Cahier de maths 2de - édition 2013

96 Pages·2013·18.67 MB·French

by  Michèle Le Bras

Cahier de
maths
Pour comprendre et réussir !
de
Michèle Le Bras
Professeur de mathématiques en lycée (78)
Annie Soismier
Professeur de mathématiques en lycée (95)
Remerciements
• Les auteurs remercient vivement les enseignantes qui ont accepté de participer à la relecture critique
de ce cahier : Odile Chazalviel, Frédérique Feibel et Anne Le Mercier.
• Les auteurs remercient également Christiane Perdon et Jacqueline Penninckx pour leurs conseils.
• Les auteurs remercient leurs familles pour leur patience et leurs conseils.
Couverture : Anne-Danielle Naname / Juliette Lancien
Maquette intérieure : Anne-Danielle Naname / Juliette Lancien
Composition : Desk
Schémas : Patrick Hanequand
Recherche iconographique : Katia Davidoff / Booklage
Illustrations : Jean-Louis Goussé
Photogravure : Nord Compo
Crédits photographiques
Couverture : © Frederic Cirou / PhotoAlto / Getty Images.
Intérieur : 37 © Annie Soismier. 41 © Annie Soismier. 61 © Collection particulière. 71 © Seth C Fisher / Shutterstock.com.
79 © Natalia Siverina / Shutterstock.com. 83 © Musée de Grenoble / Adagp, Paris 2013. 87 © Johnny Sajem / Shutterstock.
com. 90 © Olena Mykhaylova / Shutterstock.com. 93 © topora / Shutterstock.com ; © Tish1 / Shutterstock.com.
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© Hachette Livre 2013, 43, quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15.
ISBN : 978-2-01-135590-4
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et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes
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intégrale ou partielle, faite sans le consentement des auteurs ou de ses ayants droit ou ayants 2
cause, est illicite ».
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de
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75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du
Code pénal.
Sommaire
M E
HÈ 1
Fonctions
T

Partir d’un bon pied
S’évaluer .................................................................................................... 4
Se préparer ................................................................................................ 5
Fiche 1 Fonctions et algorithmes ......................................................................... 11
Fiche 2 Premières notions sur les fonctions ...................................................... 13
Fiche 3 Résolution graphique d’équations et d’inéquations............................. 15
Fiche 4 Variations et extremums d’une fonction ............................................... 17
Fiche 5 Fonctions affines ...................................................................................... 21
Fiche 6 Transformations d’expressions algébriques .......................................... 23
Fiche 7 Fonction carré et fonction polynôme de degré 2 .................................. 27
Fiche 8 Fonction inverse et fonction homographique ........................................ 29
Fiche 9 Résolution algébrique d’équations ......................................................... 31
Fiche 10 Résolution algébrique d’inéquations ..................................................... 33
Fiche 11 Mettre un problème en équation ............................................................ 37
Fiche 12 Trigonométrie ............................................................................................ 39
Fiche 13 Si ... alors ; Si ... alors ... sinon ............................................................. 41
Faire le point ............................................................................................................. 43
M E
HÈ 2 GéomFaéitrer ilee point ................................................................................................................ 43
T
Partir d’un bon pied
S’évaluer ................................................................................................... 46
Se préparer .............................................................................................. 47
Fiche 14 Repères et coordonnées de points .......................................................... 51
Fiche 15 Milieu et distance .................................................................................... 53
Fiche 16 Configurations du plan ............................................................................ 55
Fiche 17 Droites dans le plan ................................................................................. 57
Fiche 18 Position relative et intersection de deux droites ................................. 59
Fiche 19 Translations et vecteurs .......................................................................... 63
Fiche 20 Coordonnées de vecteurs ......................................................................... 65
Fiche 21 Somme de vecteurs ................................................................................... 67
Fiche 22 Colinéarité, parallélisme et alignement ................................................ 69
Fiche 23 Géométrie dans l’espace .......................................................................... 73
Faire le point ............................................................................................................. 75
M E
THÈ 3 StatiFsatirieq ulee pso ientt .p...r..o...b...a...b...i..l..i..t..é...s................................................................................... 43
Partir d’un bon pied
S’évaluer ................................................................................................... 76
Se préparer .............................................................................................. 77
Fiche 24 Moyenne d’une série ................................................................................ 79
Fiche 25 Médiane et quartiles ................................................................................ 81
Fiche 26 Simulations sur calculatrice et tableur ................................................. 83
Fiche 27 Probabilité d’un événement .................................................................... 87
Fiche 28 Arbres et tableaux ................................................................................... 89
Fiche 29 Diagrammes et tableaux croisés ............................................................. 91
Fiche 30 Intervalle de fluctuation ......................................................................... 93
Faire le point ............................................................................................................. 95
La correspondance entre le programme offi ciel et les fi ches est disponible en ligne :
www.hachette-education.com > Espace enseignants > Lycée > Disciplines générales > Mathématiques > 2de
E
M
È 1
H
T Fonctions
Partir d'un bon pied S'évaluer
Pour chaque question, entourer la ou les bonne(s) réponse(s).
