Calcul de chemin géodésique linéaire appliqué à la morphométrie numérique

16 Pages·2010·4.17 MB·French

Revue Électronique Francophone d’Informatique Graphique, Volume 5, Numéro 1, pp. 1–16, 2011
Calcul de chemin géodésique linéaire appliqué à la
morphométrie numérique
Rémi Synave, Stefka Gueorguieva et Pascal Desbarats
[email protected]
{stefka,desbarats}@labri.fr
LaBRI - Université de Bordeaux 1
Résumé
Une méthode de calcul d’un chemin géodésique linéaire reliant une paire de sommets appartenant à une surface
polyédrique triangulée, avec ou sans bords, est proposée. La méthode construit un chemin géodésique contraint
sur un plan de découpe pour satisfaire les conditions de linéarité. La méthode est intégrée dans une chaîne
numérique complète d’acquisition au scanner laser, de reconstruction, de modélisation, et d’impression 3D. Une
application de la méthode pour la simulation des mesures morphométriques est présentée.
Mots clé : acquisition au scanner laser, chemin géodé- une précision définie par la résolution de l’acquisition. Dans
sique, subdivision, anthropologie numérique, morphométrie la mesure où ces maillages sont des représentations discrètes
des objets réels, le chemin géodésique est une approxima-
tion du plus court chemin entre les points caractéristiques
1. Introduction
sur le modèle physique (voir figure 1). Notre objectif est de
La recherche de chemin géodésique est un domaine trouver une solution optimale, non seulement au sens usuel,
étudié depuis de nombreuses années. Parmi les applica- c’est à dire un chemin de plus courte longueur, mais aussi de
tions rattachées à notre étude on pourra citer la défini- construire un chemin qui remplit des conditions de linéarité
tion et l’estimation des métriques sur des courbes et sur- en minimisant la courbure géodésique discrète introduite par
faces discrètes [KK95, MM97, KS98, LMS97, JC98, KS01, Polthier [PS06].
∗
NK02, GKK02, MVC05, WDB 08b, PBCG09], le calcul
de géodésiques, la paramétrisation et le remaillages des Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode
∗ ∗
surfaces [Set96, SSG03, PC06, SSK 05, LHL06, DRB 09, de calcul de chemin géodésique linéaire reliant un sommet
SJC09, TWZZ07, XW09] ou encore l’imagerie médi- source à un sommet destination sur une surface triangulée.
cale [CK97, WPS03, Coh05]. Nous nous intéressons plus Notre méthode est fondée sur la définition d’un plan de dé-
particulièrement à une application issue de l’anthropologie coupe passant par les sommets source et destination, et sui-
∗
numérique [CCD 07] qui consiste à calculer les distances vant la courbure de la surface le long d’une bande compre-
géodésiques entre des points caractéristiques situés sur des nant des chemins les plus courts. Ce plan de découpe est uti-
sommets de maillages représentant des reconstructions nu- lisé pour subdiviser la surface initiale de manière à produire
mériques de collections ostéologiques. Dans ce cadre précis, un chemin géodésique le long de l’intersection. Ce chemin
il s’agit de trouver la courbe discrète reliant des sommets ca- ainsi construit est appelé chemin géodésique linéaire. La
ractéristiques et de calculer sa longueur afin de simuler les méthode élaborée généralise les résultats de [PS06,LHL06].
mesures morphométriques effectuées sur les modèles phy-
siques. Par la suite, nous parlerons de chemin géodésique Le chemin linéaire de Polthier [PS06] résout le problème
discret ou chemin géodésique reliant les sommets carac- discret de la valeur initiale : soit une surface polyédrique S,
téristiques. un sommet p, p S, et un vecteur v tangent de S dans p, v
∈ ∈
Dans le contexte de ce travail, nous effectuons des acquisi- TpS. Alors le problème discret de la valeur initiale consiste
tions d’objets réels et produisons des maillages que nous ap- à trouver un chemin géodésique g sur S tel que g (0)= p et
pelons modèles numériques. Ces modèles numériques ont g (0)′=v qui relie p à la frontière de S.
(cid:13)c REFIG 2010, Revue Électronique Francophone d’Informatique Graphique.
Publiée par l’Association Française d’Informatique Graphique
2 RémiSynave,StefkaGueorguievaetPascalDesbarats/Calculdechemingéodésiquelinéaireappliquéàlamorphométrienumérique
pression3Denpassantparlareconstructionetlamodélisa-
tion[SDG08,Syn09].
0S 0S 1 0S 1 2
1 1 2
2
D D D
(a) (b) (c)
0S 1 2 3 4 S P1 P2 P3 P4 S Q1
(a) (b) 1 5 P5 Q2
Figure1:Mesuremorphométriqueàl’aided’unrubanmil- 32 76 PP67 Q3 Q4 QQ65
limétré - (a) Mesure "crâne_M27" entre les points carac- 8
téristiquesbregmaetlambda-(b)Mesure"crâne_M28(b)" 4 5 6 7 D D Q D
7
entrel’inionetl’opisthion. (d) (e) (f)
Figure 2: Calcul du plus court chemin d’après [Dij71] -
(a)Maillageinitial-(b,c,d)Itérationsdel’algorithme-(e,f)
AladifférenceducheminlinéairedePolthier,nousnous Différentspluscourtscheminscalculésavecl’algorithmede
intéressonsauproblèmeavecdespointssourceetdestination Dijkstra.
spécifiés et des directions libres aux sommets de départ et
d’arrivée.
P
A l’instar de [LHL06], un plan de découpe contraint la
construction du chemin linéaire. Le calcul du plan de dé- q l q r
coupe selon Lee et al. dépend uniquement de la frontière Q R
de la surface polyédrique sous-jacente et est restreint aux
surfaces 2D variété avec bords. Nous proposons une nou-
velleconstructionduplandedécoupequidépenddelacour- Figure 3: Définition de la courbure discrète d’un chemin
bure de la surface localement dans une région comprenant géodésique dans un point P surune face, dans unpoint Q
lessommetscaractéristiquesetdescheminslespluscourts surunearêteetdansunsommetR.
lesreliant.Notreplandedécoupeestdéfinipourdessurfaces
avecousansbords.Deplus,lasubdivisiondelasurfaceini-
tialeparleplandedécoupeetletraçageduchemingéodé- 2. Étatdel’art
siquelelongdelasurfacesubdivisée permet deconstruire
De manière traditionnelle [Mou85, MMP87, Tho97,
uncheminlinéairepassantpardespointsd’inflexion.
