2)
7.  Determine x 
a v a v a v  
1 n
 
(cid:1)(cid:2)    1(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:20) (cid:21)(cid:1)(cid:1)(cid:1)2(cid:2)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:1)(cid:1)(cid:1)n(cid:2) (cid:5) (cid:1)0(cid:2)
  Quando  os  vetores  v ,v ,.......,v  
2x-3u=10 x+v   1 n
não  são  linearmente  dependentes, 
  (cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:2)2  (cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:13)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:14)
dizemos  que  eles  são  linearmente 
8.  No  sistema  a  seguir,  resolva  o 
independentes (LI). 
sistema nas incógnitas x ey 
(cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:2)   Pode-se,  então,  verificar  que  os 
x+2y=u
  vetores  v ,v ,.......,v ,  são  linearmente 
3x(cid:1)(cid:2)-y=(cid:1)(cid:2)2u(cid:1)+(cid:2)v 1 n
(cid:15) (cid:16) dependen(cid:1)(cid:2)te s(cid:1)(cid:2) 2quand (cid:1)o(cid:2)  o  vetor  resultante 
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
v de sua combinação linear for nulo. 
9.  Seja  v .  Mostre  que    é  um 
v(cid:1)(cid:2)
vetor u(cid:1)(cid:2)n(cid:9)itá0rio (versor de v) |(cid:1)(cid:2)|   Pode-se  dizer,  ainda  que;  dados 
(cid:1)(cid:2) os vetores v1,v ,.......,vn, se um deles é 
 
combinação linear dos outros, então eles 
(cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:2)2  (cid:1)(cid:2)
são linearmente dependentes. 
 
 
 
1.3.1  Definições 
 
I.  Um  único  vetor  v  é  linearmente 
 
dependente se v (cid:1)(cid:2) . 
 
(cid:1)(cid:2) (cid:5) 0
II.  Dois vetores u e v são linearmente 
dependentes  se  eles  forem 
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
paralelos a uma mesma reta. 
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9 
 
Se  u  e  v  são  linearmente  1.3.2  Exercícios. 
dependentes, então, existe escalares a e   
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
b tais que: 
10. Prove  que  se  o  conjunto  de 
au+bv= 0   (cid:2)   u= -b v  vetores  u, v, w   é  linearmente 
a
independente,  então  o  conjunto 
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)  (cid:24) (cid:25)(cid:1)(cid:2) (cid:13)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
Desta forma, os dois vetores possuem  u+ v+ w, u-v,3v   também  é 
a  mesma  direção,  ou  seja,  eles  são  (cid:6)lin(cid:1)(cid:2)ea(cid:1)(cid:2)rm(cid:1)e(cid:1)(cid:2)nt(cid:1)e(cid:2) (cid:1)i(cid:2)nd(cid:1)e(cid:2)(cid:7)pendente. 
paralelos.   
11. Prove  que  se  o  conjunto  de 
 
vetores  u , v   é  LI,  então 
III.  Três  vetores  u  v e w  são 
u v, u v(cid:13)(cid:1) (cid:1)(cid:1)t(cid:2)am(cid:1)(cid:2)(cid:14)bém é LI. 
linearmente  dependentes  se  eles 
(cid:1)(cid:2); (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
  (cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:20)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) - (cid:1)(cid:2)(cid:7)
forem  paralelos  a  um  mesmo 
12. Prove  que  se  o  conjunto  de 
plano. 
vetores  u, v , w   é  LI,  então  o 
Se  u;  v  e  w  são  linearmente  conjunto (cid:13)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)u(cid:14)+ v,u+ w v+ w  
depende(cid:1)n(cid:2)tes(cid:1),(cid:2) então,(cid:1)(cid:1) (cid:2)existe escalares a; b  também é LI.  (cid:13)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:1)(cid:2) ,(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
e c tais que:   
b c  
au+bv+cw= 0 (cid:2) u= - v+ - w 
a a
(cid:1)(cid:2)    (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)  (cid:1)(cid:2)         (cid:1)(cid:2)   (cid:27) (cid:28)(cid:1)(cid:2)   (cid:24) (cid:25)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1.4  Base 
b c
Os  vetores  - v e  - w  são  Uma base no espaço é uma terna 
a a
e , e , e   formada  por  três  vetores 
coplanares  com  v(cid:24)  e(cid:25) (cid:1)(cid:2)w, (cid:24)po(cid:25)rt(cid:1)a(cid:1)(cid:2)nto,  u  1 2 3
linearmente independentes. Veja a figura 
também é coplanar com eles.  (cid:13)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
19. 
Devemos  lembrar  que  o  vetor 
e
resultante da soma entre dois vetores é  1
coplanar  com  eles.  Isto  pode  ser 
observado na figura 18. 
e
2
R
e3  
u
Figura 19 
v
 
