Table Of ContentMarco Bramanti
Calcólo delle Probabilitá e Statistica
Teoría ed esercizi
PROGeTTOM ÍM LeONARDO
BOLOGNA
Sommario
Prefazione per il docente V
0. Introduzione 1
1. Statistica descrittiva 5
1.1 Tipi di vanabili. Distnbuzioni di frequenza..........................................................5
1.2 Grafici di distribuzioni di frequenza......................................................................9
1.2.1 Istogrammi e diagrammi a barre...............................................................9
1.2.2 Grafici di frequenza cumulativa.............................................................11
1.2.3 Diagrammi'' Stem and leaf....................................................................12
1.3 Indici di posizione, di dispersione e di forma......................................................13
1 4 Calcoto di media e varianza per dati raggruppati.
Trasformazione lineare di dati...............................................................................18
1.5 Boxplots.................................................................................................................21
Esercizi....................................................................................................................23
1.6 Analisi comparative, correlazione di variabili....................................................27
1.6.1 Correlazione di variabili. Scatterplots....................................................27
1.6.2 Método dei minimi quadrati. Regressione lineare...............................32
1.6.3 Cambiamenti di scala................................................................................37
1.6.4 Confronto fra gruppi, individuazione di sottogruppi............................42
Esercizi....................................................................................................................47
2. Probabilita 49
2.1 Esperimenti aleatori, eventi elementan e spazio campionario.........................49
2.2 Eventi e operazioni su eventi (per uno spazio campionario discreto)..............49
2.3 Probabilitá di eventi...............................................................................................51
2.3.1 Come si opera con la probabilitá. La defínizione assiomatica............51
2.3.2 Come si assegnano le probabilitá. 1: La probabilitá classica..............54
2.3.3 Come si assegnano le probabilitá. 2: L'idea frequentista
di probabilitá.............................................................................................56
2 4 Probabilitá classica e problemi di conteggio: il calcólo combinatorio...........56
2.4.1 Lo schema delle scelte successive
e il principio del prodotto delle possibilitá.............................................57
2.4.2 Lo schema delle scelte simultanee e i coefficienti binomiali...............60
2.4.3 Esempi di problemi combinatori; applicazioni del calcólo
combinatorio alia probabilitá classica.....................................................64
Esercizi....................................................................................................................66
2.5 Probabilitá condizionata........................................................................................67
2.6 Indipendenza di eventi...........................................................................................74
2.7 Añidabilitá di un sistema.......................................................................................76
Esercizi di ricapitolazione sulla probabilitá......................................................79
3. Variabili aleatoria e modelli probabilistici 85
3 1 Variabili aleatoria discrete....................................................................................85
3.2 II processo di Bernoulli.........................................................................................88
3.3 Le variabili aleatoria legate al processo di Bernoulli............................................89
3.3.1 II processo di Bernoulli con un numero finito di prove......................89
3 .3.2 II processo di Bernoulli illimitato...........................................................92
3.4 Valore atteso di una varíabíle aleatoria..............................................................97
3.4.1 La defmizione di valore atteso..............................................................97
3 .4.2 Le propriété del valore atteso...............................................................99
3 .4.3 Calcólo del valore atteso per le v a. legate al processo di Bernoulli e
applicazioni............................................................................................. 101
Esercizi................................................................................................................. 104
3.5. Campionamento, campione casuale, prime nozioni di statistica inferenziale 106
3.5.1 Campionamento, campione casuale, modelli statistic!........................106
3.5.2 Stima di parametrí, stimatori.................................................................108
3 .6 Varianza e covarianza di variabili aleatorie.....................................................110
3.6.1 Varianza...................................................................................................110
3.6.2 Valianza della media campionaria,
legge dei grandi numeri, stimatori consistent!...................................115
3.6.3 Covarianza e correlazione.....................................................................117
Esercizi................................................................................................................. 119
3.7 Campionamento senza reimmissione. Legge ipergeometrica........................119
Esercizi................................................................................................................. 123
3.8 II processo di Poisson..........................................................................................123
3.8.1 La legge di Poisson come limite di leggi binomial!............................123
3.8.2 Secondo modo di dedurre la legge di Poisson................................... 128
Esempi ed esercizi di ricapitolazione salle variabili aleatoried iscrete.......131
3.9 Variabili aleatorie continue.................................................................................136
Esercizi................................................................................................................. 146
3.10 Le variabili aleatorie legate al processo di Poisson..........................................146
3.10.1 La legge esponenziale e la legge gamma............................................146
Esercizi................................................................................................................. 152
