Table Of ContentBundeswettbewerb
Mathematik:
Aufgaben und
Lésungen 1972-1982
ISBN 3-12-710740-4
l..-\uflag0 1 5 4 3 2 ' I 199] 90 89 88 37
.'\||(' Druckc dicser Auflagc kiinilcn im Unterricht nebcncinandcr benutzt werdcn, sic sind
umvrcinanderunveriindcrl. DieIctzteZahlbczeichnc!dasjahrdicscsDruckcs.
1“ Ernst cu VorhgcGmbH u.Co. KG,Stuttgart 1987.AlleRcchtcvorbchaltcn.
Drurk:Gulmalm u.(30..Hoilbrpnn
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 4
Einleitung 5
Wettbewerb 1972/73 w'enbewerb 1978
Aufgaben 1. Runde 72.1 Aufgaben 1. Runde 78.1
Aufgaben 2. Runde 72.2 Aul‘gaben 2. Runde 78.2
Lé')sungcn 1. Runde 72.3 lfisungen 1. Runde 78.4
Lésungcn 2. Runde 72.8 Lfisungcn2. Runde 78.12
Wettbewerb 1973/74 Wettbewerb 1979
Aufgaben 1. Runde 73.1 Aufgaben 1. Runde 79.1
Aufgabcn 2. Runde 73.2 Aufgaben 2. Runde 79.2
Liisungen 1. Runde 73.4 Li'isungcn 1. Runde 79.3
Lfisungen 2. Runde 73.11 Lfisungcn 2. Runde 79.15
Wettbewerb 1975 Wettbewerb 1980
Aufgabcn 1. Runde 75.1 Aufgabcn 1. Runde 80.1
Aufgabeh 2. Runde 75.3 Aufgaben 2. Runde 80.2
Lfisungen 1. Runde 75.4 L65ungen 1. Runde 80.3
Lfisungen 2. Runde 75.9 Lfisungen 2. Runde 80.19
Wettbewerb 1976 Wettbewerb 1981
Aufgaben 1. Runde 76.1 Aufgaben 1. Runde 81.1
Aufgabcn 2. Runde 76.2 Aufgaben 2. Runde 81.2
L6sungen 1. Runde 76.3 Li'isungen 1. Runde 81.3
Lésungen 2. Runde 76.14 Ifisungcn 2. Runde 81.23
Wettbewerb 1977 Wettbewerb 1982
Aufgabcn 1. Runde 77.1 Aufgaben 1. Runde 82.1
Aufgaben 2. Runde 77.2 Aufgaben 2. Runde 82.2
Liisungen 1. Runde 77.3 Lbsungen 1. Runde 82.3
Liisungen 2. Runde 77.10 Lésungcn 2. Runde 82.25
Vorwort
DiehiervorgelegtcMatcrialsammlungistbereitsdievierteAusgabemitAufgaben
und LiisungenausdemBundeswettbewerbMathematik. 1977erschiendieerste
Veriifl‘entlichungmitAufgabenundLiisungenvon 1970bis 1975, 1979folgteder
BandmitAufgabenundLbsungenausdenjahren 1972his 1978und 1983der
AnschluBbandzudenjahren 1979his 1982.AlledreiBiindesindseitlingercm
vergrifl'en,sodaBsichderVerlagErnstKlettdankenswerterweiseentschlossenhat,
dieMalerialicnvon 1972his 1982durchcincnNachdruckalsDoppelbandzugfing—_
lichzumachen.NochindiesemjahrsollenauchdieAufgabenundLfisungenyon I
1983bis 1986(cllbuch-Nr. 71072)erschcincn.
DerBundeswettbewerbMathematikgehfirtnebendemBundeswettbewerbFremd-
sprachcnzudenzentralenAufgabcndesVereins,,Bi1dungundBegabung",dersich
zumZielgesctzthat,alleBemiihungenzuunterstiitzcn,diedaraufausgerichtetsind,
besondersintercssierte,begabteundleistungsfa'higejungeMenschenzufindenund
zuiBrdem. DabeiarbeitetderVereinmitdenstaatlichenEinrichtungenvonBund
undLfindcrnebensozusammenwicmit~alljenengesellschaftlichenGruppen,dieam
Bildungsprozeflgenerellinteressiertsind.ImKuratorium,dasdenVereininallen
FragenderBegabtenfiirderungberiit,sindderBundesministerfiirBildungund
Wissenschaft,dieStiindigeKonferenzdcrKultusministcrdcrLiinderindcrBundes-
republikDeutschland,derStifterverbandflitdieDeutscheWissenschaft,dieWirt-
schaft,dieGewerkschaflensowiedieWisscnschaflunddiePolitikvertreten.
