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méxico • bogotá • buenos aires • caracas • guatemala • madrid • nueva york
san juan • santiago • sao paulo • auckland • londres • milán • montreal
nueva delhi • san francisco • singapur • st. louis • sidney • toronto
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Gerente editorial: Alejandra Martínez Ávila
Editor sponsor: Sergio G. López Hernández
Editora: Irma Pérez Guzmán
Supervisora de producción: Marxa de la Rosa Pliego
Diseño de portada: Paulina Olguín /Factor02
Cálculo integral
Cuarta edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2013, 2007 respecto a la cuarta edición por:
McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C. V.
Punta Santa Fe,
Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A,
Piso 17, Col. Desarrollo Santa Fe,
Delegación Álvaro Obregón
C. P. 01376, México, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. No. 736
ISBN: 978-607-15-0897-3
(ISBN 978-970-10-6195-4 tercera edición)
Agradecemos la lectura, los comentarios y las sugerencias del M. en C. Josueth Vázquez Román,
Jefe de la Academia de matemáticas de la DGETI del Distrito Federal y profesor de matemáticas
en el CETIS 50.
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Impreso en México Printed in Mexico
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Presentación
difícilmente se puede estar en desacuerdo con las propuestas educativas de la re-
forma integral de la educación media superior (riems), uno de cuyos pilares es el
enfoque por competencias, que sustenta el marco curricular común, el cual, a su
vez, sirve de punto de contacto de las instituciones educativas que están formando
el sistema nacional de bachillerato.
al margen de la nueva terminología (por ejemplo, competencias genéricas, dis-
ciplinares y profesionales), los maestros siempre hemos querido que tú y todos los
alumnos accedan al conocimiento y pongan a prueba lo que han aprendido resol-
viendo problemas diversos; más aún, en el fondo quisiéramos promover en ti el gus-
to no sólo por la matemática sino también porque aprendas por iniciativa e interés
propio.
sin embargo, una y otra vez los profesores comprobamos que la mayoría de
los estudiantes no tienen los conocimientos que supuestamente deberían haber ad-
quirido en niveles educativos anteriores y que más que gusto por el conocimiento
matemático lo padecen como un mal necesario.
en cierta medida, ello se debe a que por un lado tenemos la cultura de los refor-
madores de la educación, que suelen presuponer la existencia de una escuela unifor-
me e independiente de particularidades contextuales, y por el otro, la cultura de los
profesores frente al grupo.
en este marco, ¿qué te ofrecen los libros de matemáticas de la serie fuenla-
brada? ¿cómo puedes usarlos para desarrollar las competencias propuestas por la
riems a la que nos referimos al principio de esta presentación?
para empezar, los libros de la serie tienen en cuenta las condiciones que encaran
a diario los docentes en el aula, de quienes hay que señalar que en general asumen
con la mejor disposición la responsabilidad de modificar, en lo que está en sus ma-
nos, la enseñanza de la matemática a fin de posibilitar mejores aprendizajes.
estos libros son resultado de más de 30 años de práctica docente e investigación
sobre el hacer y deshacer de los alumnos en el proceso de aprendizaje. en esta 4a.
edición se han hecho ajustes y reformulaciones del contenido temático y se han in-
corporado nuevos ejercicios.
en cada capítulo se hace una breve síntesis del contenido y su utilidad; los te-
mas se desarrollan mediante demostraciones que permiten la comprensión de los
conceptos, los cuales se presentan en un lenguaje claro y accesible y con el apoyo de
diversos problemas resueltos (ejemplos). asimismo, se destacan las relaciones (fór-
mulas) empleadas en demostraciones posteriores y para la resolución de problemas.
los textos resultan comprensibles para los alumnos como tú porque en ellos se
incorporan, en la explicación y en la ejemplificación de los temas, conocimientos
que debiste adquirir en cursos anteriores pero que a veces los estudiantes suelen no
recordar o no los aprendieron bien, lo cual es la causa por la que no comprenden los
nuevos conceptos que están aprendiendo.
en todos los capítulos hay dos secciones: "ejercicios" y "ejercicios de repaso";
en la primera se plantean problemas relacionados directamente con los contenidos
recién estudiados, mientras que la segunda es una selección de ejercicios ilustrativos
de los principales temas estudiadas en el capítulo.