A B C VOIR
1.  Pour calculer l’expression
4 + 2 ´ 32 32 4 + 2 2 ´ 3 1 , p. 5
on commence par effectuer :
2.  Pour calculer l’expression
5 + 4(3 + 5) 5 + 4 3 + 5 4 ´ 3 1 , p. 5
on commence par effectuer :
1 5 6 41
3.  Le nombre 5+ est égal à : 8 , p. 6
8 8 8 8
4.  Le nombre (-3)2 est égal à : -9 -6 9 13, p. 7
9+16
5. Le nombre 9+16 est égal à : 3 + 4 = 7 25=5 =12,5 21, p. 8
2
6. S oit f la fonction qui, à un
nombre non nul, associe l’inverse 1 1
f(x)= f(x)=-x2 f(x)= ´x2 10, p. 6
de son carré. Pour tout nombre x2 x
non nul x, on a :
7. L a fonction f dont l’expression,
pour tout nombre x, est donnée f(x) = 5 - x f(x) = 2x2 f(x) = 3x Fiche 5, p. 21
ci-contre est une fonction affi ne :
8. f (x) = 3x + 4. L e coeffi cient
4
directeur de la droite représentant 3 4 Fiche 5, p. 21
3
la fonction f est :
3
1
9. S oit la fonction f représentée gra- 0
2
e
phiquement ci-dessous. ett
h
On a : c
a
Fiches 2, p. 13, H
f (x) f(0) = 1 f(0) = 2 f(2) = 0 ©
1 et 5, p. 21 sir –
s
x éu
0 1 2 dre et rdélit.
10.  L’équation 2x = 0 a pour solu- 1 24, p. 9, et mprenst un
tion : x = 0 x = -2 x=2 Fiche 9, p. 31 our coorisée e
11.  Si 2x > 5, alors : x > 5 - 2 x<52 x>52 25, p. 9 demaths 2 – Popie non aut
12. Us ionne f2oxr m-e x f(axc +to r2i)s éees td :e l’expres- x(2 - x + 2) x(x + 2) x(2 - x - 2) Fic5he, p6., 5 p,. e2t3 hier de photoc
CaLa
4
Partir d'un bon pied Se préparer
Règles de calcul
Ordre de priorité des opérations Développer un produit
On effectue les calculs dans l’ordre suivant : Développer un produit, c’est transformer
1 l’intérieur des parenthèses ou des racines ; ce produit en somme algébrique.
2 les puissances, les produits, les quotients ; Pour tous les nombres k, a, b et c :
3 les différences ;
k(a + b - c) = k ´ a + k ´ b - k ´ c
4 les sommes.
Sur la calculatrice, les parenthèses sont indis- Penser à multiplier tous les nombres à
pensables pour calculer les quotients : l’intérieur des parenthèses par le nombre k.
