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Este libro de la colecciónPrentice Práctica forma parte, junto con un libro Otro libro de interés u
de teoría y un curso de Cálculo con soporte interactivo en la plataforma Estela Carbonell, M. Rosa c
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Moodle, de un conjunto dedicado a la enseñanza del Cálculo de una y varias Saà Seoane, Joel á Cálculo
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variables. Cálculo con soporte interactivo
en moodle.
Este texto presenta una colecciónde problemas resueltos propuestos en PEARSON PRENTICE HALL
distintos exámenes a los estudiantes de la Escuela Técnica Superior de ISBN: 978-84-8322-480-9
Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona en la Unversidad Problemas resueltos
Politécnica de Cataluña y está particularmente indicado para los estudiantes
de titulaciones cientifico-técnicas.
PRENTICE PRÁCTICA
es una colecciónde libros, cuyo texto es
M. Rosa Estela Carbonell / Anna M. Serra Tort
eminentemente práctico. La finalidad de esta colecciónes permitir al
alumno comprender y afianzar la asimilación de la teoría a través de
diversos ejercicios y ejemplos.
PRENTICE PRÁCTICA
es una colecciónamena, de carácter muy
didáctico y que, de una forma sencilla, consigue que el alumno obtenga rt
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un perfecto manejo práctico de la asignatura. a
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PRENTICE PRÁCTICA M.
está dirigida al alumno para conseguir su a
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autoaprendizaje en la materia. La colecciónes una de las más actualizadas An
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CÁLCULO
Ejercicios resueltos
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CÁLCULO
Ejercicios resueltos
M.ROSAESTELACARBONELL
ANNAM.SERRATORT
Departamento deMatemáticaAplicadaIII
UniversidadPolitécnicadeCataluña
Madrid México SantafédeBogotá BuenosAires Caracas Lima Montevideo
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SanJuan SanJosé Santiago SãoPaulo WhitePlains
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Datosdecatalogaciónbibliográfica
EstelaCarbonell,M.Rosa;SerraTort,AnnaM.
CÁLCULO.Ejerciciosresueltos
PEARSONEDUCACIÓN,S.A.2008
ISBN:9788483224816
Materia:Cálculo,517
Formato:195X270mm Páginas:193
Todoslosderechosreservados.
Quedaprohibida,salvoexcepciónprevistaenlaley,cualquierformadereproducción,distribución,comunicaciónpúblicaytrans-
formacióndeestaobrasincontarconautorizacióndelostitularesdepropiedadintelectual.Lainfraccióndelosderechosmencio-
nadospuedeserconstitutivadedelitocontralapropiedadintelectual(arts.270ysgts.CódigoPenal).
DERECHOSRESERVADOS
(cid:13)c 2008,PEARSONEDUCACIÓNS.A.
RiberadelLoira,28
28042Madrid(España)
CÁLCULO.Ejerciciosresueltos
EstelaCarbonell,M.Rosa;SerraTort,AnnaM.
ISBN:9788483224816
DepositoLegal:M.
PRENTICEHALLesunselloeditorialautorizadodePEARSONEDUCACIÓNS.A.
Equipoeditorial:
Editor:MiguelMartín-Romo
Técnicoeditorial:MartaCaicoya
Equipodeproducción:
Director:JoséA.Clares
Técnico:JoséA.Hernán
Diseñodecubierta:EquipodediseñodePearsonEducaciónS.A.
Impresopor:
IMPRESOENESPAÑA-PRINTEDINSPAIN
Estelibrohasidoimpresoconpapelytintasecológicos
Notasobreenlacesapáginaswebajenas:EstelibropuedeincluirenlacesasitioswebgestionadosportercerosyajenosaPEAR-
SONEDUCACIÓNS.A.queseincluyensoloconfinalidadinformativa.PEARSONEDUCACIÓNS.A.noasumeningúntipo
deresponsabilidadporlosdañosyperjuiciosderivadosdelusodelosdatospersonalesquepuedahacerunterceroencargadodel
mantenimientodelaspáginaswebajenasaPEARSONEDUCACIÓNS.Aydelfuncionamiento,accesibilidadomantenimien-
todelossitioswebnogestionados porPEARSONEDUCACIÓNS.A.Lasreferencias seproporcionanenelestadoenquese
encuentranenelmomentodepublicaciónsingarantías,expresasoimplícitas,sobrelainformaciónqueseproporcioneenellas.
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ÍNDICE GENERAL
PRÓLOGO VII
CAPÍTULO1. CONJUNTOSNUMÉRICOSYTOPOLOGÍA 1
CAPÍTULO2. SUCESIONESYSERIESNUMÉRICAS 19
CAPÍTULO3. FUNCIONESREALESDEVARIABLEREAL 37
CAPÍTULO4. FUNCIONESDEVARIASVARIABLES 73
CAPÍTULO5. INTEGRALDERIEMANN 131
CAPÍTULO6. INTEGRACIÓNMÚLTIPLE 147
CAPÍTULO7. SUCESIONESYSERIESDEFUNCIONES.SERIESDEFOURIER 171
BIBLIOGRAFÍA 185
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PRÓLOGO
Elpresentelibrodeproblemasresueltosformaparte,juntoconunlibrodeteoríayuncursodecálculo
interactivo sobre la plataforma Moodle, de un conjunto dedicado a la enseñanza de la asignatura de
Cálculo del primer ciclo de titulaciones científico-técnicas de grado superior. Aunque independientes,
lastresobrassoncomplementariasyse handiseñadoconunametodologíaacordea lasdirectricesdel
EspacioEuropeodeEducaciónSuperior.