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iv presentación
todos los ejercicios y problemas propuestos tienen los resultados respectivos, de
modo que cuando los estudies puedas confrontar contra ellos lo que tú obtienes por
respuesta y, en caso de que sean diferentes, sostengas al respecto un diálogo reflexivo
con tu maestro y con tus compañeros.
se incorpora en esta nueva edición una sección denominada "lo que debes sa-
ber", en la que se presenta una lista de conceptos clave que debes haber aprendido
al terminar de estudiar cada capítulo; en caso de no tener claridad sobre alguno de
ellos, en esta sección puedes estudiarlos de nuevo.
fundamentalmente, con todo lo anterior se busca que, con la coordinación de
tu profesor, durante la clase atiendas y participes en la discusión de ideas, plantees
dudas y prestes atención a las explicaciones del maestro o de tus compañeros. Que
tomes notas puntuales de lo que se está estudiando y de lo que llame tu atención
para que, posteriormente, consultes los libros otra vez con la certeza de que ahí ha-
llarás expuestos los conceptos explorados en clase.
en suma, ten la seguridad de contar con un libro escrito en un lenguaje adecua-
do a tu nivel en el que podrás revisar ejemplos y resolver ejercicios y problemas, lo
que te permitirá afianzar y enriquecer tu conocimiento.
así, con los libros, las explicaciones del profesor y tu disposición por aprender
se tenderá un puente que permitirá realizar cabalmente la reforma en la educación.
Los autores
Dedicatoria
“aprender algo es el más grande los placeres, no solamente para el filósofo, sino
también para el resto de la humanidad, por pequeña que sea su capacidad para
ello.”
para mis hijos: aristóteles
maría del consuelo y gustavo alberto,
leitmotiv de mi vida.
para mi pequeño nieto emilio
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Características del libro
este libro consta de 15 capítulos, más un apartado de formulario. a continuación
presentamos esquemáticamente la definición, organización y las características de
cada sección que integra cada capítulo:
CAPÍTULO 15
La inetne gerl accáilócnu ldoe dfein vidoalú menes
Entrada de capítulo
SSdóeoa l[ ifa d,u bno]a. dfuenc rióenv noo lnuecgaiótivna en un intervalo cerra- apertura del capítulo inicia con una breve
y y = f(x) introducción del tema a tratar.
O a bx
Streie svsioeal nugociri aóo n ed syet aau lnr eeajge ir óeccnitt aadd edole pcl olpamlnaoon oea,jl era edld ese órdleoivdroo ldu rece icsóuunla.tlaqnutiee rsae dlee cloons oecjees c doeml op lsaónloid coa dre-
Eje de revolución
EMEal llvr écoeadltuseoomd domernoá d sd e dse eu uennnclo i sl ddlóoeli i dsdsecuo sou d ln ae p dsróoealvsir.odalou dccieóa rnle cvseuo lpluΔaucweiród nee eclsa vlacoquullaeurl mepno erq eunle m unét oredcotá dneglu dlois cgoir.a 144 CálcEuJlEoR inCtIe1Cg.I rOacaP)Sol amr∫ap clqoeuutsae( =3epl+u 3dee2+dsxaa2)srx rdeoxnllt oen qdueer fmaletajo ern l alo ds iefejerrecnicciiao sc soingS uolialeusnc iitónesnte::g 2r1asleesn t(r3ig+on2oxm)+étrCicas directas,
r u(x)=3+2x
du(x)=2dx
URencot ádneg suulso ldaodnods ee sr eels e ejel rdaed rioev yo lwu ceisó snu. ancho. Ejercicios
aparecen después de haber estudiado b) ta∫nta2nx2(=xs−ec22x)d−x1 Solución: tan(x−2)−x+C
un tema con extensión y complejidad
considerables. 2. aI)n t∫eg3rcao. sS2e5 ixncdlxuy en algunas integrales trigonométSroiclausc idóinr:e c23taxs.+230sen10x+C
b) ∫tan43xdx Solución: 91tan33x−31tan3x+x+C
Ejercicios de repaso Capítulo 3 Integración de una función compuesta 39 c) ∫sen32xdx Solución: −21cos2x+61cos32x+C
1. Calcula las siguientes integrales: Solución: x + C
a) ∫dx Ejercicios de repaso
b) ∫dxx Solución: lnx+C con los ejercicios de esta sección
concluyes el estudio de cada capítulo,
c) ∫x34dx Solución: 47x4x3+C los planteamientos de este apartado
d) ∫5x3dx Solución: 54x4+C incluyen aplicaciones en todos los temas
analizados. sirve como una herramienta
e) ∫2bx3dx Solución: b2x4+C de autoevaluación y guía de estudio.