Mit98],lesméthodes decalcul duchemingéodésique sont
La méthode proposée est validée d’une part en utilisant classéesendeux catégories, selon si oncalculeladistance
lecritèremétriqueencomparantleslongueursdeschemins entre un sommet source et l’ensemble des autres sommets
géodésiquessurdesexemplessynthétiquesoùceslongueurs ouladistanceentreunepairedesommetsfixésquel’onap-
peuvent êtrecalculéesdemanièreanalytique. D’autrepart, pellerasommetsourceetsommetdestination,etqu’ondé-
lavaliditéest étudiéeenfonctiondelacourbureetdesca- noterarespectivementSetD.
ractéristiquestopologiques(surfaces2Dvariétéavecousans
Laméthodelaplusconnueestsansdoutel’algorithmede
bords)delasurfacetrianguléesous-jacente.
Dijkstra[Dij71]quipermetdemanièreexhaustivedetrou-
Dans un premier temps, nous faisons un survol des mé- verlecheminlepluscourtentreunsommetsourceettous
thodesdecalculduchemingéodésique quinous ontinspi- lesautressommetsdumaillage.Uneillustrationestdonnée
rées.Dansunsecondtemps,nousdétaillonsnotreméthode surlafigure2.Audépart,ladistanceentrelesommetsource
enproposantplusieurscasd’étudesenfonctiondetypesde ettouslesautressommetsestinitialiséeàunevaleurextrême
surfaces triangulées. Nous donnons ensuite lesrésultats de . A chaque itération de l’algorithme, les distances aux
laréalisationetdel’applicationdenotreméthodedansune ∞sommetsvoisinssontmisesàjoursidenouveauxpluscourts
chaîne complète1 de l’acquisition au scanner laser à l’im-
téléchargeable à l’adresse http ://liba2ri.free.fr sous licence GNU
1 Labibliothèque quisupportel’ensemble desfonctionnalités est GPL.
(cid:13)c REFIG2010.
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cheminssonttrouvés.Pourchaquesommetonsauvegardela duirelacomplexitéàO(n2),nétantlenombredesommets
distanceducheminlereliantàlasourceetsonprédécesseur delasurface.
dans cechemin. Ainsi, àpartir d’un sommet donné, enre-
montanttoussesprédécesseursonpeuttracerlecheminde D
pluscourtelongueurlereliantausommetsource.Lesavan- D D
S
tages principaux de cet algorithme sont sa simplicité et sa
généricité.Parcontre, lacomplexitédanslecasgénéral de S S
polyèdre non convexe est exponentielle [SS84,CR87]. De
D
pgtcioluouuensur,ters,ssitlraeldelloiiacnnnhénteaémrSeitiésenutdroDebla,ctee{nfilPuugiiu}-ecr8is=eit0n2o’(peeetts,itfm{)p.QiasDisé}ea8ip=usasx0ru,crrPéahe0pe.pm=UoirnnQtseà0liels=lsausplStolrunaes--t Sf1 ef20(ae)1ef23 e3 D S D f2*fef2**4*3e*3
nPpoa8ru=sPouQltti8hliis=eornD[sPSlsa0oc6no]tudrreébpfiurnréeiseedpniastécrsr(.è1tP)eoegutériolléduvésastrilquéeueresulkergularinfiltirgnouédaruerii3tteé. f*3 e*3 f*4 D e0*e1*f1*S
e2e**f*2 (c)
k g(P)= q l2+p q r(q l+2q r −q r) (1) (b)e1*0f1*S
Lesanglesq l etq r dénotentlessommesdesanglesvoisins Figure4:Dépliementdesurfaceetcalculde"séquencedu
ausommetPsituésrespectivement àgaucheetàdroitedu pluscourtchemin".
chemind’aprèssonorientationdeSversD.Pourunchemin
linéaireq l=q retk g(P)=0pourtoutsommetPappartenant
ak ug(cPhie)m=in0.,Ai=ins1i,.p..o7u,ril=ec4h,eemtikng{(PPi4})8i==0,p s.uProlaurfilgeucrehe2m(ei)n, chePmouinr ncéecrteasisnietesdaepsplailcgaotiroitnhsmleesppreorfbolèrmmaentdsupopulurslecocuarl-t
{0,Qii=}8i=20,,4,s6u,reltak fig(gQurie)=26(f−),p k,ig=(Q3i),7=. p ,i=1,5, k g(Qi)= NcAuKHl0Pd2Se,VsM9s7oV,lCuVt0Aio59n,7sS,SLapKMp∗rS0o95x7,im,TKaWStiv9Ze8Zs,0A7[KM].KSP90a40r,,mHKiSSc90e51s,,BHsoCPlSDuVt∗io09n26s,,
L’algorithmedeDijkstraaétéreprisdansdenombreuses deuxapprochesémergent.Lapremièresefondesuruneopti-
études.Deuxdesplusconnuessontlaméthodecontinuede misationitératived’uneapproximationinitialedupluscourt
∗
Dijkstra(MMP)[Mou85,MMP87,Tho97,Kap99,SSK 05, chemin[LMS97,MM97,KS01,MVC05]suivantunraffine-
Sch07]etla“FastMarchingMethod”(FMM)[KK94,Set96, mentsélectifdelasurfacesous-jacente.Laqualitédel’ap-
KS98,SSG03].Cesméthodessontaussiutiliséespourlecal- proximationdépenddemanièresignificativedel’initialisa-
culd’uneapproximationduchemingéodésique.Desétudes tionetpeutprovoquer, soituneconvergence versunextre-
∗
comparatives[DRB 09]donnent unavantageàlaméthode mumlocal,soitdemanderunnombreimportantd’itérations.