3+5 (3+5) 8
= = =1
3 Développer les expressions suivantes :
2+6 (2+6) 8
A = 2(3 + a) = 2 ´  3  + 2 ´  a  =  6 + 2a
3 + 2,5 + 6 = 11,5
B = -3(c + 5) = -3 ´  c  - 3 ´  5  =  -3c - 15
C = 5x(x - 3) = 5x ´  x  - 5x ´  3  =  5x2 - 15x
1 Calculer les expressions suivantes. Vérifi er les résul-
tats à l’aide de la calculatrice. D = -2x(5 - 7x) = -2x ´ 5 + 2x ´ 7x  = -10x + 14x2
a. A =  (5 + 3)2  -  3 ´ 7  +  2 ´ 42 E = 4a(2 + b - c) =  4a ´ 2 + 4a ´ b - 4a ´ c
 
A =  8 2  -  21  +  2 ´ 16 E =  8a + 4ab - 4ac
A =  64  -  21  +  32

4 Ôter les parenthèses, puis simplifi er les expressions
A =  43  +  32
suivantes.
A =  75
En ôtant des parenthèses précédées du signe -,
b. B =  3 9+16  -  5 ´ (2 - 4)3
 il faut penser à changer tous les signes qui étaient

B = 3  ´  25  -  5  ´ (-2)3 situés à l’intérieur de la parenthèse.

B =  3  ´  5  -  5 ´ (-8) A = 5 - (x2 - x + 3) = 5 - x2 +  x  -  3  = -x2 + x + 2
 
B =  15  -  (-40) B = x - (x2 + x + 1) =  x  - x2  -  x  -  1  = -x2 - 1
B =  15 + 40 C = (x - 1) - (x + 1) = x - 1 - x - 1 = -2
B =  55 D = 1 - (x2 - 3x - 1) = 1 - x2 + 3x + 1 = -x2 + 3x + 2
9+15
c. C =  3 ´ 72  -  2 ´ 
2+4 Factoriser une somme
3
1 24 Factoriser une somme, c’est transformer
hette 20 C =  3 ´ 49  -  2 ´ 6 cPeotuter tsooumsm lees enno mprbordeus ikt., a et b non nuls :
c
Ha C =  147  -  2 ´  4
©  k ´ a + k ´ b = k (a + b)
sir – C =  147 - 8 k ´ a - k ´ b = k (a - b)
s
u
dre et rédélit. C =  139 5 Factoriser au mieux les expressions suivantes :
mprenst un 2 Sans utiliser de calculatrice, cocher pour chaque A = 3a - 18 = 3 ´  a  - 3 ´  6  =  3(a - 6)
our coorisée e caa. l3c u-l  l5a  +bo 2n n=e réponse. B=-2x- 16 =-2 ´ x +-2 ´ 8 =-2(x + 8)
demaths 2 – Popie non aut b.   333   -´´   702   ´-  52  ´ 5 = ✗✗  -6 -2 + 10 2  3 ´ (-8) CD  ==  190x2 - - 1 55xa = =  59 ´ ´  x2  ´ - x 5 - ´   3a5 = 5 ´(  x2 =  x-(9 3x -a 5))
er de hotoc c. 10 - 5 ´ 22 = E = 21x - 49x2 = 7x ´ 3 - 7x ´ 7x =  7x ( 3 - 7x )
hip
CaLa ✗ 10 - 20  5 ´ 4  10 - 102 F = b2 - 2b =  b  ´ b -  2  ´ b =  b ( b - 2 )
55
Partir d'un bon pied Se préparer FONCTIONS
6 Factoriser au mieux les expressions suivantes : 3 5 2
D=2- + Penser à 2= .
! Penser à faire apparaître ´ 1 lorsque le 7 28 1
facteur commun est isolé. 2 3 5 2´28 3´4 5 49 7
D= - + = - + = =
k + k ´ a = k ´ 1 + k ´ a = k ´ (1 + a) 1 7 28 28 28 28 28 4
9 Sans la calculatrice, calculer les produits suivants
A = 3x + 3 = 3 ´ x + 3 ´  1  = 3( x + 1 )
et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
B = x2 + x = x ´  x  + x ´  1  = x( x + 1 )
C = 49(x2 + 1) + 49 = 49 ´ (x2 + 1)  + 49 ´  1 ! Penser à simplifi er le produit avant de le calculer.
