Cálculo : con aplicaciones

702 Pages·2008·40.511 MB·Spanish

by  Francisco Soler, Reinaldo Núñez, Moisés Aranda

Francisco Soler
Reinaldo Núñez
Moisés Aranda
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Este libro ofrece una introducción al cálculo, en una y varias variables. da ez ler
El enfoque es completamente didáctico, en el sentido que facilita el
autoestudio de cualquiera que esté interesado en aprender. El texto
está libre de formalismos, aunque no se descuida la rigurosidad de C
los conceptos. La pretensión ha sido, siempre, hacer del cálculo algo
ameno y divertido. á
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Está dirigido a estudiantes de Ciencias Económicas, Administrativas,
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Contables y Financieras, por ello el material contenido cubre las
necesidades relativas al cálculo que estas carreras profesionales u
necesitan.
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Se muestran ejemplos que aclaran la teoría expuesta, que van desde o
los más sencillos hasta los que presentan una relativa dificultad.

Estos sirven como ayuda para resolver los ejercicios propuestos, c
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que ponen de manifiesto la comprensión de los conceptos.
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Contenido
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El Salvador • España • Guatemala • Honduras • México • Nicaragua • Panamá
Paraguay • Perú • Puerto Rico • República Dominicana • Uruguay • Venezuela