3.10.2 Analogie tra il processo di Bernoulli e il processo di Poisson.
Propriété di assenza di memoria...........................................................154
3.10.3 Tempo di vita di un apparecchio.........................................................155
Esercizi................................................................................................................. 159
3.10.4 La ñmzione di istantaneous failure rate e le leggi di Weibull.........160
Esercizi................................................................................................................. 163
3.11 II modello normale...............................................................................................163
3.11.1 La legge normale e le sue propriété......................................................163
3.11.2 Applicazioni della legge normale..........................................................167
Esercizi................................................................................................................. 170
3.11.3 Verifica della normalité dei dati. Normal-scores plot........................171
3.11.4 II teorema del limite centrale e l'approssimazione normale..............173
Esercizi................................................................................................................. 181
3.12 Moment! e indici di forma per variabili aleatorie..............................................182
4. Statistica inferenziale 187
4.1 Stima puntúale.....................................................................................................187
4.1.1 Stima della media...................................................................................187
4.1.2 Stima della varianza. Varianza campionaria........................................189
Esercizi................................................................................................................. 193
4.2 Campionamento da una popolazione normale.
Leggi chi-quadro, di Student, di Fisher.............................................................194
4.3 Stima per intervalli..............................................................................................202
4.3.1 II concetto di intervallo di confidenza.
Stima della media di una popolazione normale con varianza nota.. 202
4.3.2 Stima della media di una popolazione normale
con varianza incognita...........................................................................207
4.3.3 Stima della media di una popolazione qualsiasi,
per grandi campioni................................................................................208
4.3.4 Stima di una frequenza (o proporzione), per grandi campioni........209
Esempi.................................................................................................................211
Esercizi..................................................................................................................215
4.4 Test di ipotesi.......................................................................................................216
4.4.1 Le idee fondamentali sul test di ipotesi.
Test sulla media di una popolazione normale, con varianza nota. . . 216
4.4.2 Test t sulla media di una popolazione normale con varianza incognita,
o sulla media di una popolazione qualsiasi, per grandi campioni ... 224
4.4.3 Test su una frequenza, per grandi campioni........................................226
Esempi...................................................................................................................227
4.4.4 Test su due medie...................................................................................229
4.4.5 Test su due frequenze............................................................................234
Esempi...................................................................................................................235
Esercizi..................................................................................................................238
4.5 Inferenze sulle varianze di popolazioni normali................................................240
4.5.1 Inferenze su una varianza......................................................................240
4.5.2 Inferenze su due varianze......................................................................244
4.6 II test chi-quadro di adattamento e di indipendenza........................................248
4.6.1 II test chi-quadro di adattamento...........................................................248
4.6.2 II test chi-quadro di indipendenza........................................................264
Esercizi..................................................................................................................270
Esercizi di ricapitolazione sulla statistica inferenziale..................................271
Appendici
Appendice A: Domande di verifica.............................................................................277
Appendice B: Approfondimenti e riferimenti bibliografici.......................................282
Appendice C: Divulgazione dell'informazione statistica...........................................285
Tavole.............................................................................................................................287
Introduzione
In questo corso tratteremo argomenti che appartengono a tre discipline distinte:
• la Statistica Descrittiva;
• il Calcolo delle Probabilitá;
• la Statistica Inferenziale.
Scopo di questa introduzione é dare una prima idea di cosa siano e che relazioni
abbiano tra loro queste discipline.
Tutti abbiamo un'idea di cosa sia un'indagine statistica, almeno in alcune
applicazioni alia vita quotidiana o a problemi tecnico-scientifici. Si pensi ai seguenti
esempi:
il censimento decennale della popolazione italiana, da parte dell'ISTAT;
i sondaggi d'opinione, le previsioni e proiezioni di risultati elettorali;
I'ispezione di un campione di pezzi da un lotto numeroso, per avere un controllo
della qualitá media di un prodotto;
la registrazione sistemática di eventi abbastanza rari, come disastri naturali o casi di
malattie, per fare qualche previsione sulla loro frequenza in futuro;
la sperimentazione di un nuovo prodotto su un campione di "casi", per valutame le
prestazioni (ed eventualmente confrontarle con quelle di un prodotto giá esistente). Ad
esempio; si somministra un nuovo fármaco a un gruppo di volontarí; si prova un
nuovo fertilizzante agricolo su un certo numero di appezzamenti di terreno; si prova
un nuovo carburante su un campione di automezzi, ecc.
