Cahiers des prepas

140 Pages·2011·3.56 MB·French

.
LLeess ccaahhiieerrss ddee pprrééppaass
...
..
○
.. .. .. ..
Revue de mathematiques et d' informatique N 1
..
..
pour les classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs
Avril 2011
Dans ce numéro
1
Des articles scientifiques et de
vulgarisation en rapport avec les
mathématiques; .
1
Des cours sur des parties mal
..
documentéesduprogramme;
1
Un spécial ..préparation aux
concours, avec plusieurs corri-
gés de sujets de concours et des
problèmes originaux avec leurs
corrigés;
1
Une rubrique informatique
avec pour ce numéro, un article
sur le langage C et un autre sur
l’utilisation du logiciel Maple en
calculmatriciel.
S p é c i a l
PPrrééppaarraattiioonn aa... uuxx ccoonnccoouurrss
...
Branche Maths - Info
Porposéparla
association marocaine des professeurs agrégés
del’
2
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.. .. Les cahiers de prépas N 1
Les cahiers de prépas
CenuméroesttéléchargeableauformatPDFsurlesite
Numéro 1 ampa.asso.st
Revuescientifiqueconsacréeauxclassespréparatoires
auxgrandesécolesd’ingénieurs
réaliséepar
Branche Maths – Info
La
deL’Association Marocaines des Professeur Agrégés
Conceptionmaquette
SadikBoujaida
[email protected]
Chargédelacommunication Concéption()LATEX
MoulaySmailMamouni
[email protected] Sadik BOUJAIDA
Rédaction
[email protected]
SadikBoujaida KarimChaira
MohammedErrachid LahcenLhachimi
MoulaySmailMamouni KhalidOunachad
AbdellatifRochdi MustaphaSaadaoui
MimounTaibi MohammedTarqi
Responsabledelarubriqueinformatique
..
SadikBoujaida
Dépot Légal
(encours)
.
   - 
...
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.. Les cahiers de prépas N 1 ..
Édito
LesmembresdelabrancheMaths-Infodel’AssociationMarocainedes
ProfesseursAgrégés,sontheureuxdeprésentercetterevue.Bienquecelle-ciait
étéconçueàdestinationdesélèvesdesclassespréparatoiresscientifiques,ellepeutêtre
profitableauxétudiantsdupremiercycleuniversitaireouassimilé.Sonproposestà
teneurpédagogiqueetscientifique.Elleprivilégiel'informationconcrèteetpragmatique
ets'abstientdetoutesurenchèreéditoriale.Elleseveutaussiunespaceoùles
enseignantspeuventexprimerleursavoirfaireetfaireprofiterdeleurexpérienceunplus
largepubliquequeledomainerestreintdesclassesqu'ilsontencharge.
Ilaétéchoisi,pourcenumérodumoins,dediffuserlarevueuniquementenligne,sous
saformenumérique.Etceafindesedispenserdestracasdel'éditionpapieretdesaléas
deladistribution.C'estainsiqueleformat(duA4enmodepaysage,avec
principalementdeuxcolonnes,trèspopulaireparminotregenteestudiantine)retenu
pourlamiseenpageestpeutêtreinhabituelpourunerevue,maisill'aétédanslebut
depermettreàtoutunchacund'enproduireuneversionimpriméeavecuncoût
optimal,toutenpréservantdesconditionsdécentesd'utilisation.
.
Lecontenun'estpasenrestedecettevisiondeschoses:privilégierl'aspectpratiqueet
l'informationimmédiatementutileetutilisable.Cepremiernuméro,parexemple,aété
pensépoursoirauxbesoinsactuelsdenosélèves,quientamentpourceuxdesclasses
dedeuxièmeannée,laphaseterminaledeleurpréparationauxconcours.
Nousespéronsquecepremieropusseraitprofitableànosélèves.Qu'ildéclenchera
aussil'adhésiondenosenseignantsauprojetpourlesprochainsnuméros.Sansleur
apportcetteproduction,nesauraitsurvivreaudelàdequelquesparutions.Leurs
compétenceetlamaitrisedeleursmétiersn'offrentpasdeplaceaudoute,maisilfaut
endiversifierlesvoiesdecanalisation.Nousespéronsaussiparcetravail,contribuerà
comblerlevideéditorialquirègnedansnotresecteur.