C = 49 ´ [(x2 + 1) + 1] = 49(x2 + 2) 2 5 2´5 10
A= ´ = =
D = (x + 1)2 + (x + 1) = (x + 1) ´( x + 1) + (x + 1) ´ 1 3 7 3´7  21
D = (x + 1)[(x + 1) + 1] = (x + 1)(x + 2) 3 8 3 8 1 2 2
B= ´ = ´ = ´ =
E = (x - 5) - (x - 5)x = (x - 5) ´ 1 - (x - 5) ´ x 4 27 27 4 9 1 9
5 3
E = (x - 5)(1 - x) C=3´ Penser à 3= .
7 1
Les fractions C=3´ 5 =3´5= 15

1 7 1´7 7
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers 5 3 14 4 5 3 14 4
a et b, où b est non nul. Ce quotient est noté : D= ´ ´ ´ = ´ ´ ´
4 10 9 7 10 9 7 4
a a est le numérateur.
1 1 2 1 1
D = ´ ´2´1= ´ =
b b est le dénominateur.
2 3 2 3 3
10 Sans calculatrice, calculer les quotients suivants :
7 Sans utiliser de calculatrice, écrire sous forme de Pour diviser un nombre par une fraction non nulle,
fraction irréductible, c’est-à-dire une fraction qu’on ne on multiplie ce nombre par l’inverse de la fraction.
peut plus simplifi er, les fractions suivantes : a b
L’inverse de la fraction est la fraction
56=8´7=8  (avec a ¹ 0 et b ¹ 0). b a
63 9 ´7 9
  2 5 10
120 12 ´ 10 4 ´ 2 8 A= =2´ =
===  3 3 3
45 9 ´ 5 3 3
   5
125 5 ´ 25 5
==  5 æ5ö
75 3 ´ 25 3 7 çççè7÷÷÷ø 5 1 5
B= = = ´ =
Pour ajouter des fractions, on les réduit au même 3 3 7 3 21
dénominateur.
1
Le dénominateur commun est le plus petit multiple
commun à tous les dénominateurs. 3
4 3 2 3 2 3 1 3
C= = ´ = ´ = ´ =
8 1. Déterminer le plus petit multiple commun des 5 4 5 54 52 10
nombres suivants : 2 13
0
ac..  22  ;; 33  ;; 56  ;; 172 :  : 21102 bd..  62  ;; 94  ;; 155 ;  ;1 108  :: 2900 D= 11= 2 1 1=31=23 chette 2
1+ + a
H
2. Calculer les sommes suivantes et donner le résultat 2 2 2 2 ©
sBBAo==!u=s-- 51f Po51-re71m+n5523se2e= +1dr5 e51à- ´7´ fs3r51i3a34m5c--tp=iol23i-2n7fi´´ 0 5e1i55rr´r =é7l=ed15su5- f1c3r73t5a+i52bc-tl1ei´o :7n11505s3 a=v-an-41t5´ 7d7e5 5les ba1E..1 =- P2o244u´++r c73=61h31=a=q ue11 c6322alc++ u-4l6131, c1+o64=c4h er116 3l33a (o=u ✗✗le1s  33)-4 b1o´34nn1 e63(s)= rép2✗o n-1s-e1(6s4). des 2 – Pour comprendre et réussir – non autorisée est un délit.