DerBundeswettbewerbMathematikgehéirtindcrBundesrepublikDeutschlandzu
deniltestenundcrfolgreichstenProjektenimBereichderBegabten-undNach-
wuchsforderung.DiesnichtzuletztaufGrundderanspruchsvollenundvielseitigen
Aufgaben,diehiermitihrenLosungenvorgelcgtwerden
IchmochtedieseVerofl'entlichungzumAnlafinehmcn,umalljenenzudanken,die
diescnWettbewerb,sciesfinanziell,sciesorganisatorisch,seiesinhaltlich,untcr-
stiitzi hahen. Ich\\iinschemir.daBdieserBandgeradeInclorSchulecincmoglichst
grolie.undinteressierteLeserschaftfindet.
lmjuli 1987 WalterRasch,Senatora.D.
VorsitzcnderdesVereins
,,BildungundBegabung“
Einleitung
1. Die Entwicklung des Mathematikwettbewerbs 1970 - 1982
2. Das Aufgabenmaterial
2.1 die Auswahl und Formulierung
2.2 die Bearbeitung durch die Teilnehmer
2.3 die Korrektur
3. Die Lfisungsbeispiele
3.0 Vorbemerkungen
3.1 Ratschlfige ffir den im Aufgabenlésen
unerfahrenen Leser
4. Bundeswettbewerb Mathematik und Schule
' 3000 - '—
2000 '
1000 -
. HHH
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82v
1. Das Diagramm zeigt die Entwicklung der Teilneh-
merzahlen der 1. Runde beim Mathematikwettbewerb seit
seiner Entstehung. Man sieht, daB diese Beteili-
gungszahlen stark schwanken. Eine auffallende H6he
erreichten sie mit mehr als 3000 in den Wettbewerbsjahren
1977 und 1978. Die Vielzahl der Parameter, von denen die
Anzahl der Teilnehmer in jedem Jahr abhfingt, last bfindige
Erklfirungen ffir diese Schwankungen kaum zu. Mannahmen der
Wettbewerbsveranstalter (Héhe der Preise, Schwierig-
keitsgrad der Aufgaben, etc.) wirken sich hier» neben
Ursachen aus, auf die der Wettbewerb keinen Einflufl hat
wie Abiturtermine Oder der Grad der werbenden Unter-
stfitzung und bei Erfolg ggfs. der Anerkennung durch die
Schulen. Auch Verfinderungen in der Einstellung der Gesell-
schaft und speziell der Schfiler zu Fragen aus dem mathe-
matisch/technischen Bereich, zum Leistungsprinzip usw.
spielen sicher eine Rolle.
Es entzieht sich naturgemfia der Kontrolle durch den Wett-
‘ bewerb, wie hoch die Anzahl derer ist, die sich intensiv
mit den Aufgaben beschfiftigen, ohne anschlienend eine
Einsendung vorzunehmen. Aufffillig ffir die Korrektoren beim
Wettbewerb ist aber, daB im Gegensatz zu frfiheren Jahren
kaum noch Arbeiten eingereicht werden, bei denen alle Auf-
gaben unzureichend bearbeitet sind.
Rfickfragen und Gesprfiche mit Teilnehmern und Fachlehrern
ffihrten 1980 zu vier MaBnahmen, mit denen besonders auf
die sich verindernde schulische Situation eingegangen
wurde:
(1) Verlfingerung der Bearbeitungszeit in der 1. Runde,
sowie eine zeitliche Verschiebung nach vorne, um die
Weihnachtsferien ausnutzen zu k6nnen.
(2) Vermeidunq von Aufgaben mit erheblichem Aufwand an
Schreibarbeit und Tabellenuntersuchungen.
(3) Verringerung des Schwierigkeitsgrades beim Aufgaben—
paket ffir die 1. Runde.
(4) Fehlerzettel zur Information fiber Art und Ort der
ffir die Preisentscheidung wesentlichen Mingel ffir
alle Teilnehmer, die einen ersten Preis verfehlt
haben.
An eine Verringerung der Schwierigkeit bei den
Anforderungen des gesamten Wettbewerbs wurde allerdings zu
keinem Zeitpunkt ernsthaft gedacht. Immer schon, besonders
seit 1980, hat in ausgeprfigter Weise die 2. Runde auch die
Aufgabe. durch hohe Anforderungen an die Teilnehmer das
Niveau dieses bundesweiten Leistungswettbewerbes in
gleicher Hohe zu halten. Bei allen finderungen in Details
stellt dieses Bestreben eine Konstante in der Entwicklung
des Wettbewerbs dar.