f) ∫x4−x2+x13−x12dx Solución:x55−x33−21x2+1x+C Formulario
Integrales
1. ∫kdx = kx + C 13. ∫a2d−uu2=arcsenau+C
2. ∫kf (x)dx = k ∫f (x)dx + C 14. ∫a2d+uu2=a1arctanau+C
3. ∫[f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x) dx 15. ∫uud2u−a2=a1arcsecau+C
Formulario 4. ∫[f (x) g(x)] dx = ∫ f (x)dx ∫ g (x) dx 16. ∫ eu du = eu + C
5. ∫undu=nu+n+11+C,conn≠−1 17. ∫audu=ln1aau+C
al final de tu libro encontrarás un formulario 6. ∫u−1du=∫duu=lnu+C=Lu+C 18. ∫tanudu=lnsecu+C
que te ayudará a identificar las operaciones 7. ∫sen u du = − cos u + C 19. ∫cotudu=lnsenu+C
básicas de la asignatura. 8. ∫cos u du = sen u + C 20. ∫secudu=lnsecu+tanu+C
9. ∫sec u tan u du = sec u + C 21. ∫cscudu=lncscu−cotu+C
11211. 0. ∫. ∫c∫csscsec2 c uu2 ducuo d t=u u −= d ctuao =nt u−u ++c s CCc u + C 22423. 2. .∫ ∫∫auu222dd−−duu−uuaa222===2l21an1alunln+aauu−++−uuu2aa−++aCC2+C
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Contenido
Capítulo 1 Diferenciales 1
Introducción 1
Consideraciones generales 1
Diferenciales 2
Interpretación geométrica de la diferencial 4
Diferenciación implícita 7
Diferenciales sucesivas de una función 8
Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 13
Introducción 13
Antiderivada 13
Definición 13
Integral indefinida 14
Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración 15
Conceptos básicos de la integración 17
Capítulo 3 Integración de una función compuesta 27
Introducción 27
Sustitución por cambio de variable 27
Deducción de fórmulas para derivar integrales
de la forma ∫ tanxdx, ∫ cotxdx, ∫ secxdx, ∫ cscxdx 32
Capítulo 4 Constante de integración 45
Introducción 45
Cálculo de valor numérico de la constante C 45
Significa geométrico de la constante de integración 49
Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 51
Introducción 51
Recordatorio de trigonometría 51
Algunos procedimientos de integración de las funciones
trigonométricas directas 52
Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 77
Introducción 77
Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas 77
Algunos procedimientos de integración de las funciones
trigonométricas inversas 77
El integrando se expresa como la suma
de dos cocientes 79
Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas 99
Fórmulas de integración exponencial 99
Fórmulas de integración logarítmica 108
Resumen de las integrales 125
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contenido vii
Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones
trigonométricas 127
Introducción 127
Algunos procedimientos de solución 127
Integración de la forma ∫senm ucosn udu
128
Integración de la forma ∫tanmusecnudu
133
Integración de la forma ∫cotmu cscnudu
135
Integración de la forma ∫senmucosnudu
137
Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes 147
Fórmula de integración 147
Procedimiento de integración por partes 147
Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución
trigonométrica 167
Desarrollo de la expresión a2 − x2 = acosθ 168
Desarrollo de la expresión a2 + x2 = asecθ 169
Desarrollo de la expresión x2 − a2 = atanθ 170
Procedimiento para resolver una integral
por sustitución trigonométrica 171
El integrando incluye una expresión de la forma a2 − x2 172
El integrando incluye una expresión de la forma a2 + x2 176
El integrando incluye una expresión de la forma x2 − a2 179
Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales 185
Introducción 185
El resultado de la integración de una función racional impropia
puede expresarse como la suma de un polinomio y de una
función racional propia 185
Caso 1. Todos los factores lineales del denominador
son distintos 187
Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador
se repiten 191
Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles)
del denominador son distintos 193
Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles)
del denominador se repiten 195
Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización 215
Introducción 215
Racionalización de expresiones que incluyen potencias
fraccionarias de a + bx, como (a + bx)pq,(a + bx)rt 215
Racionalización de expresiones que únicamente 217