réduire au même dénominateur. 2+6  2 6 8  2 mathopie
C=150-174+23=21-12+23=23 c. 43¸145=  1465 ✗ 1620 ✗ 51 Cahier de La photoc
6
FONCTIONS Partir d'un bon pied Se préparer
13 1 1
12 À l’aide de la calculatrice, calculer 15-8´ : e. (-3)-2 =   6 ✗   
17 9 -32
TI 82 Stats.fr, 83 Casio 35+ f. æçççè21ö÷÷÷ø3=  61  -8 ✗ 81
15-8´13 17
14 Compléter les égalités suivantes en indiquant la pro-
priété utilisée :
1 : ►Frac a. 10-2 ´ 106 = 10-2 + 6  = 104 (P )
1
b. (10-2)3 = 10-2  ´ 3  = 10-6 (P )
Effectuer les calculs suivants en donnant le résultat 3
sous forme d’une fraction irréductible. Vérifi er le résul- 10-5
c.   = 10-5 - (-5) = 100  =  1 (P )
tat obtenu à l’aide de la calculatrice. 10-1´10-4 4
7 1 1 d. 42 ´ 252 = (4 ´ 25)2  = 1002  = 104 (P4 )
A = 2 - 2 ´ B = 8 ´ ( - )
 5 6 3
2 14 1 2
A =  - B = 8 ´ ( - ) 15 Sans utiliser de calculatrice, compléter les
A = 110-514  =  -4 B = 8 ´ ( -61 )6 = -4 phrases suivantes :
5 5 5 6 3 a. Le carré de 6 est 36.
4 14 4 2 2 1 1
2- - D =1- =1- b. Le carré de est .
C = 7 = 7 7 3+1 9+1 3 9
  5   5   3  3 3 c. Le cube de -2 est -8.
æ10ö 2
C =  çççè 57 ÷÷÷ø D = 1 - çççæè130÷÷÷öø 16 1. Donner les résultats des calculs suivants sous
3
C = 10´1 D = 1 -  2´ forme de puissances de 10 :
10
7 5 (0,00001)3 = (10-5 )3  = 10-15 1E-15
10 1 3 5 3
C =  ´ D = 1 -   =  -
5 7 5 3 5 1 000 0003 = (106 )3  = 1018 1E18
2 2 2. a. Effectuer ces calculs à la calculatrice et recopier
C =  D = 
7 5 l’affi chage obtenu à côté du résultat correspondant.
b. Que remplace l’écriture 1E… ? 1 ´ 10…
Les puissances
3. Écrire sous forme de puissance de 10 les expressions
Propriétés suivantes, affi chées par la calculatrice :
Pour tous les nombres a, b et tous les entiers n, p :
1E15 : 1015 1E-15 : 10-15
a1 = a a2 = a ´ a
an = a ´ a ´ ´ a (produit de n termes égaux à a)
Si a et b sont des nombres non nuls, alors a0 = 1 et : 17 Les propriétés des puissances s’appliquent-elles
3 1 pour calculer les nombres suivants ?
01 (P ) a-n =  a-n est l’inverse du nombre an.
e 2 0 an Répondre par « Oui » ou « Non », puis effectuer le
ett (P ) an ´ ap = an + p calcul demandé.
© Hach (P1) an =an-p A = 32 + 34 Non
– 2 ap
ussir (P3) (an)p = an ´ p æaön an A = 9 + 81  = 90
our comprendre et réorisée est un délit. c1(a3Plc 4u) l( l aSa a ´(nos ub u )ltenis l=i)s eb aro ndn e´n ce a(bslnc) u rléaptorinces,eçççè (cbso)÷÷÷øc.h=er bponur chaque BBCC    ====    33932  4´+ +  3 25352   ==  3841 NOouni
des 2 – Pnon aut a. 10-3 =  ✗ 0,001  -30  01,0001 D = 5 ´ 102 ´ 7 ´ (10-2)3 Oui
er de mathhotocopie cb.. -2-234  ==   ✗  --81 6   01,60 02 ✗  -88 DE  ==  53 5´ ´ 1 0120 +2 ´ 7  ´10 (-160 =- 1)3 35 ´ 10-4  = 0,0N0o3n5
CahiLa p d. (-1)7 =   1  -7 ✗ -1 E = 500 + 7 ´ 10-3  = 500,007
7
Partir d'un bon pied Se préparer FONCTIONS
Racine carrée
!