2.1 Die Auswahl der in der jeweiliqen‘Runde zu stellenden
Aufgaben erfolgt rechtzeitig vor Rundenbeginn durch den
Aufgabenausschua des Bundeswettbewerbs Mathematik. Das
Material ffir die Auswahl ist-ein Aufgabenvorrat, der das
ganze Jahr fiber von den Mitgliedern des Aufgaben-
ausschusses durch Neuvorschlage, Modifizierungen und
Streichungen 'gewartet' wird. Anlfisse ffir Streichungen
k6nnen dabei z.B. Verfiffentlichungen Ehnlicher Aufgaben an
zugfinglicher Stelle, inhaltliche Unangemessenheit, zu'
lange Oder zu komplizierte Aufgabenstellung usw. sein.
Bei den Aufgaben sind einige Eigenschaften erwfinscht: Die
Aufgaben sollten kurz und einprfigsam zu formulieren und
von der Fragestellung Oder vom Ergebnis her interessant
und vielleicht fiberraschend sein. ihre Hauptanforderung an
den Losenden im heuristischen Bereich stellen, knappe
fiberschaubare Lasungen zulassen und insgesamt als Paket in
einem nicht zu schmalen Sektor der Elementarmathematik
liegen.
Da dem Lfisen der Aufgabe durch die Teilnehmer das
Verstehen vorausgehen muB, wird der Formulierung der
Aufgaben besondere Sorgfalt gewidmet, wobei gelegentlich
ausgesprochen griffige Formulierungen zugunsten anderer
nicht mieverstandlicher verworfen werden. Nicht immer
macht die Prfizisierung der Aufgabenstellung den Einstieg
leichter, da manchmal der Eindruck eines komplizierteren
Sachverhalts entsteht. Bei einem mfiglichen Mterstfindnis
bei einer mehrdeutigen Formulierung wird daher die
Einsicht in die vorgesehene Aufgabenstellung dann ohne
zusfitzliche Hinweise dem lasenden Schfiler zugemutet, wenn
die alternative Deutung auf eine unsinnige oder triviale
Fragestellung ffihrt.
Bei dem Gebrauch von Begriffen, die zwar mathematisch ele-
mentan aber doch nicht jedem Schfiler gelfiufig sind, wird
auf den Fachlehrer vertraut, der im Bedarfsfall helfend
Auskunft geben kann. Denn lassen sich auch notfalls noch
Begriffe wie 'konvex', 'Polyeder' oder 'Minimum' vom
Schfiler nachschlagen, so braucht er doch die Erklérung
eines Mathematikers, wenn er zum Beispiel nicht weiB, was
eine 'Verscharfung' oder was eine 'Verallgemeinerung'
eines Satzes ist. .
2.2 Nach der Verfiffentlichung der Aufgaben der ersten
Runde in den Schulen bzw. nach Zusendung der Aufgaben an
die Teilnahmeberechtigten der zweiten Runde steht jeweils
eine Zeit von mehr als zwei Monaten zur Bearbeitung der
Aufgaben und Einreichung der selbstfindig erarbeiteten
LBSungen zur Verffigung. In der ersten Runde berechtigt
bereits die Bearbeitung von drei Aufgaben zur Einsendung,
in der zweiten Runde mfissen alle vier gestellten Aufgaben
gelast werden.
Im Gegesatz zum Klausursystem, nach dem bei der Inter-
nationalen Mathematikolympiade (IMO) und bei den meisten
anderen nationalen Mathematikolympiaden vorgegangen wird,
haben dié Teilnehmer daher Gelegenheit, mit Hilfe von
Literatur noch fehlende Grundkenntnisse zu erwerben oder
bei anderen Aufgaben auf Lésungsideen zu stoBen. Bei der
Einsendung ihrer Bearbeitungen erklfiren die Teilnehmer
schriftlich, daB sie die Aufgaben selbstfindig gelfist haben
und geben alle zur Lésung benutzten Hilfsmittel an.
2.3 Die Korrektur der Wettbewerbsarbeiten wird von
Lehrern aus dem gesamten Bundesgebiet durahgeffihrt, von
denen die meisten schon viele Jahre, einige jetzt fiber ein
Jahrzehnt Erfahrungen auf diesem Gebiet gesammelt haben.