SadikBoujaida
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  -  
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.. .. Les cahiers de prépas N 1
46
Les cahiers de prépas
Fonctions β et Γ
Table des matières
.. Enoncéavecsoncorrigéd’unproblèmeoriginalsurlesfonctionsbetaetGamma
56
du numéro 1
Problème de Dirichlet
UnproblèmeavecsoncorrigésurleproblèmedeDirichlet.Uneadaptationd’uneépreuve
duCNCdatantde1994.
65
5
Endomorphismes nilpotents et crochets de Lie
L’histoire des nombres, Première partie
Unproblèmeavecsoncorrigésurunecaractérisationdesendomorphismesnilpotents
Lepremierd’unesériedeseptarticlesavecillustrationssurl’histoiredesnombres
10
endimensionfinie,etquelquesapplicationsdurésultatétabli.
71
Topologie algébrique : Introduction
Utilisation de la topologie en algèbre linéaire
Le premier d’une série de trois articles sur la géométrie algébrique. L’objectif étant de
Un problème, avec son corrigé, sur l’utilisation des notions de topologie en algèbre
démontrerunrésultatutiliséparl’auteurdanssathèsededoctorat
15 79 linéaire
Fonctions de Bessel
CNC 2001, Maths I, MP
21 UncourssurlesfonctionsdeBessel Corrigédelapremièreépreuvedelasession2001duconcoursnationalcommun.
85
Fonctions holomorphes
Centrale 2001, Math II, filière PSI
Un cours, avec des exercices résolus, sur les fonctions holomorphes. Conforme au
Corrigédeladeuxièmeépreuvedelasession2001duconcoursdel’écoleCentrale,filière
nouveauprogrammemarocaindesclassesMPetPSI
35 PSI.LesujettraitedesdécompositionsmatriciellesLU,QRetcelledeCholesky
93
Transformations affines euclidiennes du plan
CNC 2003, Maths I, filière MP
et de l’espace
Corrigédel’épreuveMathIduCNC2003,unsujetsurlatransforméedeFourier.Ony
Uncourssurlestransformationsengéométrieeuclidienne,endimension2ou3,avec démontreenparticulierleprinciped’inversiondecettetransformation.
uneapprocheoriginale.
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   - 
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5
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.. Les cahiers de prépas N 1 ..
99
CNC 2010, Maths I, MP
Corrigé de la première épreuve de la session 2010 du CNC, filière MP. Le sujet traite
l’équationdelachaleur.
104
Mines 2011, Maths II, MP
Enexclusivité,lecorrigédel’épreuveMathIIduconcoursMines2011.
109
Mines 2011, Maths I, MP
Corrigé de l’épreuve Mines de cette année, Maths II, filière MP. Le sujet donne deux
applicationsdeladécompositiondeDunfordpourcaractériserladiagonalisabilitéd’une
matrice A, en fonction des propriétés de l’endomorphisme M z→ AM − MAde
M (C)
114 n
Précis de langage C
RécapitulatifdesélémentsdebasedulangagedeprogrammationC.
119
Algèbre linéaire avec Maple
Un cours relativement avancé sur l’utilisation du logiciel Maple en algèbre li-
néaire
o
.
  -  
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..
Qu’est ce que Wikipedia?
} Culture générale ~
Wikipedia,l’encyclopédielibre,estuneencyclopédiemultilingue,librementdiffu-
sable,disponiblesurleweb.Elleaétécréeen2001etestdevenuel’undessitesweb
lesplusvisitésdanslemonde.Elleesthébergéeparunefondationaméricaine,la
WikimediaFoundation.