FMMàcauseduphénomènedeconversiondusystèmemé- Ladeuxième[KS98,NK02,SSK∗05,TWZZ07],sebasesur
trique("metricationerror").Leslongueursdescheminscal- lecalculd’unefonctiondedistancegéodésiquequipermet
culées au moyen de l’algorithme de Dijkstra ne sont pas de simuler la propagation d’un front à partir du sommet
isométriquessurdifférentestriangulationsdumêmeéchan- sourceS.Ensuite,parrétro-propagationàpartirdusommet
tillonnagedepoints. destinationDonévaluelecheminlepluscourt lereliantà
S.Pourcefaireonutilisel’algorithmeFMMpourrésoudre
Uneautreapproche(CH)[CH96,KO00,PC06,XW09]est
l’équationeikonale.
basée sur le calcul d’un dépliement sur un plan [SS84] de
l’ensembledefacestraverséesparunpluscourtchemin.Ce T(P)F=1 (2)
|∇ |
dépliementtransformeunchemingéodésiqueensegmentde
où T est la fonction de distance définie pour tout sommet
lignedroiteetpermetdeconstruiredemanièreincrémentale
P de la surface, T(S)=0, et F est la vitesse de propaga-
une arborescence dont les feuilles correspondent aux plus
tion du front. Il faut remarquer que l’évaluation de (2) sur
courtscheminsreliantlaracineaurestedessommets.Une
desmaillagesirrégulierscommeparexempleceuxcompre-
illustrationestdonnéesurlafigure4pourlecalculduplus
nantdestrianglesobtus,nécessiteuneétudedecas[FH05,
courtcheminentreSetD.Lesfaces{fi}3i=1sonttraversées TWZZ07,WDB∗08b]quilesensibiliseàlaqualitédelatri-
parunpluscourtcheminreliantSetD.Surledépliementde
angulationdelasurfacesous-jacente.
{defi}d3ir=o1ited,ealianfisigularesu4i(tae),dl’eaprêlutessco{ueir}t3ic=h0e,meiin=esftiu∩nsfie+g1m,ien=t Dansnotredomaine applicatif,unecontrainteprincipale
1,2,formeune"séquencedupluscourtchemin".Certaines estdeneprendreencomptequelesdonnéesréellementac-
séquences ne sont pas "séquences du plus court chemin" quises. Aucun des "défauts" du modèle numérique comme
commecellesmontréessurlafigure4(b,c).L’algorithmeCH des trous ou des aspérités dans la surface reconstruite qui
permet d’éliminer ces séquences de la recherche et de ré- peuvent faire dévier un chemin géodésique ne doivent pas
(cid:13)c REFIG2010.
4 RémiSynave,StefkaGueorguievaetPascalDesbarats/Calculdechemingéodésiquelinéaireappliquéàlamorphométrienumérique
être comblés ou lissés. Ainsi par exemple, on ne peut pas chemin discret passant par un sommet sphérique ne peut
rechercher et mesurer un chemin linéaire entre deux som- pas être localement le plus court. Sur l’exemple de la fi-
metscaractéristiquessicecheminestdéviéparunbordde gure7,lechemingéodésiquediscretreliantlessommetsB
lasurfaceousidesvariationsdelacourburedelasurfacene etH enpassantparlesommetsphériqueF delafigure7(a)
permettent pas la simulation d’une mesure physique. Pour n’est paslocalement lepluscourt comme illustrésur lafi-
étudiercesproblèmesnousavonsutilisél’approchedifféren- gure 7(b). Polthier [PS06] introduit le chemin géodésique
tiellediscrète[PP93,PS99,MMSB02,PS06,Gar04],enpar-
ticulierlanotiondecourburedeGaussd’unesurfacepoly- D C D C
édrique.ÀtoutsommetPappartenantàS,unesurfacepoly-
qéduriieqsutel’2eDnvvealroipéptée,coonnavsesxoecideeusnveecntoerumrsalneonrm(Pa)u,xn(dPe)s∈facSe2s, E H F G D H G C D H qGr C
voisinescommeillustrésurlafigure5.LacourburedeGauss D C A E F B A E q F B
l
n1n4 P n2 n3 n(P) S2 A B A B A B
D C D C
(a) (b) (c)
Figure7: Chemin géodésique discret - (a) Chemin leplus
Figure 5: Courbure de Gauss, K(P) en un sommet d’une
court - (b) Chemin localement le plus court - (c) Chemin
surfacepolyédrique.
géodésiquedePolthier
peutêtrecalculéed’aprèsdescaractéristiquesmétriquesde .
S. Ainsi pour une surface polyédrique 2D variété, la cour-
discretcommeunecourbediscrètetellequ’entout pointP
buredeGauss,K(P),dansunsommetPestdéfiniecomme
l’excèsangulaire: decettecourbe, lacourbure géodésique discrète k g(P)dé-
finiepar(1)soitnulle,k g(P)=0.L’illustrationestdonnée
m
K(P)=2p q (P)=2p (cid:229) q i(P) (3) surlafigure7(c).Cettedéfinitionpermetunesolutionunique
− −i=1 auproblèmediscretdelavaleurinitialeetlasimulationde
oùq i sontlesanglesdecentrePappartenantauxfacesvoi- la propagation d’un front évolutif [PS99] sur une surface
polyédrique. Nous utilisons le chemin géodésique linéaire
sines. Selon lacourbure discrète, lessommets sont classés
commesupportdesmesuresentresommetscaractéristiques.
en trois groupes : les sommets sphériques Ps, K(Ps)>0 ,
Silepointdedépart estlesommetsource, ladirectiondé-
les sommets euclidiens Pe, K(Pe)=0, et les sommets hy-
finiepar lacourburegéodésique rendcertainssommets in-
perboliques Ph, K(Ph)<0. Uneillustration est donnée sur
accessiblesparuncheminlinéaire.Surlafigure8sontdon-
la figure 6. Par exemple, le sommet F, du cube sur la fi-
nésdesexemplesdecheminslinéairesaudépartdusommet
→
E
A et de direction AP. Sur la figure 8(c) le chemin linéaire
doitcouperl’arêteED,lessommetsAetDsontreliésparle
C D C D
C C C P D C P chemin A,P,D quin’estpaslinéaire.Pourpalieràcepro-
q q { }
A1 q 23B A Pe B A Ph B q= q +l q < r2p q= 2p q> 2p
q E
K(Ps ) > 0 K(Pe ) = 0 K(Ph ) < 0 P C l D C D
E C q
P r P
Ps C D C D A B A B A B
C
Pe Ph (a) (b) (c)
A B A B A B
(a) (b) (c) Figure8:ChemindePolthierentrantdansunsommet-(a)
Sphérique-(b)Euclidien-(c)Hyperbolique.