Tenendo presenti questi e simili esempi, possiamo fare qualche prima riflessione su
cosa sia la statistica. Seguendo Topinione di R. A. Fisher, uno dei grandi studiosi di
statistica del nostro secolo, la statistica si puó vedere come *
(1) lo studio delle popolazionr,
(2) lo studio della variazione,
(3) lo studio dei metodi di riduzione dei dati.
(1) . II significato origínale della parola "Statistica" (studio delle "cose dello Stato")
suggerisce che essa abbia a che fare con gli aspetti sociali. In realtá pero, le
popolazioni di cui si occupa la statistica non sono solo le popolazioni umane, anzi: le
popolazioni studiate sono sempre in un certo senso un'astrazione. Se noi abbiamo le
registrazioni delle stature di 1000 studenti, é la popolazione delle stature piuttosto che
quella degli studenti che prendiamo in esame. L'idea di popolazione non é applicata
solo ad esseri viventi, o a individui materiali. Se un'osservazione, come una semplice
misura, é ripetuta indefinitamente, l'aggregato dei risultati é una popolazione di
misure. Tali popolazioni sono il particolare campo di studio della Teoría degli Errori,
una dei piú antichi e vivad campi di indagine statistica.
Ció non ostante, in un certo senso é corretto dire che la statistica é lo studio di
popolazioni, o aggregati di individui, piuttosto che di individui singoli Questo va
sempre tenuto presente, se non si vuole fraintendere qualunque conclusione tratta con
argomenti statistic!.
(2) . II concetto di statistica come studio della variazione é l'esito naturale del
vedere questa disciplina come lo studio delle popolazioni; una popolazione di individui
* I prossimi paragrafi sono una libera sintesi di alcuni passi dcll'introduzionc del libro di R A Fi.sher:
"Statistical Methods for Research Workers". 13° ed., Oliver and Boyd, Bdinburgh, London, 1958
Introduzione
assolutamente identici sarebbe completamente descritta dalia descrizione di uno
qualsiasi di quest! individui, e dal numero di individui. Le popolazíoni che sono
oggetto di studio statistico, invece, mostrano sempre in qualche aspetto una
variazione interna. II modo piú semplice che il buon senso suggerisce, per descrivere
una grandezza che varia all'intemo di una popolazione, é quello di calcolame un valore
medio. La media, pero, da sola non basta a descrivere o render ragione della
variazione. La statistica, invece, si occupa proprio dello studio della variazione,
osservandone l'entitá e le modalitá: queste infatti ci possono insegnare qualcosa di piú
sulle caratteristiche del fenómeno in esame. Supponiamo, ad esempio, di misurare con
precisione le dimension! di certi pezzi meccanici prodotti da due diverse macchine, A e
B. I pezzi dovrebbero essere tutti identici, ma in realtá mostrano piccole variazioni.
Puó darsi che le dimension! medie dei pezzi prodotti dalle due macchine coincidano;
tuttavia, se i pezzi prodotti dalla macchina A presentano variazioni, rispetto ai valor!
medi, maggiori di quelli prodotti dalla macchina B, noi diremo che la macchina B é
piú accurata della A. Questo é solo un esempio per mostrare come in molti problem! la
variazione sia l'aspetto rilevante.
(3). II terzo aspetto sotto cui dobbiamo guardare alio scopo della statistica é
introdotto dal bisogno pratico di ridurre il volume di ogni insieme di dati. Ogni
ricercatore che abbia effettuato osservazioni metodiche ed estensive é familiäre con
l'incalzante necessitá di ridurre i suoi risultati a un volume piú contenuto. Noi
vogliamo esprimere tutta Yin/ormazione rilevante contenuta in una massa di dati per
mezzo di un numero comparativamente piccolo di valor! numeric!. II numero di
informazioni indipendenti fornite dai dati é sólitamente moho piú grande del numero di
informazioni che si cercano, e di conseguenza la maggior parte dell'informazione
contenuta in ogni corpo di dati é irrilevante. L'obiettivo dei process! statistic! impiegati
nella riduzione dei dati é escludere questa informazione irrilevante, e isolare il nocciolo
deirinformazione. ^
Sintetizzando: la statistica é lo studio di popolazioni di individui, non di individui
singoli; la parola popolazione va intesa in un senso moho astratto, come "aggregato di
individui". Una popolazione presenta sempre, dal punto di vista di ció che si vuole
osservare, una certa variazione interna, che é significativo studiare. Infine, nella
descrizione di una popolazione, abbiamo normalmente a che fare con una massa
ingente di dati da cui é utile estrarre Yin/ormazione rilevante. Questo processo di
sintesi, o riduzione dei dati, é pure tra gli scopi della statistica.
