Table Of ContentCALCUL FORMEL POUR
L’AGRÉGATION
Coursàl’UniversitédeRennes1(2008–2009)
Antoine Chambert-Loir
AntoineChambert-Loir
IRMAR,UniversitédeRennes1,CampusdeBeaulieu,35042RennesCedex.
E-mail:[email protected]
Url:http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Versiondu24mars2009
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antoine.chambert-loir/2008-09/cf/
SOMMAIRE
Introduction ................................................................ 1
Bibliographie .............................................................. 3
1. Nombresentiers ........................................................ 5
Représentationdesentiers,5; Lesquatreopérations,7.
2. Algorithmed’Euclide .................................................... 11
L’algorithmed’Euclideétendu,11; Complexitédel’algorithmed’Euclide
pourlesentiers,13; Complexitédanslecasdespolynômes,15.
3. Nombrespremiers,factorisation .......................................... 17
Nombrespremiers,17; Factorisation,25.
4. Corpsfinis .............................................................. 29
Rappels sur les corps finis, 29; Polynômes à coeficients dans un corps
fini,31; Extractionderacinesm-ièmes,37.
INTRODUCTION
Programmespécifiquedel’optionC.
a) Représentation et manipulation des entiers longs, flottants
multiprécision, nombres complexes, polynômes, éléments de
Z/nZ et des corps finis. Addition, multiplication, division, extrac-
tionderacinecarrée.
b) Algorithmes algébriques élémentaires. Exponentiation (n (cid:55)→
an,pourn ∈N),algorithmed’Euclideétendu.Testdeprimalitéde
Fermat.
c) Matrices à coefficients dans un corps. Méthode du pivot
de Gauss, décomposition LU. Calcul du rang, du déterminant.
Exemples de codes correcteurs linéaires : codes de répétition,
codesdeHammingbinaires.
d) Matrices à coefficients entiers. Opérations élémentaires sur
les lignes et les colonnes. Application aux systèmes linéaires sur Z
etauxgroupesabéliensdetypefini.
e) Polynômes à une indéterminée. Évaluation (schéma de Hor-
ner), interpolation (Lagrange, différences finies). Localisation des
racinesdansRouC:majorationenfonctiondescoefficients.
f) Polynômes à plusieurs indéterminées. Résultants, élimina-
tion; intersection ensembliste de courbes et de surfaces algé-
briquesusuelles.
g) Estimationdelacomplexitédesalgorithmesprécitésdansle
cas le pire. Aucune formalisation d’un modèle de calcul n’est exi-
gée.
BIBLIOGRAPHIE
[1] E. BACH&J. SHALLIT–Algorithmicnumbertheory.Vol.1,FoundationsofCompu-
tingSeries,MITPress,Cambridge,MA,1996,Efficientalgorithms.
[2] J. VON ZUR GATHEN & J. GERHARD – Modern computer algebra, second éd., Cam-
bridgeUniversityPress,Cambridge,2003.
[3] C.K. YAP–Fundamentalproblemsofalgorithmicalgebra,OxfordUniversityPress,
NewYork,2000.
CHAPITRE 1
NOMBRES ENTIERS
§1.1. Représentationdesentiers
A. Numération
THÉORÈME 1.1.1. — Soit b un nombre entier tel que b >1. Pour tout entier n (cid:62)0, il
existe une unique suite (a ,...,a ) d’entiers vérifiant 0(cid:54)a <b pour tout i ∈{0,...,r},
r 0 i
ar (cid:54)=0etn=arbr +ar−1br−1+···+a1b+a0.
Cette suite s’appelle le développement en base b de l’entier n. Lorsque b =10, cela
correspondàl’écritureusuelle,parexemple25=2·10+5.Onécriraainsin=[a ...a ]
r 0 b
poursignifierque(a ,...,a )estledéveloppementenbaseb del’entiern.
r 0
L’entier0correspondàlasuitevide();pourcetteraison,etpourseconforteràl’ha-
bitudedenoterlezéro,onautoriseparfoisa =0lorsquer =0.Saufdanscecas,ona
r
r (cid:62)0etlenombredechiffresdudéveloppementden estégalàr +1.