Figure 6: Classification des sommets d’une surface poly-
édrique en fonction de leur excès angulaire - (a) Sommet
sphériquePs-(b)SommeteuclidienPe-(c)Sommethyper- blème,[LHL06]proposeunraffinementdelasurfacepoly-
boliqueP . édriquesous-jacenteparunplandedécoupepassantparles
h
sommetssourceetdestination.Pourcalculerlanormaledu
plandedécoupe,Leeetal.utilisedesfacesvirtuellescom-
gure7,estunsommetsphériqueavecunecourburedeGauss
poséesparlesommetsourceetdespairesdesommetsvoi-
K(F)=p /2.
sins appartenant au bord de la surface. Après la découpe,
Lechemingéodésiquediscretdiffèredemanièresignifi- uncheminlinéaireesttracélelongdel’intersectionduplan
catived’unegéodésiquesurunesurfacecontinue. Ainsiun dedécoupeetdelasurfacepolyédrique.Uneillustrationest
(cid:13)c REFIG2010.
RémiSynave,StefkaGueorguievaetPascalDesbarats/Calculdechemingéodésiquelinéaireappliquéàlamorphométrienumérique 5
donnéesurlafigure9.Leproblèmedecetteconstructionest souvent sont desvaleurs expérimentales, lespropriétésdes
surfacesdesubdivisionsontbienconnues.Nousétudionsle
voisinage de chaque sommet avant et après la subdivision
enfonctiondeladiscrétisationdel’angletotalautour d’un
sommet et des longueurs des arêtes adjacentes. Les grilles
sont régulières et correspondent au maillages produits par
l’acquisition. Pour la subdivision "1 6" par exemple, la
−
première ligne de la figure 10 montre la subdivision d’un
triangle. La deuxième ligne illustre la transformation des
distancesentresommets voisins.Lafigure11montrel’en-
semble des voisinages selon les différentes méthodes de
subdivisionaprèsraffinement.Nousrecherchonslasubdivi-
sionpourquil’ensembledessommetsvoisinsàunsommet
donnéaprèslasubdivisionestaccessibledemanièreisotro-
pique.Pourcefaire,aprèslasubdivision,l’échantillonnage
desanglesautourd’unsommetdoitêtrerégulieretlessom-
metsvoisinséquidistants.Lecalculdel’écarttypedesangles
entredeuxarêtesvoisineset deslongueurs desarêtespour
lessubdivisionslesplusutiliséesmontrequelasubdivision
"1 6"optimisecesdeuxparamètres.
−
Figure9:Cheminlinéaireparplandedécoupe.Figuretirée
de[LHL06].
¨ 1 − 6¨
l’orientationduplandedécoupequiselonlepositionnement
du sommet source par rapport au bord peut être très éloi- 2 1 2 2 1 2 5
gnédupluscourtcheminpoursimulerunemesurephysique. 3 2
2 2
Deplus,cetteorientationn’estpasdéfiniepourdessurfaces 3
ferméessansbordsoudessurfacesàbordsmultiples.Nous 1 1 1 1 12
proposons une nouvelle méthode de calcul du plan de dé-
coupe fondée sur l’évaluation de la courbure de la surface 2 1 2 2 1 2
localementdansunerégionlongeant lechemingéodésique
Figure10:Subdivision"1 6".
discret.Notreapprocheestapplicablesurdessurfacestrian- −
guléesavecousansbords.
3. Calculduchemingéodésiquelinéaire
posLé’aelsgtocroitmhmpoesdéedceatlrcouilsdéutacpheesmcoinmgpéroednéasnitqluaedleinnésaifiirceaptiroon- 12 22 2 53 22
dumaillageinitial,laconstructionduplandedécoupeetla (a) 3 1
2
subdivisiondumaillageparleplandedécoupe,etfinalement
(b) ¨1−4¨
letraçageduchemingéodésiquelinéaire.Danslasuitenous
(c) ¨ 1−6¨
détaillonschacunedecesétapes.
2 1 1
5
3.1. Densificationdumaillage 1 1 122 221 23 3 53
thoLdeesraaffippnreomxeimntadtiuvems.aiLll’aingteroedsutcctoiomnmduensàptooiunttessdleesSmteéi-- 22 22 53 5 23 1
1 2 1 3
ner[MM97,LMS97,KS01]surlesarêtes,parexemple,per-
(d) ¨2−2¨ (f) ¨ 2−4¨ (g) ¨1−3¨
metdereéchantillonner lecontinuum d’orientationsautour
d’un sommet de l’intervalle complet [0,2p ]. Pour ce faire
Figure11:Voisinagesdessommetsdanslesmaillagessub-
nousconsidéronslesméthodesdesubdivisionslesplusuti-
divisés:(a)Initial(b)Subdivision"1 4"(Loop[Loo87])
lisées pour le raffinement des maillages [ZSS96,ZDL∗00, −
(c) Subdivision "1 6" (d) Subdivision "2 2" (“Edge-
DKL∗05]. Contrairement au raffinement par l’introduction − −
Flip”)(e)Subdivision"2 4"(f)Subdivision"1 3"(Kob-
despointsdeSteineroùdesparamètres,commeleurnombre − −
belt[Kob00]).
etlepositionnementpararêtequisontdifficilesàévalueret
(cid:13)c REFIG2010.