Pour calculer la racine carrée d’un nombre
à la calculatrice, il faut placer des parenthèses
Défi nition
autour de ce nombre.
La racine carrée d’un nombre positif a est
le nombre positif dont le carré est égal à a.
Exemple :
Elle est notée a.
!
a est un nombre quelconque. a. A= 49 B= 16 C= 49+16
si a (cid:31) 0,alors a2 est égal à a A+B= 49+ 16= 7 + 4 = 11
si a (cid:29) 0, alors a2 est égal à l’opposé de a C= 65»8,06 donc A + B > C.
b. A= 16 B= 64 C= 16+64
18 Répondre par « Vrai » ou « Faux » aux affi rmations A+B= 16+ 64= 4 + 8 = 12
suivantes. Si la phrase est fausse, proposer une C= 80»8,94 donc A + B > C.
correction.
a. Il existe deux nombres dont le carré est 9. 22 Dans chaque cas, cocher la (ou les) bonnes
Vrai réponse(s).
b. La racine carrée de 16 est 4. a. Le nombre 3 est :
Vrai ✗ le nombre positif dont le carré est 3.
c. 9 a deux racines carrées : 3 ou -3.  égal à 3.
Faux. 9 admet une seule racine carrée : 3.  égal à 1,5.
d. La racine carrée de (p - 5)2 est p - 5.
b. Le nombre 40+ 9 est égal à :
Faux. p - 5 < 0, donc (p-5)2 = 5 - p.
 23  7 ✗ 2 10+3
19 Sans calculatrice, calculer les expressions suivantes : c. Le calcul exact du nombre (-10)2-82 est :
a. (- 2)2=  2 b. (2 5)2=  20 c.  232 =  23   102- 82 =10-8=2
✗  100-64= 36=6
d. 0,25=  0,5 e.  (-7)2 =  7
  36 qui est égal à 6 ou -6.
f. (1- 2)2 =  2-1
  -100-64= -164
g. 11(1+ 11)=  11+11 d. Le calcul exact du nombre 20 est :
✗  4´ 5=2 5
20 Simplifi er les expressions en utilisant les propriétés
  16+ 4=4+2=6
suivantes :
  25- 5=5- 5
Pour tous les nombres a et b positifs :
a´ b= a´b
Équations du premier degré
!
Penser à faire apparaître des carrés sous le
Pour résoudre une équation du premier degré, on
radical : a2´b=a´ b isole la variable x dans un membre de l’équation. 13
0
BA== 188=0=2622´´25==2622´´25==2625 a,a xb ,+ c,  bd  =so cnt des nombres ;x a  -es tb  n=o nc nul. achette 2
    - b a H
CC== 42´23´´332 == 2 4´´ 33=´63 ax = c - b ax  = c + b + b ussir – ©
    é
D= 75´ 3= 75´3= 3´25´3 aOxn = c adlcule d = c - b. Oxn = ca dlcule d = c + b. dre et rdélit.
d2EEDe1==s= Craac22lc3in++ue2les´5r 5c la05ar r=2s2éo=ems=2.m3+6e A´2 +55 B2 ´e=n 2u1t5ilisant les propriétés a 2.3  xx   R=-é  s1daox  u==d  0r0e + l¸e s1  éaquations su xa iv=a ndt e´s  :a ´ a demaths 2 – Pour comprenopie non autorisée est un
Utiliser la calculatrice pour calculer le nombre C. x = 1 er de hotoc
Comparer les résultats obtenus pour A + B et pour C. La solution de l’équation est 1. CahiLa p
8
FONCTIONS Partir d'un bon pied Se préparer
b. x + 5 = 0 Inéquations et intervalles
x = 0 - 5
Inéquations
x = -5
Pour résoudre une inéquation du premier degré,
La solution de l’équation est -5 .
on isole la variable x dans un membre
c. 3x = 0 de l’inéquation.