La présence ou l’absence de zéros en tête du développement en base b n’est de
toutesfaçonsqu’uneconventiondenotation.Silechoixdumathématiciendenepas
lesinclurepermetd’énoncerunthéorèmeélégantcommeceluici-dessus(:-)),lechoix
contrairepeutêtreutileenpratique.
Lesbaseslespluscourammentutiliséessontb=10(systèmedécimal)b=2(numé-
rationbinaire),b=16(notationhexadécimale(1)),b=28 (dutempsoùl’unitédebase
d’unordinateurétaitl’octet),b=264(maintenantquelesordinateursont64bits)Mais
sil’onnepeututiliserqu’unecalculatrice«8chiffres»poureffectuerdegroscalculs,la
base104s’avéreratrèspratique.
Onpeutreprésenterunentierrelatifparsavaleurabsolueetsonsigne.
B. Conversiond’unebaseàuneautre
Demanièregénérale,oncalculedansunebaseprivilégiée(pournous,labase10)et
ils’agitdeconvertirunentiersdepuis,ouvers,unebaseb auxiliaire.
1. «Theword“hexadecimal,”whichhascreptintoourlanguageevenmorerecently,isamixtureof
GreekandLatinstems;morepropertermswouldbe“senidenary”or“sedecimal”oreven“sexadecimal,”
butthelatterisperhapstoorisquéforcomputerprogrammers.»([?])
6 CHAPITRE1.NOMBRESENTIERS
Un certain nombre de conversions sont très faciles à faire en pratique, il s’agit de
passer d’une base b à une base qui en est une puissance, disons bk. En effet, on re-
groupe juste les termes k par k. Dans l’autre sens, chaque «chiffre» en base bk doit
être remplacé par son développement en base b, éventuellement complété avec des
zérosentêtepouroccupperexactementk chiffresenbaseb.
Pour convertir depuis une autre base b, il s’agit essentiellement d’évaluer le poly-
nôme à coefficients entiers P =a Xr +···+a en b. Le schéma de Hörner représente
r 0
cetteexpressioncomme
P =(((arX +ar−1)X +ar−2)+···+a1)X +a0
qu’onévaluedel’intérieurversl’extérieur.
PROPOSITION 1.1.2(SchémadeHörner). — Ondéfinitunesuite(ur,...,u0)parrécur-
rencedescendanteenposant
ur =ar, ui =ui+1b+aipour0(cid:54)i <r.
Alors,u =[a ...a ] .
0 r 0 b
Dansl’autresens,onprocèdepardivisionseuclidiennessuccessivesparb :
PROPOSITION 1.1.3. — Soitnunentiernaturelstrictementpositif.Ondéfinitdessuites
(u ) et (a ) par récurrence en posant u =n puis, si u ,...,u sont définis et u >0, on
i i 0 0 i i
poseai lerestedeladivisioneuclidiennedeui parb etui+1sonquotient.Sir estleplus
grandentiertelqueu soitdéfini,onaalorsn=[a ...a ] .
r r 0 b
C. Tailledesdonnées
Discutonsrapidementdelataillemémoirerequisepourstockerunentierlorsqu’on
l’écrit en base b. Si n =[a ...a ] , on doit connaître les r +1 entiers a ,...,a . Dans
r 0 b 0 r
l’hypothèseoùlastructuredel’ordinateurluipermetdemanipulernaturellementun
entierentre0etb−1,lareprésentationden occupedoncr+1mots.Puisquen vérifie
l’encadrement
br (cid:54)n(cid:54)(b−1)br +···+(b−1)b+(b−1)=br+1−1,
ona
rlogb(cid:54)logn<(r +1)logb,
soitencore r =(cid:98)log n(cid:99),oùl’onnotelog lelogarithmeenbaseb.
b b
Ilfautretenirdecelaquelataillemémoirerequiseparlestockaged’unentiern est
del’ordredelogn.C’estaussiletempsrequispourlelire,oupourl’écrire.
Ilfautréfléchircinqminutesàl’efficacitédelanotationmathématiquequipeutre-
présenter avec un mot de longueur (cid:96) des objets d’une taille exponentiellement plus
grande.Onestimeà1080lenombred’atomesdansl’univers,maisilsuffiraitd’uneligne
pourl’écrireenbase10.