  Para todo vetor v, gerado a partir 
Figura 18  de  e1, e2, e3 ,  exi(cid:1)s(cid:2)tem  escalares 
  a1,a2(cid:13),a(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)3(cid:2)  (cid:1)t(cid:1)(cid:1)a(cid:1)(cid:2)is(cid:1) (cid:1)(cid:1)q(cid:1)(cid:2)u(cid:14)e: 
(cid:13) (cid:14)
IV.  Qualquer sequência de elementos    a e +a e +a e =v  
1 1 2 2 3 3
com  quatro,  ou  mais,  vetores  é  (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)    (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)    (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:2) 
Ou seja, o vetor v é combinação linear 
linearmente dependente. 
dos vetores  e1, e2(cid:1)(cid:2), e3 . 
  (cid:13)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
Prof. José Carlos Morilla
10 
 
Podemos então escrever o vetor v  ou seja: 
como sendo: 
(cid:1)(cid:2)
 u+v =  a +b ,a +b ,a +b   
1 1 2 2 3 3
3
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14)
  Quando  se  usa  a  notação 
ae =v  
i i
matricial, podemos escrever: 
(cid:18)i=1 (cid:1)(cid:1)(cid:2)   (cid:1)(cid:2)  
  Os  escalares  a ,a ,a   são  a b a +b
1 2 3 1 1 1 1
chamadas  de  com(cid:13)ponentes(cid:14),  ou  u v =  a2 + b2 = a2+b2  
a b a +b
coordenadas,  de  v  em  relação  à  base  (cid:1)(cid:2)(cid:20)(cid:1)(cid:2) (cid:31) 3  ! 3" ! 3 3"
e1, e2, e3 .  (cid:1)(cid:2) OBS:- Quando se tem um vetor v em um 
(cid:13)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
  Reciprocamente,  a  uma  terna  plano,  suas  componentes  pod(cid:1)(cid:2)em  ser 
a1,a2,a3   de  números  reais,  existe  um  definidas como as coordenadas (v1;  v2) 
único  vetor  cujas  coordenadas  são  de  um  sistema  de  coordenadas 
(cid:13) (cid:14)
a ,a  e a .  retangulares  ou  cartesianas.  Assim,  o 
1 2 3
vetor v será representado simplesmente 
  Fixada  uma  base  e1, e2, e3 ,  é  por  (cid:1)(cid:2)
costume  se  representar  o(cid:13) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)v(cid:2)e(cid:1)t(cid:1)(cid:1)o(cid:1)(cid:2)r (cid:1)(cid:1)(cid:1)v(cid:1)(cid:2) (cid:14)por 
v = v ,v  
meio  da  terna  a1,a2,a3   ou  ainda(cid:1)(cid:2),  por  1 2
meio da matriz c(cid:13)oluna:  (cid:14) (cid:1)(cid:2)  (cid:13) (cid:14)
  A figura 20 mostra o vetor v e suas 
a componentes. 
1 (cid:1)(cid:2)
a  
2
a
(cid:31) 3 
  Escrevemos, então: 
a
1
 v = a ,a ,a  ou v =  a  
1 2 3 2
a
(cid:1)(cid:2)  (cid:13) (cid:14) (cid:1)(cid:2) (cid:31) 3 
  Deste ponto em diante, o uso de 
coordenadas  será  muito  freqüente;  é 
conveniente,  então,  que  as  operações 
entre  vetores  sejam  feitas  diretamente 
em  coordenadas,  assim,  faremos  o 
estudo de algumas destas operações: 
   
Figura 20 
1.4.1  Adição entre vetores 
Se u = a ,a ,a  e v = b ,b ,b    
1 2 3 1 2 3
então: 
(cid:1)(cid:2)  (cid:13) (cid:14) (cid:1)(cid:2)  (cid:13) (cid:14)   Quando é feita a soma entre dois 
vetores no plano, o vetor resultante tem 
u+v =  a +b ,a +b ,a +b  
1 1 2 2 3 3
componentes  iguais  à  soma  entre  as 
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14)
De fato, se   u=a e +a e +a e    e  componentes em cada direção. A figura 
1 1 2 2 3 3
v=b1e1+b2e2+b3e3 ,(cid:1) (cid:2)entã(cid:1)(cid:2)o:  (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) 21  mostra  a  soma  entre  dois  vetores 
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) v e w. 
u+v= a +b e + a +b e + a +b e  
1 1 1 2 2 2 3 3 3
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
Pro(cid:1)f(cid:2). J(cid:1)o(cid:2)sé(cid:13) Carlos M(cid:14)o(cid:1)(cid:2)rilla (cid:13) (cid:14)(cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14)(cid:1)(cid:2)
Description:Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Prof. José Carlos Morilla  Soma de um ponto com um vetor .  Matriz Mudança da Base E para base F.