0
x =  ax + b > c ax - b > c
3
- b + b
x = 0
ax > c - b ax > c + b
La solution de l’équation est 0 .
x On calcule d = c - b. On calcule d = c + b.
d. =1
5 Si a (cid:28) 0, alors : Si a (cid:27) 0, alors :
x = 1 ´ 5
x = 5 ax (cid:28) d ax (cid:28) d
La solution de l’équation est 5 . x (cid:28) d ¸ a x (cid:27) d ¸ a
e. 7x = -2 a a
2
x = -
7 25 Déterminer les valeurs de la variable x telles que :
La solution de l’équation est -2 . a. x - 3 > 5
7
3 x > 5 + 3
f. x=2
5 x > 8
2 5
x =   =  2´ b. -3x < 15
3 3 15
x >  -3 < 0
5 -3
10
x =  x > -5
3
c. x + 5 (cid:29) -2
10
La solution de l’équation est .
3 x (cid:29) -2 - 5
x (cid:29) -7
24 Résoudre les équations suivantes en utilisant la
d. -2x (cid:29) -6
règle du produit nul.
-6
x (cid:30) -2 < 0
A(x) et B(x) sont deux expressions du premier -2
degré de la même variable x. x (cid:30) 3
A(x) ´ B(x) = 0 équivaut à A(x) = 0 ou B(x) = 0.
Intervalles de (cid:31)
Cas particulier : [A(x)]2 = 0 équivaut à A(x) = 0.
L’ensemble des nombres réels tels que :
a. (5x - 1)(x - 3) = 0 x (cid:30) k est l’intervalle [k ; +∞[ ;
x > k est l’intervalle ]k ; +∞[ ;
5x - 1  = 0 ou x - 3  = 0
x (cid:29) k est l’intervalle ]-∞ ; k] ;
1
3 x =  ou x = 3 x < k est l’intervalle ]-∞ ; k[.
1 5
20 1 L’ensemble des nombres réels (cid:31) est un intervalle.
e Les solutions de l’équation sont et 3.
ett 5 Il se note également ]-∞ ; +∞[.
h
c
Ha b. 7(2 - x)(x + 3) = 0 7 ¹ 0, donc :
© 26 Représenter graphiquement les inégalités et indiquer
– 2 - x  = 0 ou x + 3  = 0
sir les intervalles correspondants :
us x = 2 ou x = -3
mprendre et rést un délit. xLc.e sx s(o-lux t+io n2s)  d=e   l0=’é q0u ationo uso nt -2x + 2 et - 3=. 0 Inxé (cid:28)ga l2ité Re2présent3ation gr4aphique5 x I]n2t e; r+va∞lle[
our coorisée e x = 0 ou x = 2 x (cid:27) 2 –1 0 1 2 x ]-∞ ; 2[
des 2 – Pnon aut Lde. s3 s(o7l u-ti ox)n2s  =de 0 l’équation sont 0 et 2. x (cid:29) 3 ]-∞ ; 3]
mathopie 3 ¹ 0 donc (7 - x)2  = 0 0 1 2 3 x
Cahier de La photoc dLao nsoc lution de l’équati7o n- e xst 7.  = 0 x (cid:30) 2 2 3 4 5 x [2 ; +∞[
9
Partir d'un bon pied Se préparer FONCTIONS
27 Résoudre dans (cid:31) les inéquations suivantes en donnant
l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle : 0 < x  < 3 0 1 2 3 x
a. x - 8 < 0 f. 5x - 6 > 7x + 2
+ 8 5x -  7x  > 2 +  6 1 < x (cid:29) 4 1 2 3 4 x
x < 0 + 8
-2x > 8
x < 8 x< 8 x > -1 et x < 2 –1 0 1 2 x
L’ensemble des solutions -2
est l’intervalle ]-∞ ; 8[. x < -4
b. x + 5 (cid:30) 9 L’ensemble des solutions 29 Écrire les phrases données à l’aide d’intervalles en
- 5 est l’intervalle ]-∞ ; -4[. utilisant si nécessaires les symboles È (ou) et Ç (et).