6 RémiSynave,StefkaGueorguievaetPascalDesbarats/Calculdechemingéodésiquelinéaireappliquéàlamorphométrienumérique
Ainsi,lapremièreétapedenotrealgorithmeestladensifi- d2= P2D (6)
k k
cationdumaillageparunesubdivision"1 6"quidécoupe
chaquetriangleensixpartiesparrapportau−xtroismédianes. d1<d∗<d2 (7)
Decettemanièreaucunedirectionn’estprivilégiée.Unsom-
Nous proposons de choisir le chemin le plus court qui à
metestreliéaveclemilieudel’arêteopposée.
chaque itération nous rapproche le plus au sommet desti-
nation. S’il existe plusieurs sommets qui sont à la même
3.2. Calculduplandedécoupe distance du sommet destination, le choix se porte sur l’un
d’euxsanspréférence.Lessommetssourcesdechoixmul-
Contraindre le chemin sur un plan, passant par le som-
tiplessontmaintenusdansunelistedemanièreàêtreaussi
metsourceetdestination,solutionneplusieursproblèmesde
prisencompteàl’étapedecalculduplandedécoupe.Nous
partsaconstruction:lalinéarité,l’orientationdansdessom-
appelons cette méthode "Approche avant". Sur l’exemple,
metssphériques ou hyperboliques, l’unicité et lereliement
l’ensemble de sommets traitéspar l’ "Approche avant" est
dessommetssourceetdestinationparcechemin.
donné sur la figure 12(c). Par symétrie, la méthode "Ap-
Cequiresteàdéfinirestl’orientationduchemindema-
nière à être le plus proche possible du plus court chemin S S P1 Q2 d1 S P1
etsruxiraaenctgplehenyssslieuqiulvoeannpgtridlsaeeccaoeuucrruhbbeumarneinmdeeixlllaaimcstéuetrtrféap.caeradnaanlsoglaiebàanlademdee- PQ1*2* P2 d2d* P*1 PP32* P5P*4P3P6P5 P7
D D P7* D
3.2.1. Recensementdesommetsdepluscourtschemins (a) (b) (c)
Cetteétapeestbaséesurdeuxobservationsdécisivespour Figure12:Lepluscourtchemin-(a)Maillageinitial-(b)
notreapplication: "Approche-avant" -(c)Ensembledesommetscouvertspar
– le chemin le plus court n’est pas unique, différentes différentschemins"Approche-avant".
suitesd’arêtespeuventdonnerlalongueuroptimale,
– suivant l’algorithme employé, lechemin le plus court
proche arrière", produit un plus court chemin de D à S en
n’est pas symétrique par rapport aux sommets source
cherchantàchaqueitérationlesommetquinousrapproche
etdestination.Parexemple,enutilisantunalgorithme
∗ leplusdusommetS.
tel que A [GH05], les chemins de S à D, et de D à
Speuventêtrecomposésdedifférentessuitesd’arêtes.
Or, quand on effectue des mesures physiques, aussi 3.2.2. Calculduplandedécoupe
bien la distance que le "plongement" du ruban milli-
Acetteétapedel’algorithmeonconstruit leplandedé-
métréentredespointscaractéristiquessurlasurfacede
coupe(voirfigure13)passantparlessommetssourceetdes-
l’objet,sontidentiques.
tination,SetD,etdenormalecalculéecommeunesomme
Pourcetteraison,dansunpremiertempsnousprocédonsà
pondéréedesnormalesn(P),pourl’ensembledessommets
unrecensement desommetsappartenant àdescheminsles
Precensésàl’étapeprécédente.
pluscourtsentreSetDpuisDetS.
Pourrechercherlepluscourtcheminnousreprenonsl’al-
∗
gorithme A [GH05]. Soit l’exemple de la figure 12(a) où
onchercheàconstruirelepluscourtcheminallantdeSàD.
Commeillustrésurlafigure12,àlapremièreitérationilya
deuxcandidatspossibles,P1etP1∗.Lescheminsc11=(S,P1)
et c1 = (S,P∗) sont équivalents (même longueur, même
2 1
courbure). A la deuxième itération, il y a trois sommets
candidats pour laprolongation du chemin leplus court re-
∗
tenuàlapremièreitération,Q2,P2 etQ2.Lescheminsob-
tenus, c21=(S,P1,Q2), c22 =(S,P1,P2), c23 =(S,P1∗,P2) et
c2=(S,P∗,Q∗)ontlamêmelongueur.Lescheminsc2etc2
4 1 2 1 4
(a) (b)
bienquelinéaires,"éloignent"dusommetdestinationDpar
rapportauxcheminsc2 etc2.Sionétudielesdistancesdes
2 3 Figure 13: Illustration du calcul du plan de découpe sur
extrémitésdescheminsausommetDona:
lemodèleutilisédans[LHL06]-(a)Résultatdesméthodes
d1= P1D = P1∗D (4) “Approcheavant”et“Approchearrière”etcalculdesnor-
k k k k males-(b)Calculduplandedécoupe.
∗ ∗
d = Q2D = Q2D (5)
k k k k
(cid:13)c REFIG2010.
RémiSynave,StefkaGueorguievaetPascalDesbarats/Calculdechemingéodésiquelinéaireappliquéàlamorphométrienumérique 7
3.2.3. Subdivisionparleplandedécoupe maillages produits par A2RI comprennent des objets de
formesgéométriquesvariéesainsiquelesspécimensdescol-
L’intersectiondumaillageavecleplandedécoupeproduit
lectionsostéologiquesreprésentatifspourcetteétude.
uncheminlinéairequi "traverse"lestrianglesdumaillage.
Deuxcasdedécoupesontpossibles: Lesextrémitésdescheminsgéodésiquessontpointéessoit
– l’ajoutd’unsommetsurunedesarêtesdutriangledans de manière interactive en des sommets du maillage, avec
lecasoùl’undessommetsdutrianglesetrouvesurle laprécisiond’unvoisinagedeprofondeurchoisie,soitdans
planetleplancoupel’arêteopposée(voirfigure14(a)), unelistedesommetscaractéristiquesprédéfinis.