Chiediamoci ora: qual é Y origine della variabilitál Perché 1000 student! non
hanno tutti la stessa statura? Perché se 10 sperimentatori eseguono una stessa misura
fisica, troveranno probabilmente 10 valori leggermente diversi? Perché l'autobus non
passa esattamente ogni 10 minuti, come dovrebbe?
Spesso, all'origine della variabilitá, stanno fenomeni aleatori. "Aleatorio" é un
fenómeno "govemato dal caso", ossia in cui qualche elemento di casualitá entra in
modo essenziale. Questo significa che il fenómeno non é completamente prevedibile a
priori, il che, si noti bene, non significa necessariamente che il fenómeno sia totalmente
imprevedibile; se estraggo una pallina da un'urna che ne contiene 70 bianche e 30 nere,
non sono certo del risultato, ma ho una certa aspettativa
II concetto di probabilitá ha a che fare appunto con le opinion! che noi abbiamo
circa l'esito dei fenomeni aleatori, incerti. II Calcólo delle Probabilitá, di cui
parleremo, é una disciplina che storicamente prende le mosse dai problem! di giochi
d'azzardo (ad esempio, quale sia il "prezzo equo" da pagare per una certa scommessa)
Qui termina il riferimenlo al libro di Fisher
Introduzione 3
e arriva a dare una trattazione matemática dell'incertezza, ossia delle rególe con cui noi
attribuiamo un certo grado di fiducia al realizzarsi di un dato evento. Vedremo come
in molte situazioni concrete, con qualche ipotesi ragionevole sulla natura del fenómeno
aleatorio e qualche informazione quantitativa, saremo in grado di formulare un
mode lio probabilistico, in base al quale calcolare la probabilitá di un certo evento.
Nell'esempio deH'uma con palline bianche e nere, impareremo come si calcóla la
probabilitá che, estraendone 10, ne troviamo esattamente 6 bianche.
Un problema in qualche modo inverso a questo é il seguente: se, intervistando un
campione di 100 persone alia vigilia di un referendum, in 67 affermano che voteranno
"Si", cosa possiamo dire circa la percentuale degli elettori italiani (che sono milioni,
non solo i 100 intervistati!) che voteranno "Si"? A rigor di lógica, assolutamente nulla
di certo. II problema tipico della Statistica Inferenziale é proprio questo: fare
inferenze, cioé asserzioni motivate, circa la popolazione complessiva in esame, a
partiré dalle osservazioni fatte su un campione estratto dalla popolazione stessa La
statistica inferenziale riguarda dunque le conclusion! che si possono trarre quando si
esegue wn'indagine campionaria su una popolazione (cioé osservando solo una parte,
non tutti gli individui). Queste conclusion! non saranno "certezze", ma asserzioni
formulate con il linguaggio e i metodi (precisi e quaníitativi) del calcólo delle
probabilitá.
La Statistica Descrittiva si occupa invece deW'analisi dei dati osservati,
prescindendo sia da qualsiasi modello probabilistico che descriva il fenómeno
soggiacente, sia dal fatto che l'insieme di dati provenga da un campione estratto da una
popolazione piú vasta, o coincida invece con la popolazione intera. Obiettivi della
statistica descrittiva sono:
1. Eífettuare quella riduzione dei dati di cui si é detto sopra. L'informazione
rílevante contenuta nei dati puó essere espressa mediante opportuni grafici o indici
numerici che descrivono la distribuzione di una variabile sul gruppo di individui
considerati.
2. Eseguire indagini di tipo comparativo:
a. confrontare i valor! che una stessa variabile assume su gruppi diversi di individui
(es.: statura di maschi e femmine, all'interno di una popolazione fissata);
b. cercare relazioni esistenti tra variabili diverse (es.: relazione tra statura e peso,
per gli individui di una certa popolazione).
3. Verifícare l'adattamento dei dati empiric! a un modello teórico, o orientare nella
formulazione del modello stesso.
Le tre discipline a cui abbiamo accennato (calcólo delle probabilitá, statistica
inferenziale, statistica descrittiva) hanno quindi strette relazioni reciproche In estrema
sintesi, si puó dire che il loro scopo é quello di darci degli strumenti per prendere
decisioni in situazioni di incertezza, o dare valutazioni quantitative precise del grado
di certezza o incertezza che abbiamo.