x (cid:30) 9 - 5 g. 5x - 2 < 3(x - 4)
L’ensemble des nombres
x (cid:30) 4 5x - 2 < 3x - 12 peut s’écrire :
réels x tels que :
L’ensemble des solutions 5x - 3x < 2 - 12
x > -1 ou x (cid:29) -2 ]-1 ; +∞[ È ]-∞ ; -2]
est l’intervalle [4 ; +∞[. 2x < -10
2 (cid:29) x (cid:29) 5 [2 ; 5]
c. -2x - 3 (cid:29) 0 x < -5
+  3 L’ensemble des solutions -2 < x (cid:29) 5 ]2 ; 5]
-2x (cid:29) 0 + 3 est l’intervalle ]-∞ ; -5[. -1 (cid:29) x < 5 [-1 ; 5[
2 3
¸  (-2) h. x + 5 (cid:29)  x - 3 1 < x < 5 ]1 ; 5[
3 5
x (cid:30)  -3 2x-3x<-5-3 1 < x < 5 ou 6 (cid:29) x (cid:29) 10 ] 1 ; 5 [ È [ 6 ; 10 ]
2 3 5
1 < x < 5 et 6 (cid:29) x (cid:29) 10 ]1 ; 5[  Ç [6 ; 10]
L’ensemble des solutions 10 9
x- x<-8
est l’intervalle [-1,5 ; +∞[. 15 15 x ≠ 2 ]-∞ ; 2[  È  ]2 ; +∞[
x 1 ]-∞ ; 0[ È ]0 ; 1[ È ]1 ; +∞[
d. -  + 7 (cid:30) 0 x<-8 x ≠ 0 et x ≠ 1
4 15
-7
15
x x<-8´
-  (cid:30) 0 - 7 1 30 Donner la représentation graphique et l’intervalle
4
´ (-4) x<-8´15 x<-120 correspondant aux ensembles de nombres réels donnés.
a. L’ensemble des nombres réels x tels que x (cid:30) 2 et
x (cid:29) 28 L’ensemble des solutions
x (cid:29) 5 :
L’ensemble des solutions est l’intervalle ]-∞ ; -120[.
est l’intervalle ]-∞ ; 28]. i. 5x - 2 < 5x - 7
2 3 4 5 x
1 0x < -7 + 2
e. 2x (cid:29) 1 x (cid:29) 
2 0x < -5 x appartient à l’intervalle [2 ; 5].
L’ensemble des solutions b. L’ensemble des nombres réels x tels que x (cid:30) 2 ou
L’inéquation n’a pas de
ù 1ù x (cid:29) 5. 3
est l’intervalle ú-¥ ; ú. solution. 01
úû 2úû e 2
Intervalles bornés de (cid:31) 2 3 4 5 x chett
a
H
L’ensemble des nombres réels tels que : x appartient à l’intervalle ]-∞ ; +∞[  = (cid:31). ©
a (cid:29) x (cid:29) b est l’intervalle [a ; b] ; c. L’ensemble des nombres réels x tels que 2 (cid:29) x (cid:29) 4 ou sir –
a < x (cid:29) b est l’intervalle ]a ; b] ; us
aa  <(cid:29)  xx  <<  bb eesstt ll’’iinntteerrvvaallllee []aa  ;; bb[[ .; 3 < x (cid:29) 5 : dre et rédélit.
2 3 4 5 x mprenst un
l2it8és -C oo2um (cid:29) lep xslé  r(cid:29)tee pr2 rlées etanbtalet–ai2oun ssu givr–aa1pnht ieqnu0 edso mnnaa1nnqtu laesn t2ienséx g:a- xdx  .a> Lp ’p3ena :rsteimenbt làe ld’ineste nrvoamlleb r[e2s ; r5é]e.ls x tels que x > 2 et demaths 2 – Pour coopie non autorisée e
-1 < x (cid:29) 3 –1 0 1 2 3 x x appartient à2 l’inter3valle ]34 ; +∞5[. 6 x Cahier de La photoc
10