– l’ajout d’un sommet sur deux arêtes du triangle dans
Enfin,lecalculducheminestévaluésuivantdeuxaspects.
le cas où le plan et le triangle s’intersectent. (voir fi-
Lepremieraspectconcernelacorrespondanceentreleche-
gure14(b))
mingéodésiquecalculéetlecheminréelentermesdelon-
Lasubdivisiondestrianglesparleplandedécoupeentraîne
gueuretdelinéarité.Ledeuxièmeaspectestliéàlaperfor-
un ajout d’arêtes à l’intersection du plan et du maillage
manceentermesd’efficacitéduparcoursdesgraphessous-
créant ainsi un chemin linéaire allant du sommet source S
jacentsetdutempsdecalculdelaméthodeimplémentéeau
ausommetdestinationD.
seind’A2RI.
4.1.1. Modèlesnumériques
L’ensemble des modèles numériques utilisés est donné
(a) (b) danslestables1et4,etillustréssurlaFig.18.
Figure14:Découped’untriangle-(a)Unsommetappar- Chaque ligne de la table 1 comprend le descriptif du
tient au plan de découpe - (b) Aucun sommet n’appartient nombretotaldessommets(#S),desarêtes(#A)etdesdeux
auplandedécoupe. pointsextrêmesdelaboîteenglobanted’unmodèle.
Les quatre premières lignes correspondent aux modèles
synthétiques obtenus à partir d’échantillonnages des sur-
3.3. Calculduchemingéodésiquelinéairecontraintsur facesparamétriques,appelésprimitives.Lesprimitivesutili-
leplandedécoupe séessont:
– Uncubedecoté1etcentrésurlepoint(0.5;0.5;0.5).
À partir du sommet source S on trace le chemin géodé-
– Unesphèredecentre(0,0,0)etderayon1.
siquelinéairedanslemaillagesubdivisé parleplandedé-
– Uncylindreobtenuparlatranslationd’uncerclesitué
coupeenitérantlespassuivantsàcommencerparlesommet
dansleplany=0,centréen(0,0,0),etderayon1,ex-
sourceS.
trudélelongduvecteur(0,4,0).Lecercleetlevecteur
1. PourunsommetPtrouverl’arêteeP incidenteàPetsur sontdiscrétiséspardessuitesdepointséquidistantsen
leplandedécoupe. respectivement15anneauxet30segments.
2. Vérifiersic’estlafindecheminselonsiladeuxièmeex- – Uncônedontlabaseestuncercledansleplany=0,
trémitédeeP estlesommetdestination D.Siletestest centréen(0,0,0),etderayon2.Lesommetducôneest
positifalorsletraçageestarrêté.Lechemingéodésique définien(0,5,0).Lecercleetlahauteursontdiscréti-
linéaire est achevé. Sinon, le sommet P est réinitialisé sésenrespectivement30anneauxet15segments.
avecladeuxièmeextrémitédee etilyaréitérationde- Lesmodèles synthétiques, maillages testsutilisésdans des
P
puislepasprécédent. étudessimilaires,sontlistésdansleslignes5,6,7et8dela
table1,etcorrespondentrespectivementauxmodèlesde"la
figurine Nefertiti" et du modèle représentant une carrosse-
4. Expérimentations
riedelavoiture"Beetle"3,du"Bunny"4 etdel’"Egg-box".
4.1. Pland’expérimentation Endernier,surleslignes,9,10,11et12,lesmodèlesnumé-
Lavalidationducalculduchemingéodésiquelinéaireest riquesreconstruitsaveclachaîneA2RIàpartirdesacquisi-
effectuéesurunensembledemaillagestriangulairesquire- tionsd’objetssontévalués.
groupe deux types de modèles : des modèles synthétiques La table 1 contient également des modèles synthétiques
etdesmodèlesd’objetsacquisetreconstruitsaveclachaîne volumineux5 et montre l’efficacité du calcul défini par
A2RI. Les modèles synthétiques sont issus soit de discré- [GH05]. Pour chaque modèle on retrouve le nombre total
tisations des surfaces quadratiques telles que la sphère, le
cylindre et le cône, soit des modèles appartenant aux dé-
pôts2 qui sont utilisés comme des exemples témoins. Les 3 Graphtheorytoolbox:
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/5355
4 Stanford University Computer Graphics Laboratory, http://gra-
2 Stanford University Computer Graphics Laboratory, http ://gra- phics.stanford.edu/data/3Dscanrep/
phics.stanford.edu/data/3Dscanrep/ 5 Aim-at-shape:http://shapes.aimatshape.net/
(cid:13)c REFIG2010.
8 RémiSynave,StefkaGueorguievaetPascalDesbarats/Calculdechemingéodésiquelinéaireappliquéàlamorphométrienumérique
Modèles #S #A Pointsextrêmes
Cube 8 18 (0.00,0.00,0.00)-(1.00,1.00,1.00)
Sphère 642 1920 (-1.00,-1.00,-1.00)-(1.00,1.00,1.00)
Cylindre 482 1440 (-1.00,0.00,-1.00)-(1.00,4.00,1.00)
Cône 452 1350 (-2.00,0.00,-2.00)-(2.00,5.00,2.00)
Nefertiti 299 860 (-1.92,-2.49,-1.85)-(1.98,2.37,0.53)
Beetle 988 2760 (-0.20,-0.17,-0.50)-(0.20,0.17,0.50)
Bunny 35286 105852 (-0.09,0.03,-0.06)-(0.06,0.19,0.06)
Egg-box 18625 55488 (-5.00,-5.00,-2.18)-(5.00,5.00,2.18)
Vase 5736 16869 (-31.56,-88.70,-596.43)-(20.80,32.18,-565.06)
Tête_poly 16873 49814 (-77.55,-138.54,4.46)-(87.23,115.61,145.31)
Crâne 46793 139170 (-55.47,-93.82,-805.33)-(91.15,58.86,-600.94)
Talus 6116 18342 (-24.32,-2.70,-29.36)-(28.19,40.64,22.52)
Éléphant 78792 235948 (-11.33,-14.88,-23.49)-(11.34,14.87,23.16)
Vase-lion 200002 600000 (-0.30,-0.50,-0.37)-(0.30,0.50,0.37)
Julius 387900 1162063 (-79.81,-143.77,-1323.65)-(123.16,137.58,-1079.75)
Raptor 1000080 3000000 (-0.60,-0.43,-0.17)-(0.99,0.34,0.16)
Table1:Modèlesnumériquesdetestévaluésentermesdenombretotaldesommets(#S),d’arêtes(#A)etdespointsextrêmes
desboîtesenglobantes.