incluyen una potencia fraccionaria de x 217
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viii contenido
Racionalización de expresiones que incluyen diferentes
potencias fraccionarias de x, como xab, xcd 219
Racionalización de expresiones que incluyen una potencia
fraccionaria del tipo (a + bx)mn
224
Racionalización de expresiones que incluyen funciones
racionales de sen u y de cos u en el denominador 227
Capítulo 13 La integral definida 233
Antecedentes históricos 233
Suma de Riemann 235
Propiedades de las sumas de Riemann 237
Fórmulas de las sumas de Riemann 237
Sumas de Riemann notación con sigma 238
Áreas (interpretación intuitiva) 240
Integración definida como el límite de una suma
(interpretación intuitiva) 241
Sumatorias de Riemann (continuación) 243
La integral definida como límite de las sumatorias
de Riemann 247
Procedimiento para calcular la integral definida 247
Integrales definidas por cambio de variable
(cálculo de nuevos extremos) 250
Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas 255
Teorema fundamental del cálculo 255
Áreas 255
Áreas entre dos curvas en un intervalo 263
Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes 273
El sólido de revolución con un agujero.
El método de las arandelas 279
Longitud de un arco (curva) 283
Formulario 287
Integrales 287
Diferenciales 288
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CAPíTULO
1
Diferenciales
Introducción
En este capítulo analizaremos la diferencial de una
función. Para resolver integrales es necesario aplicar un
procedimiento llamado cambio de variable, en el cual se requie-
re calcular la diferencial de la expresión seleccionada. La integral
∫ cos 2xdx se resuelve por cambio de variable.
Consideraciones generales
En cálculo diferencial aplicamos una regla general de derivación conocida como
derivada por definición. Con esta regla podemos obtener las fórmulas para derivar
todo tipo de funciones.
En cálculo integral, sin embargo, no existe una regla general que se pueda apli-
car para integrar las diferenciales. En realidad, cada caso requiere un trato especial.
La integración es un proceso de ensayos; por esa razón, en este libro te presentare-
mos diversas fórmulas y métodos para facilitar su estudio.
Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo utilizan con
frecuencia las tablas de integrales. Sin embargo, muchas de las fórmulas que apare-
cen en ellas se obtuvieron a partir de los métodos de integración que analizaremos
en este texto. Por eso te recomendamos no utilizar estas tablas hasta que hayas de-
sarrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Además,
te sugerimos no mecanizar los métodos, sino que trates de entenderlos dentro de
la estructura general del cálculo. Es conveniente que resuelvas sólo los ejercicios
propuestos y los que señale tu profesor. Si tienes dificultad con algunos, insiste en
obtener la solución; revisa la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar
y afirmar tu conocimiento.
Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en
uno de sus libros señala: “Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la
menor a la mayor cuando se aborda un tema nuevo (…)”.
En efecto, es recomendable que la enseñanza se plantee bajo un esquema gradual
de dificultad. Hay profesores que por impresionar a sus alumnos empiezan por los
temas más difíciles y dejan hasta el último los más sencillos. “Conviene dirigir toda
la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de entender y detenerse en
ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción”.
Una vez que tienes un conocimiento firme o eres capaz de manejar los métodos
para resolver un problema, debes practicar y trabajar con ese conocimiento el tiem-
po que sea necesario para dominarlo. Sólo hasta entonces serás capaz de resolver
otros problemas semejantes e incluso de mayor complejidad.
Si no comprendes el desarrollo de un problema y sólo lo repites, caerás en una
mecanización que no te brindará ningún beneficio, pues por sí sola, la repetición
causa entorpecimiento.
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