L’histoire des nombres, Première
SonfondateurJimmy Whale,aprèsl’échecd’uneexpérienceprécédente(Nu- partie
pedia),confiasacréationàLarrySangeràtitrederédacteurenchef.Contrairement
àNupedia,elleadepuissesdébutsfonctionnéselonunmodederédactiondes
articlestotalementlibre,sanscomitécentraldecontrôle,aveccommecompensa-
tionunsystèmetoutaussilibrepourrapporterlesabusetlesimprécisions.Elle
aétéaidéencelaparl’apparitiond’unenouvelletechnologie,qu’ellead’ailleurs
largementcontribuéàpopulariser,latechnologiewiki.Unwikiestunsiteweb
dontlecontenun’estpluslimitéàuneconsultationpassivedel’utilisateur,mais
estimmédiatementéditableparcelui-ci,selonplusieursniveauxdepermissions,et proposéparAbdellatif Rochdi
cedansleNavigateurwebluimême.AinsilesarticlespubliéssurWikipedia,une
Faculté des sciences Ben Msick, Casablanca
foiscréeparunutilisateur,sontmodifiablesparlesvisiteursdusite.Cequipeuten
apparenceposerunproblèmedefiabilitédesinformationsmiseàdispositiondes ..
visiteurs.Maisaufinallepubliqueexerceunesorted’auto-régulationquifaitque, .
danscertainsdomainesplusqued’autres,laqualitédesarticlemisenligneégale
No.s connaissances mathématiques acquises depuis l’enseignement pri-
presquecelledesautresencyclopédiesnumériquesditescommerciales.
ma.ire jusqu’aux années de licence sont le fruit des travaux réalisés au
Les articles sur les sciences pures sont ceux qui bénéficient de la plus grande
justesse,etc’estsouventconfirmépardescomparatifsréaliséspardesmagazines co.urs de la période, relativement récente, qui s’étale de la renaissance ..
scientifiquescélèbres(telNature).Ceciestpeut-êtredûaufaitquelanature ..
mêmedessujetstraitésneprêtepasàlapolémiqueetqu’ilssontsouventrédigés en. Europe Occidentale jusqu’à aujourd’hui. Cependant il a fallu à l’-
pardespersonnesquifontautoritédansleursdomaines.
hu.manité plusieurs millénaires pour domestiquer le nombre. Ceci est
Wikipédiapeutconstituerunpointdedépartpourtoutessaidedocumentation l'ab.outissement d'un long processus et travail d'abstraction de la pensée
surunsujetscientifique.Encelailpeuts’avéreruneressourceinépuisablepour
lesélèvesdesclassespréparatoiresenquêtedesujetspourlapréparationdeleurs à travers les civilisations qui se sont succédées.
T.I.P.E(Travaild’InitiativePersonneldel’Élève).Maispeutaussi,dansunregistre
plusoisif,leursfournirdesinformationssurlessujetsquilesintéresse,enallantde
labiographiedeleurartistepréféréoulafichetechniqued’unfilmàl’historiquede
lavoituredeleursrêve.
Des symboles « numériques » sont trouvés dans les restes des premières écritures
Signalons que l’aspect libre de Wikipedia est concrétisé par le fait qu’elle soit humaines. Même dans l’âge de pierre (← /-10 000) nous les trouvons en forme
accessible,sanssupportd’installationniunequelconqueformuled’abonnement, d'entaillesdansdesosoucommedesmarquessurlesmursdegrottes.C'étaitl'âge
sur n’importe quel matériel disposant d’un Navigateur web. Ce qui inclut tous
où l'homme a vécu comme un chasseur et aujourd'hui nous pouvons seulement
les ordinateurs et tablettes, certains téléviseurs ... et notamment les téléphones
portables dits intelligents(smartphones). Certains de ces derniers appareilsont spéculer si |||| a, par exemple, été destiné pour représenter la quantité de gibier
desapplicationsdédiéesàlaconsultationdusite,avecdescapacitésdebalisage chassé.Lessystèmesdenombresmarquentledébutdel'arithmétique.
(bookmarks)etdegestiondel’historiquedeconsultationdesarticles.Etparfois
même ses applications sont capables de rapatrier tout le contenu (encore un
avantagedel’aspect“libre”)deWikipediapouruneconsultationoffline.
ampa branchemaths-info
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L’histoiredesnombres,Premièrepartie
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.. Les cahiers de prépas N 1 ..
Paléolithiquesupérieur1 (-35000/-10000) Maya (-4..e/1697)
Indo (← -300/700 →)..- Arabe (3e/13e s.)