desommets#S,d’arêtes#A,lalongueurd’unchemingéo-
désique aux extrémités choisies aléatoirement, l’évaluation
desalinéaritéentermesdelamoyennedelacourburegéo-
désiquediscrètek g()toutaulongduchemin,l’efficacitéde
calculetletempsd’exécution.
4.1.2. Implémentationlogicielle
L’ensemble des méthodes proposées sont réalisées
comme une partie intégrante d’une chaîne complète A2RI
(a) (b)
d’acquisition, de reconstruction, de modélisation et d’im-
pression 3D [SDG08,Syn09]. Les algorithmes sont implé-
mentésenlangageCettournentsuruneplate-formedetype
PCIntelE8400@3GHzetmunide4GodeRAM.
Pour les modèles reconstruits à partir d’acquisitions au
scanner laser, les protocoles d’acquisition sont explicités
dans[Syn09].
4.2. Résultats
4.2.1. Évaluationdelalongueurduchemingéodésique
(c) (d)
Danslamesureoùlechemingéodésiqueestutilisédans
Figure 15: Chemins linéaires sur des primitives synthé-
l’analyse morphométrique des reconstructions numériques
tiques.
des spécimens ostéologiques, la précision du calcul de la
longueur du chemin est un facteur majeur de l’estimation.
Pourévaluercetteprécisionleslongueursdescheminsgéo-
désiques construits sont comparées aux valeurs estimées
de manière analytique. Les résultats sont résumés dans la table2.Lavaleurcalculéeanalytiquementestégaleà√5
≈
table 2. Soit lecube sur lesFig. 15(a) et Fig. 16(a), l’éva- 2,236067977 et son estimation est calculée àpartir du dé-
luation du chemin linéaire construit reliant les deux som- pliement du cube sur un plan. On peut constater que l’er-
mets extrêmes est donnée dans la première ligne de la reur de mesure est de l’ordre de 10−2. Pour l’exemple de
(cid:13)c REFIG2010.
RémiSynave,StefkaGueorguievaetPascalDesbarats/Calculdechemingéodésiquelinéaireappliquéàlamorphométrienumérique 9
Modèles Nombrede #S #A Longueur Linéarité Efficacité Temps
subdivisions mm Moydek g % sec
0 8 18 2.280776 0.199261 18.1818 0.000091
Cube 1 38 108 2.236068 0.000000 4.8387 0.000381
2 218 648 2.255943 -0.133126 2.6667 0.001754
0 642 1920 1.567306 -0.001679 15.8621 0.011958
Sphère 1 3842 11520 1.567252 -0.001222 5.9896 0.025296
2 23042 69120 1.567202 0.000882 2.2908 0.136340
0 482 1440 2.708775 0.000000 15.9341 0.006294
Cylindre 1 2882 8640 2.708775 0.000000 5.8704 0.029836
2 17282 51840 2.708775 0.000000 2.2835 0.116424
0 452 1350 4.043486 0.008890 16.0870 0.005484
Cône 1 2702 8100 4.044524 0.009493 5.9105 0.017199
2 16202 48600 4.045431 0.009984 2.2236 0.098157
Table2:Évaluationducalculduchemingéodésiquesurdesprimitives.
faite aussi pour des surfaces reconstruites à partir des ac-
quisitionslaser.Pourcertainsspécimens, dûàl’endomma-
gementdelasurfaceostéologiquesous-jacente,lessurfaces
reconstruites représentent des 2D variétés avec bords cor-
respondant aux trous et aspérités de l’os. Dans ce cas, la
construction du chemin linéaire est effective à l’exception
d’uncroisementdebordsliésauxpartiesendommagées.En
pratique, unemesure physique nepeut "enjamber" levide,
cettemesurenepeutpasêtrevalidéeetparconséquentelle
(a) (b) n’est pas prise. Une étude de la précision des mesures eu-
clidiennes et géodésiques sur des modèles numériques par
rapportauxmesuresmanuellessurdescollectionsostéolo-
∗
giquespeutêtretrouvéedans[DGS 09].
4.2.2. Évaluationdelalinéaritéduchemingéodésique
La linéarité du chemin géodésique est estimée avec la
courbure discrète géodésique k g définiepar l’équation (1).
Surl’ensembledesexempleslesmoyennesetlesécarttypes
dek gsontcalculés.Onremarquequelescheminsconstruits
(c) (d) sont linéaires avec une courbure en dessous de 10−2. De
même,onnotequelalinéaritéeststableparrapportauraffi-
Figure16:Cheminslinéairessurdesprimitivesraffinées. nementdelasurface.
L’algorithmeprésentépermetdetracerunchemingéodé-
siquepassant par despointsd’inflexionavecuneinversion
la sphère, Fig. 15(d) et Fig. 16(d), la valeur analytique est delacourburetoutenpréservantsonorientationinitiale.Une
égaleà p 1.57079633 etl’erreurestdel’ordrede10−2. illustrationestdonnéesurlaFig.17.
