Table Of ContentCálculo II
Eliezer Batista
Elisa Zunko Toma
Márcio Rodolfo Fernandes
Silvia Martini de Holanda Janesch
2ª Edição
Florianópolis, 2012
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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância.
Ficha Catalográfica
C144
Cálculo II/ Eliezer Batista, Elisa Zunko Toma, Márcio Rodolfo
Fernandes, Silvia Martini de Holanda Janesch - 2 ed. - Florianópolis:
UFSC/EAD/CED/CFM, 2012.
308 p.
Inclui bibliografia
UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância
ISBN 978-85-8030-022-2
1. Cálculo integral. 2. Séries (Matemática). 3. Séries de potência. 4.
Ensino a distância. I. Batista, Eliezer.
CDU: 517.3
Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da UFSC
Sumário
Apresentação ....................................................................................7
1. Integrais .................................................................................9
1.1 Introdução ...................................................................................11
1.2 Integrais inferior e superior – funções integráveis ..............18
1.3 Integral como limite de somas .................................................26
1.4 Propriedades da integral ...........................................................35
1.5 Teorema fundamental do cálculo ............................................39
1.6 Integral indefinida .....................................................................45
1.7 Técnicas de integração ...............................................................50
1.7.1 Método da substituição ou mudança de variável ..........50
1.7.2 Método da integração por partes .....................................56
1.8 Cálculo de áreas ..........................................................................61
1.9 Integrais impróprias ..................................................................67
1.10 Utilização de pacotes computacionais ...................................81
Resumo ..............................................................................................90
2. Métodos de Integração ......................................................95
2.1 Integrais envolvendo funções trigonométricas ......................97
2.1.1 Funções trigonométricas ...................................................97
2.1.2 Integrais envolvendo potências de senx e cosx ..............99
2.1.3 Integrais de potências de tgx e cotgx .............................102
2.1.4 Integrais de potências de secx e cossecx .......................104
2.1.5 Integrais de produtos de potências de tgx e secx ........105
2.1.6 Integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos
diferentes .........................................................................109
2.2 Substituição trigonométrica.....................................................110
2.3 Integração de funções racionais: método das frações
parciais ......................................................................................120
2.4 Integração de funções racionais de seno e cosseno
(substituição universal) ............................................................132
Resumo ............................................................................................138
3. Aplicações de Integral .....................................................147
3.1 Equações diferenciais de primeira ordem com variáveis
separáveis ...................................................................................149
3.2 Comprimento de arco de curvas planas ...............................158
3.3 Sólidos e superfícies de revolução ..........................................162
3.3.1 Método dos discos ...........................................................164
3.3.3 Método das cascas cilíndricas ........................................171
3.3.4 Áreas de superfícies de revolução .................................177
3.4 Centro de massa de regiões planas.........................................182
3.5 Curvas e áreas em coordenadas polares ...............................188
4. Séries Numéricas ..............................................................203
4.1 Introdução .................................................................................205
4.2 Definições ..................................................................................208
4.3 Condições de convergência e divergência .............................219
4.4 Operações sobre séries ............................................................222
4.5 Séries de termos positivos ou nulos .....................................225
4.6 Séries alternadas e séries absolutamente convergentes ......247
4.6.1. Séries alternadas ..............................................................248
4.6.2 Séries absolutamente convergentes ...............................253
5. Séries de Potência .............................................................261
5.1 Introdução .................................................................................263
5.2 Série de potências e convergência ..........................................264
5.3 Representação de funções como séries de potências ..........272
5.4 Série de Taylor e série de Maclaurin ......................................278
5.4.1 Definições ........................................................................279
5.4.2 Caso que a série de Taylor tem como
soma a função f (x) ....................................................................285
5.5 Aplicações ............................................................................296
5.5.1 Aplicações de polinômios de Taylor. .............................296
5.5.2 Série binominal ................................................................298
5.5.3 Cálculo de integrais aproximadas. ................................302
Bibliografia básica ..........................................................................307
Bibliografia complementar ............................................................307
Apresentação
Caro estudante,
Estamos iniciando a disciplina de Cálculo II!
O estudo dos conteúdos desta disciplina requer que você tenha
conhecimento sobre limite, continuidade e derivada de função de
uma variável, conceitos estes estudados na disciplina de Cálculo I.
O conteúdo deste material está divido em cinco capítulos. No
Capítulo 1 estudaremos o conceito de integral e suas proprieda-
des. Demonstraremos o Teorema Fundamental do Cálculo, um
resultado importante que relaciona a integral com a derivada, e
que simplifica consideravelmente a solução de muitos problemas
envolvendo integrais. No Capítulo 2 estudaremos algumas técni-
cas de integração. No Capítulo 3, utilizaremos a integral defini-
da para resolver problemas de cálculo de áreas, comprimento de
arcos, volume de sólidos de revolução e área de superfícies de
revolução. Os Capítulos 4 e 5 são dedicados ao estudo de séries
numéricas e séries de potências. Vários métodos, ou testes, para
analisar a convergência de séries numéricas e séries de potências
serão apresentados, além de suas aplicações ao cálculo de inte-
grais e representação de funções por séries de potências.
Os Capítulos 1 e 2 foram escritos pela Professora Sívia, o Capítu-
lo 3 foi elaborado pelo Professor Eliezer e os Capítulos 4 e 5 são
de responsabilidade da Professora Elisa. Em partes do texto são
apresentadas atividades complementares que envolvem o uso de
softwares matemáticos. Essas atividades foram contribuições do
Professor Márcio.
Esperamos que ao final da disciplina, você tenha condições de
calcular e aplicar com adequado desembaraço, integrais de fun-
ção de uma variável e, além disso, que saiba analisar a conver-
gência de séries numéricas e de potências, bem como representar
funções por séries de potências. Também, esperamos que fique
bem compreendido o sentido de aproximar uma função por
seus polinômios de Taylor.
Os autores
Capítulo 1
Integrais