Présenced’ENTAILLESNUMERIQUESenEurope.Leshommes,
enpassantparla
qui durentapprendre à conserverles « nombres », avaient à
leurdispositiondeuxsupportsprivilégiés,lesosetlebois.Pour Renaissance Europé..enne (14e/17e s.)
mémoriser combien il y avait d’éléments dans un ensemble Jusqu’àl’époqueactuelle.
dechoses(bêtes,hommesouobjets),leshommesduPaléoli-
thiquefaisaientunemarque(souventuneentaille)surlesup-
portchoisi.Des«osnumériques»deprèsde-30000ansont Nousdébutonscettehistoireparcettepremièrepartieintitulée:
étéretrouvés.
Mésolithique2 (-10000/-6000) Apparition du « nombre » dans les premières civili-
sations (Babylonienne, Egyptienne et Chinoise)
ApparitiondesCALCULIauMOYENORIENT.C’estenMéso-
potamieetdansd’autreslieuxduMoyenOrient(-8000)qu’ap-
paraissentlescalculi.Danslapratique,chaquecaillouvaut”un”
LespremiersdocumentsreviennentauxpremièrescivilisationsdelavalléeduNil,
etpourdesraisonsdecommoditéévidente,oneutl’idéede
etcelledel'EuphrateetduTigre.(Voircarte,page9)
remplaceruntasparunseulcailloudenaturedifférente,parsa
couleurouparsaforme.Onretrouved’ailleursenMésopota-
miechezlessumériensdesobjetsfabriqués(”pierresd’argile”),
lescalculi(calculus,”caillou”enlatin),dèslamoitiédu4ème Numérotation Babylonienne (← -3 000/-539)
millénaireavJ.-C.
Danslanumérotationsumérienne,quiestdebase60,lepetit
cônevaut1,labille10,legrandcône60,legrandcôneperforé Les Babyloniens ont utilisé des symboles cunéiformes sur des tablettes d'argile.
3600etlasphèreperforée36000. Ceux-ci ont été basés sur une décimale mélangée et une notation de position
g ‘
sexagésimale : signifiant 1, 601, 602, …; tandis que signifiant 10, 10.601,
10.602,…etcetera.Unsymbolezéron'étaittoujourspasutiliséparlesBabyloniens
Vestigesdespremièresutilisationdesnombres et ils n'ont jamais utilisé une marque comme notre point décimal. Dans une
notation positionnelle le rôle du zéro est celui d'un signe marquant "un écart"
(trou).Unsignedecettesorte,deuxpetitesmarquesdecale
Nous allons présenter, dans une série de paragraphes, l’évolution du « nombre » ‘
depuislespremièrescivilisations
‘
Babylonienne (..← -3 000/-539)
Egyptienne (..-3 150/-715) doit être trouvé dans un vieux texte Babylonien de Susa ([2] 12, p. 4), mais
seulementdanscasisolés( [6],p.28).
Grecque (-..800/-200)
Enabsenced'untelsigne,lavaleurpositionnelledoitêtredéduitedanschaquecas
1Agedelapierretaillée ‘‘g‘
2débutdelasédentarisationagricole du contexte. Ainsi, par exemple, pourrait signifier n'importe lequel des
  -  
...
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L’histoiredesnombres,Premièrepartie
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.. .. Les cahiers de prépas N 1
nombres
21.60+10,21.602+10.601,10.601ou21.602+10etcetera. (-1900/-1600)PremièreNUMEROTATIONDEPOSITION(savante)
ggg
Desexemplesdefractionssexagésimalessont pour0.30=30/60=1/2ou
ggg‘‘
.. ..
ggg‘‘
pour 0.64 = 6. 1/601+40. 1/602 = 1/9. (Pour les détails de calcul de Babyloniens
voir [3],- [2]).

  Agauche:Tablettesumérienne(-2000)donnantundécomptedubétailaumoyen
LesBabyloniensontétédesarithméticiensetalgébristesfortementdoués.Ilsontdéveloppé dessignesetchiffrescunéiformes.Adroite:Unetabledemultiplicationpar25
destablessophistiquéespourl'utilisationdansdescalculsincluantlamultiplication (-2000)provenantdeSuse(Mésopotamie).
et la division pour résoudre des équations quadratiques du troisième degré. Ils
ont donné des règles pour résoudre des équations quadratiques « mélangées » par (-3esiècle)Inventiondu«ZERO»parlesBABYLONIENS
le processus "de l'achèvement du carré" et même pour résoudre des équations Cezéron’estpourl’instant,pasconçucommeunnombrepouvantêtreutilisélorsdecalculs.Il
du troisième degré mélangées à l'aide des tables de x2(x+1). En tout cas il est sertsimplementàexprimerl’absenced’unitésd’uncertainordre.
sûr d'affirmer que les Babyloniens, avec leurs méthodes habiles et ingénieuses
de calcul ont exercé une influence considérable sur le développement ultérieur
d'arithmétiqueetl'algèbre.