2 ≈
Pourlecylindre,Fig.15(c)etFig.16(c),l’estimationanaly-
tiqueestde2.709084105etl’erreurestdel’ordrede10−3. 4.2.3. Évaluationdel’efficacitéducalculduchemin
Etfinalement,pourlecône,Fig.15(b)etFig.16(b),lavaleur géodésique
estiméeestde4.035347etl’erreurestdel’ordrede10−2.Il
Pourestimerlaperformancedel’algorithmeonutilisela
faut remarquer aussi que lechemin construit est stablepar
mesure d’efficacité définie par [GH05] comme le nombre
rapportauraffinementdelasurfacesous-jacente.Ainsi,des
de sommets appartenant au chemin géodésique divisé par
subdivisions supplémentaires n’améliorent pas laprécision
le nombre de sommets parcourus. L’efficacité est donnée
demanièresignificative.
enpourcentage. Unalgorithme optimal qui parcourt seule-
L’estimation de la longueur du chemin géodésique est ment les sommets du chemin géodésique a une efficacité
(cid:13)c REFIG2010.
10 RémiSynave,StefkaGueorguievaetPascalDesbarats/Calculdechemingéodésiquelinéaireappliquéàlamorphométrienumérique
de100%. Cettemesureestindépendante desperformances méthode est intégrée dans une chaîne numérique complète
du matériel.L’étude de[GH05] contient une analyse com- A2RIdel’acquisitionaulaserscanneràl’impression3D,et
parative des performances de plusieurs algorithmes de re- expérimentéepourl’évaluationmorphométriquederecons-
cherche du chemin le plus court reliant une paire de som- tructionsnumériquesdescollectionsmuséographiques.Cela
metsdansungrapheorientévalué.Ainsi,pourdesexemples implique un contrôle de la précision de mesure de la lon-
testsdegraphesaléatoiresRij avec65536 4i−1 sommets, gueuretdelacourburediscrèteducheminconstruitafinde
4 65536 4i−1arêtesetpoids 1,...,10× 100j−1 ,l’ef- pouvoirsimulerlesmesuresmanuelleseffectuéesparlesan-
fic×acité de×algorithme de Dijkst∈ra{est estim×ée dans l}’inter- thropologuessurlesspécimensoriginaux.
valle [0.001,0.040] allant en décroissant avec l’augmenta-
Pourtesterlaprécisionducalculetvaliderlaméthode,des
tiondunombredesommets.Certainesoptimisations,basées
modèles synthétiques et des modèles d’objets acquis sont
∗
surl’algorithmeA ,arriventàuneefficacitéde26,47%.
testés. La précision de l’estimation de la longueur du che-
D’après nos expérimentations, la meilleure performance mingéodésique linéaireestde l’ordrede5 10−2mmsur
×
de l’algorithme proposé est de l’ordre de 18%. Par contre, l’ensemble des modèles synthétiques en comparaison avec
cetteperformanceestmaintenuepourdesmodèlesdetaille les valeurs analytiques exactes. Pour les modèles d’objets
volumineuse.L’efficacitédécroîtsionprocèdeàunraffine- acquis,l’estimationestfaitecomparativementàdesmesures
ment des maillages. Cela ne représente pas une contrainte manuelles avec une grande variabilité inter-observateur.
forteétantdonnéquelesraffinementsdesmaillagesn’amé- Ainsi,suruneétudemorphométriquedelacollectiondetali
liorentpasdemanièreperceptiblenil’erreurdemesurede de l’ostéothèque de Pessac, la variabilité inter-observateur
lalongueurducheminconstruit,nisalinéarité. des mesures manuelles est de l’ordre de 3mm. L’évalua-
tion des chemins géodésiques correspondants aux caracté-
Le temps de calcul pour l’ensemble des expérimenta-
ristiquesdeformesétudiéessurlestalipourl’intégralitédes
tionsestdonnéàtitreindicatifdansladernièrecolonnedes
mesuresnumériquesestendessousdeceseuil.
tables2,3et4.Ildépenddel’implémentationetdelapuis-
sancedumatérieletestliéàl’efficacitédel’algorithme.Ce- Cetyped’évaluationdelaprécisionestpeuconnuetétu-
pendant,ilpermetd’avoirunemeilleurecompréhension de diépourdesreconstructionsàpartirdesacquisitionsauscan-
l’algorithmeproposéetdesamiseenoeuvreenpratique. ner laser, inversement à celles du scanner CT. Cependant,
une majorité des applications qui supportent des modèles
numériques issus d’acquisition au scanner laser et en par-
ticulierl’anthropologienumériquenécessitentlamaîtrisede
laprécisionetlaconformitédesmodèlesetmesuresnumé-
riques aux objets et mesures physiques. Un prolongement
imminentdenotreétudeestledéveloppementdesméthodes
pour l’appariement de caractéristiques de la forme géomé-
trique selon des contraintes métriques basées sur l’évalua-
tiondecheminsgéodésiqueslinéaires.Àterme,uneévalua-
(a) (b)
tion précise des caractéristiques surfaciques et volumiques
pourrait déboucher sur de nouveaux outils d’investigation
des séries archéologiques pour une meilleure préservation
del’héritageculturel.
Remerciements:
NoustenonstoutparticulièrementàremercierMlleHélène
Coqueugniot pour l’accès à la collection privée des crânes
juvéniles de la faculté de médecine à Strasbourg, et Mme
ChristineCouturepourl’accèsàlacollectiondetalidel’os-
(c) téothèquedePessac.
Figure 17: Chemins linéaires - (a) Maillage initial - (b)
Maillageraffinéparuneitérationdesubdivision"Loop"-(c) Références
Maillageraffinépardeuxitérationsdesubdivision"Loop".
[AHPSV97] AGARWALP.,HAR-PELEDS.,SHARIRM.,
VARADARAJANK.: Approximatingshortestpathsona
convexpolytopeinthreedimensions.JournaloftheACM.
5. Conclusionetdéveloppementsfuturs Vol.44,Num.4(1997),567–584.
Unenouvelleméthodedecalculd’unchemingéodésique [AM05] ARYA S., MOUNT D. : Computational geome-
linéaire reliant une paire de sommets d’une surface trian- try:Proximityandlocation. InHandbookofDataStruc-
gulée, 2D variété avec ou sans bords, est proposée. Cette turesandApplications,MethaD.,SahniS.,(Eds.).Chap-
(cid:13)c REFIG2010.