El libro presenta un conjunto de problemas que las autoras han propuesto a lo largo de la última
década en los exámenes de las titulaciones de Ingeniería de Caminos Canales y Puertos e Ingeniería
GeológicaimpartidasenlaEscolaTècnicaSuperiord’EnginyersdeCaminsCanalsiPortsdelaUniver-
sitatPolitècnicadeCatalunya.
Eltemariopropuestoestápensadoparainiciaralestudianteenunprocesodeformaciónenfunda-
mentosmatemáticoscuyoobjetivofinaleseldominiodelasherramientasdecálculoquevaanecesitar
alo largodelacarreraydesu vidaprofesional.A diferenciadeotrostextosdedicadosa la resolución
deproblemas,éste nocontieneresúmenesde teoríaya queésta se puedeconsultarextensamenteen el
correspondientelibro de teoría (M.R. Estela y J. Saà, Pearson Educación,S.A.) que incluye los enun-
ciados de los problemasaquí propuestos. De esta manera el estudiante tiene la posibilidad de intentar
laresolucióndelosproblemasconlosteoremasalavistaperosinlassoluciones.Elvalordeestosdos
librosse vepotenciadoporla terceravíaeducativa,esdecirla plataformaMoodleen laque,deforma
interactiva,sepuedenvisualizarlosconceptosyreforzarsuaprendizaje.
Enestetextosepresentabásicamenteelcálculodiferencialeintegralparafuncionesdeunayvarias
variables.Enelprimercapítuloseintroducenlosnúmerosrealesycomplejosynocionesdetopología.
EnelCapítulo2seestudianlassucesionesnuméricasylasseriesnuméricasdestacandoelconceptode
límite. En el Capítulo 3, los ejercicios tratan conceptos fundamentales de las funciones reales; conti-
nuidad,derivabilidadyteoremasrelacionados.EnelCapítulo4,elestudiocorrespondealasfunciones
devariasvariables,resaltandoelcálculodelímites,continuidad,diferenciabilidadylosteoremasdela
función inversa e implícita. Los últimos ejercicios del capítulo correspondena desarrollos en serie de
Tayloryproblemasdeextremos,libresycondicionados.LosCapítulos5y6estudianlaintegrabilidad
deRiemannparafuncionesdeunayvariasvariablesrespectivamente.Ellibroterminaconuncapítulo
dedicadoal estudio de sucesiones y series de funciones,con ejemplos de un caso particular;series de
Fourier.Hemosdivididoestetextoencapítulosqueseajustanalaorganizacióndocentedelaasignatura
deCálculoqueimpartimosysomosconscientesdequeelordendeestospodríaserdistinto,porejemplo,
sepuedepermutarelcapítulodelaintegraldeRiemannporeldefuncionesdevariasvariables.
El conjunto de enunciados, anotaciones y esquemas de resolución no se habría convertido en el
libro que ahora tiene el lector en sus manos sin el apoyo de nuestra Escuela y sin la dedicación de
nuestroscolaboradores.Porello,queremosexpresarnuestromássinceroagradecimientoalaspersonas
quenoshanayudadoenlaelaboracióndeltexto.Agradecemosal’EscolaTècnicaSuperiord’Enginyers
deCamins,CanalsiPortsdeBarcelonalaconcesióndelaayudadela“Convocatòriad’AjutsaProjectes
d’Innovació Educativa i Elaboració de Material Docent 2007". Raúl Cano García, Joel Saà Seoane y
MartaMartínEscuderohancolaboradoconnosotrasenlaedicióndeltextoenLatex,realizandográficos
y/orevisandolosproblemas.Muchasgracias,Raúl,JoelyMartaportodaslashorasquehabéisdedicado
aestelibro,trabajandoconmuchaprofesionalidadysiempreconlamejordisposición.Losgráficosque
contieneellibrosehanrealizadocontecnologíaWIRIS,productodeMathsforMore.Agradecemosa
MathsforMoresucolaboración,especialmenteaRamonEixarch.
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VIII Cálculo. Ejercicios resueltos
AgradecemostambiénalosprofesoresEusebiJarautayXavierGisbertsusopiniones,puesconellos
compartimosladocenciadelaasignaturadeCálculoenlaEscuelayengeneralalosdemásprofesores
de nuestro Departamento (Matemàtica Aplicada III) con los que siempre es grato intercambiar ideas.
Especial menciónmerecen nuestrosestudiantes por su interés por la asignatura ya que, con su actitud
colaboradora y entusiasta, nos motivan a escribir libros. Así pues, agradecemos a los estudiantes que
hayáis escogido este libro para el estudio del Cálculo. Esperamos que disfrutéis aprendiendo Cálculo
al mismo tiempo que adquirísuna base matemática fuerte que os permita asimilar los conceptosde la
titulaciónenlaquehabéispuestovuestrailusióndefuturo.
Nopodemosfinalizaresteprólogosinpedirdisculpasporlaserratasquesindudasenoshanesca-
pado.Cualquieralertaenestesentidoasícomocomentariosysugerenciasporpartedellectorseránbien
venidosy,porsupuesto,muyapreciados.
M.RosaEstelaCarbonell
Barcelona AnnaM.SerraTort
Marzodel2008
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