Numérotation Egyptienne (Hiéroglyphique) (-3 150/-715)
(-3300/-3200)PremièreNUMEROTATIONECRITE(chiffres)àSUMER(Mésopo-
tamie)etenELAM(Iran) Les hiéroglyphes pour les nombres 10 000, 100 000 et 1 000 000 doivent être
L’écritureestnéeenMésopotamiepuisélaboréepourlagestiondel’empire,terres,troupeaux, trouvéssurunemaqueduRoiNarmer,delapremièredynastieEgyptienne(−3000).
hommes,grains…Danslespremièrestablettesd’argile,ayantrévélél’écriture,apparaissentdes Lesimagesutiliséespeuventseréférerauxpratiquesliéesauxnombresappropriés:
nombres.Numérationécriteetécrituresemblentêtrecontemporaines.
(-2700)ApparitiondesCHIFFRESSUMERIENSCUNEIFORMES
Chiffres Hiéroglyphes Valeur Signification présumée
|
(-2000)ApparitiondelaBASEDECIMALE 2 1 Unbâton,évoquel’unité
10 Uneansedepanier,peutcontenirenviron10objets
3
100 Unrouleaudepapyrus,onpeutymettreenviron100
hiéroglyphes
4
1000 Unefleurdelotus,onlestrouveparmilliers
   - 
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L’histoiredesnombres,Premièrepartie
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.. Les cahiers de prépas N 1 ..
• Pour exécuter les calculs de cette sorte avec des fractions générales, on a be-
soindepouvoirexprimerlesmoitiésetdoublerdesfractionsd'unitécomme
5
10000 Undoigtmontrantlecielnocturne,onyvoitprèsde lessommesdefractionsd'unitéavecdesdénominateursimpairs.Lepapyrus
10000étoiles Rhind(environ1650av.J.-C)contientdestablesdonnantdetellesdécom-
6 positionsdelafraction2/npourentiersimpairsn.(Pourlesdétailsdecalculs
100000 Untêtard,onentrouvedel’ordrede100000après Egyptiens,voirlePapyrusdeMoscou[5]etlePapyrusRhind[4].)
laponte
o
7
1000000 Undieuagenouillésupportantleciel,ledieuestéter-
nelet1.000.000d’annéesestsynonymed’éternité
Tab.1.1:Hiéroglyphesnumériquesdel’ancienneEgypte
Il est également possible que les symboles représentent des objets dont la lettre
initiale est la même que le mot pour le nombre correspondant. De nouveaux
nombres sont formés par une notation additive basée sur la juxtaposition, par
exemple,
66554 52
= ou = ..
.
Ainsil'additionetlasoustractionneprésententaucunproblème.Parexemple,
2|| 2| 22|||
=12ajoutéà, =11donne =23.
La multiplication et la division sont réduites à une succession d’opérations de
doublementetdedivisionpardeux.Lesfractionsrésultantessontexpriméescomme
dessommesdefractionsd'unité(fractionsdontlenumérateurest1),lesigneétant
utilisé pour indiquer que le symbole du nombre au dessous duquel il est placé
représente le dénominateur d'une fraction d'unité. Ainsi par exemple la fraction
1/12estécritecomme
• Pour représenter la fraction 3/12, les calculs trois fois un douzième sont
exécutés comme suit : 1 1/12 (c'est à dire une fois 1/12 = 1/12) 2 1/6
(doublement) de manière que la fraction 3/12 soit écrite comme 1/6 1/12,
c’estàdire
  -  
...
10
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L’histoiredesnombres,Premièrepartie
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.1.1:Lespremièresécrituresservaientde«livresdecomptabilitéoud'inventaires»
   - 
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