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Datos de catalogación bibliográfica
Francisco Soler, Reinaldo Núñez, Moisés Aranda
Cálculo con aplicaciones
Pearson Educación de Colombia, LTDA., 2008
ISBN: 978-958-699-102-5
Formato: 20 x 25.5 cm Páginas 700
Editora: María Fernanda Castillo
[email protected]
Corrección de estilo: Esteban Flamini / Alessandra Canessa
Diseño y diagramación: Víctor Goyburo
Primera edición, 2008
D.R. © 2008 por Pearson Educación de Colombia, LTDA.
Carrera 68 A # 22-055
Santa Fe de Bogotá, D.C., Colombia
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse,
registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma
ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia,
grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
ISBN: 978-958-699-102-5
Impreso en Colombia / Printed in Colombia
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Contenido
Contenido
ÁLGEBRA BÁSICA
Capítulo 1. 1
1.1 Introducción ...........................................................................................................................................................1
1.2 Nota histórica ........................................................................................................................................................1
1.3 Sistemas numéricos ............................................................................................................................................2
1.4 El sistema de los números naturales ...........................................................................................................2
1.5 El sistema de los números enteros ................................................................................................................3
1.6 El sistema de los números racionales ..........................................................................................................3
1.7 El sistema de los números reales ...................................................................................................................4
1.7.1 Axiomas de la adición y la multiplicación ...................................................................................4
EJERCICIO 1.1 .........................................................................................................................................6
1.7.1.1 Ley de los signos ................................................................................................................7
EJERCICIO 1.2 ......................................................................................................................8
1.7.1.2 Exponentes ...........................................................................................................................9
EJERCICIO 1.3 ...................................................................................................................10
1.7.1.3 Productos notables ........................................................................................................10
EJERCICIO 1.4 ...................................................................................................................13
1.7.1.4 Factorización ....................................................................................................................13
1.7.1.4.1 Factor común .............................................................................................13
1.7.1.4.2 Trinomio cuadrado perfecto ...............................................................14
1.7.1.4.3 Diferencia de cuadrados y algo más ................................................15
ax bx c
1.7.1.4.4 Suma de cubos y algo más ...................................................................15
2
1.7.1.4.5 Trinomio de la forma + + ......................................................16
1.7.1.4.6 Combinación de casos ............................................................................17
EJERCICIO 1.5 ............................................................................................19
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1.7.1.5 Fracciones algebraicas .................................................................................................20
EJERCICIO 1.6 ...................................................................................................................24
1.7.1.6 Ecuaciones .........................................................................................................................25
1.7.1.6.1 Ecuaciones lineales .................................................................................26
EJERCICIO 1.7 ............................................................................................27
1.7.1.6.2 Solución de problemas ..........................................................................27
EJERCICIO 1.8 ............................................................................................31
1.7.2 Axiomas de orden ..............................................................................................................................32
1.7.2.1 Intervalos ...........................................................................................................................32
1.7.2.2 Operaciones entre intervalos ....................................................................................33
EJERCICIO 1.9 ...................................................................................................................34
1.7.2.3 Ecuaciones de segundo grado ...................................................................................36
EJERCICIO 1.10 ................................................................................................................41
1.7.2.4 Desigualdades de primer grado ..............................................................................41
1.7.2.5 Desigualdades de segundo grado ............................................................................42
EJERCICIO 1.11 ................................................................................................................45
1.7.2.6 Problemas de aplicación .............................................................................................45
EJERCICIO 1.12 ................................................................................................................47
1.7.2.7 Valor absoluto ..................................................................................................................47
EJERCICIO 1.13 ................................................................................................................49
1.7.2.8 Desigualdades con valor absoluto ...........................................................................50
EJERCICIO 1.14 ................................................................................................................53
1.7.3 Intervalos y el axioma de completez ..........................................................................................53
EJERCICIO 1.15 ...................................................................................................................................58
1.7.3.1 Otras operaciones ..........................................................................................................58
1.7.3.1.1 Potenciación ...............................................................................................58
1.7.3.1.2 Radicación ...................................................................................................59
EJERCICIO 1.16 .........................................................................................60
1.7.3.1.3 Racionalización .........................................................................................62
EJERCICIO 1.17 .........................................................................................63
1.7.3.1.4 Logaritmos .................................................................................................64
EJERCICIO 1.18 .........................................................................................67
1.7.3.1.5 Más ecuaciones logarítmicas y exponenciales ............................68
EJERCICIO 1.19...........................................................................................70
1.8 (Sección opcional) Números complejos ...................................................................................................70
1.9 Preguntas tipo GRE (Graduate Record Examination) ........................................................................70
1.10 Resumen .................................................................................................................................................................71
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Contenido
FUNCIONES
Capítulo 2. 79
2.1 Introducción .........................................................................................................................................................79
2.2 Nota histórica ......................................................................................................................................................79
2.3 Funciones ...............................................................................................................................................................80
EJERCICIO 2.1 .......................................................................................................................................................84
2.4 Funciones de variable y valor reales ..........................................................................................................85
2.4.1 Función polinómicas ..........................................................................................................................85
EJERCICIO 2.2 ......................................................................................................................................91
2.4.1.1 Teorema de las raíces racionales .............................................................................92
2.4.1.2 (Sección opcional) Teorema fundamental del álgebra ...................................97
EJERCICIO 2.3 ...................................................................................................................98
2.4.2 Funciones racionales ........................................................................................................................99
2.4.3 Otros tipos de funciones ..................................................................................................................99
2.5 Gráfica de una función .................................................................................................................................100
EJERCICIO 2.4 ...................................................................................................................................................108
2.6 Álgebra de funciones ....................................................................................................................................109
2.6.1 Adición de funciones ......................................................................................................................109
2.6.2 Multiplicación de funciones ........................................................................................................109
2.6.3 Cociente de funciones ....................................................................................................................110
2.6.4 Composición de funciones ...........................................................................................................113
EJERCICIO 2.5 ..................................................................................................................................115
2.7 Dominio y recorrido de algunas funciones especiales ...................................................................118
2.8 Funciones definidas implícitamente ......................................................................................................120
EJERCICIO 2.6 ..................................................................................................................................................121
2.9 Intersecciones con los ejes ........................................................................................................................123
EJERCICIO 2.7 ...................................................................................................................................................125
2.10 Función inversa ..............................................................................................................................................125
EJERCICIO 2.8 ...................................................................................................................................................130
2.11 Otros tipos de funciones .............................................................................................................................133
2.11.1 Funciones pares e impares ..........................................................................................................133
2.11.2 Funciones acotadas ........................................................................................................................134
2.11.3 Funciones periódicas .....................................................................................................................136
EJERCICIO 2.9 ..................................................................................................................................137
2.12 Modelos matemáticos ..................................................................................................................................139
2.12.1 Representación del modelo .........................................................................................................139
2.12.2 Construcción de modelos matemáticos .................................................................................140
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Cálculo con aplicaciones
2.12.2.1 Funciones de ingreso, costo y utilidad ................................................................140
2.12.2.2 Modelos lineales ...........................................................................................................141
2.12.2.3 Depreciación lineal .....................................................................................................146
2.12.2.4 Funciones lineales de oferta y demanda ...........................................................148
2.12.2.5 Punto de equilibrio del mercado ...........................................................................149
EJERCICIO 2.10 .............................................................................................................151
2.12.2.6 Modelos cuadráticos ..................................................................................................154
EJERCICIO 2.11 ..............................................................................................................155
2.12.2.7 Modelos exponenciales .............................................................................................156
EJERCICIO 2.12 .............................................................................................................159
2.12.2.8 Otros modelos ...............................................................................................................160
EJERCICIO 2.13 .............................................................................................................161
2.13 Ejercicios de repaso .......................................................................................................................................163
2.14 Preguntas tipo GRE (Graduate Record Examination) ......................................................................165
2.15 Resumen ............................................................................................................................................................168
ANÁLISIS dE FUNCIONES 173
Capítulo 3.
3.1 Introducción .....................................................................................................................................................173
3.2 Continuidad en un punto ............................................................................................................................174
3.3 Continuidad en un conjunto no conexo .................................................................................................176
3.4 Continuidad en un intervalo cerrado ......................................................................................................181
3.5 Función creciente y función decreciente ...............................................................................................182
3.6 Concavidad de una función ........................................................................................................................191
EJERCICIO 3.1 ...................................................................................................................................................196
3.7 Análisis de funciones no continuas ..........................................................................................................199
3.8 Límites ...............................................................................................................................................................201
3.8.1 Propiedades de los límites ..........................................................................................................209
3.8.2 Algunos límites notables ...............................................................................................................210
EJERCICIO 3.2 ...................................................................................................................................211
3.8.3 Límites laterales .............................................................................................................................211
3.8.4 Definición de límite lateral ..........................................................................................................212
3.8.5 Límites infinitos ...............................................................................................................................213
3.9 Continuidad de una función .......................................................................................................................215
3.9.1 Continuidad en un punto ..............................................................................................................215
3.10 Cálculo de límites ...........................................................................................................................................219
EJERCICIO 3.3 ..................................................................................................................................................221
3.10 Resumen ..............................................................................................................................................................226
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