Jeder Korrektor fibernimmt in der Regel acht bis zw61f
Arbeiten and hat circa drei Wochen Zeit ffir die Durch-
sicht. Alle Arbeiten werden einer 2weitkorrektur unter-
zogen, wobei in der Regel jeweils ein 2weitkorrektor bis
zu hundert Arbeiten fibernimmt. Die ZWeitkorrektur dient
nicht nur der Richtigstellung mfiglicher Fehler bei der
Erstkorrektur, sie soll auch und vor allem daffir sorqen,
daa in Ermessensffillen gleichmfiaig entschieden wird.
SchlieBlich werden die Arbeiten, bei denen die Beur-
teilung durch Erst- und 2weitkorrektor voneinander
abweichen, noch einer Drittkorrektur unterzogen.
Bei Ubereinstimmung wird die Zweitkorrektur, im
Ausnahmefall der Diskrepanz die Drittkorrektur mit einer
Preisfestsetzung abgeschlossen. Dabei erhfilt eine
beanstandungsfreie Arbeit einen 1. Preis. Die Preisstufen
gehen bis zum 3. Preis, der in der ersten Runde noch dann
vergeben wird, wenn nur drei Aufgaben richtig gelést sind;
allerdings dfirfen anschlieaend an der 2.Runde nur die
teilnehmen, denen in der ersten Runde ein 1. oder 2.
Preis zuerkannt worden ist.
Das Korrekturverfahren in der zweiten Runde erfolgt
entsprechend, wobei jedoch erheblich strengere Maastfibe an
die Preiswfirdigkeit einer Arbeit angelegt werden. Selbst
bei insgesamt richtiger Lasung der vier gestellten
Aufgaben kénnen Mfingel wie Schreibfehler an mathematisch
wesentlicher Stelle, kleine Lficken bei Umformungen oder
SchluBfolgerungen, fiberflfissige Beweisteile, nicht
erlfiuterte Bezeichnungen, Unklarheiten usw. zum Verfehlen
des 1. Preises Efihren. Nur die Gewinner eines 1. Preises
gelangen in die dritte Runde des Wettbewerbs, die nicht
mehr dutch Lasen von Aufgaben,sondern durch Bewfihrung in
einem Kolloquium mit Lehrern von Schule und Hochschule
besteht.
3.0 Am Ende jeder Runde erhalten die Teilnehmer am
Mathematikwettbewerb eine Zusammenstellung von Lfisungen zu
den Aufgaben dieser Runde. Dadurch wird ihnen eine Hilfe
beim Auffinden von logischen Lficken und anderen Fehlern in
den eigenen Ausarbeitungen gegeben, vor allem aber
erhalten sie Anregungen durch das Kennenlernen von
Varianten oder gfinzlich anderen L65ungen.
Die Urfassung dieser Lésungsbeispiele entsteht jeweils in
der gleichen Zeit, in der sich auch die Teilnehmer mit den
Aufgaben beschfiftigen. Diese Version erhalten dann die
Korrektoren zusammen mit den von ihnen durchzusehenden
Wettbewerbsarbeiten als Bezugspunkt ffir die entspre-
chenden Korrekturhinweise und ggfs. als Hilfe beim Nach-
vollziehen schwer verstfindlicher Teilnehmerausffihrungen
mit unklarem Gedankenziel.
In der Phase der Korrektur werden nun zusfitzliche L65ungs-
ideen von Korrektoren und ~ vor allem - ans Teilnehmer-
lfisungen gesammelt und gegebenenfalls ergfinzend in die
Lfisungsbeipiele eingearbeitet, wo sie den Vorrat an
Varianten erweitern oder ein Detail verbessernd ersetzen.
Diese Umarbeitungen mfissen rechtzeitig vor Rundenende
abgebrochen werden, da dann alle Teilnehmer das Endre-
sultat, gewissermaflen ein Gemeinschaftswerk von Aufgaben-
kommission und Teilnehmern. ausgehfindigt bekommen.
Die hier zusammengestellten Lfisungen geben nahezu voll-
stSndig die oben erwfihnten Bearbeitungen wieder. Im
Hinblick auf den dokumentarischen und informativen
Charakter sind innerhalb der Lésungsbeispiele weder
Kfirzungen noch Ergfinzungen vorgenommen worden. Sofern in
Vor— oder Nachbemerkungen zu Lfisungen auf bestimmte Fehler
oder haufige M3nge1 hingewiesen wurde, sind diese Hinweise
auch hier wiedergegeben. Einige Formate wurden gefindert
und einige Druckfehler behoben; es ist anzunehmen, daB
andere daffir hinzugekommen sind.
Im Sprachgebrauch von Korrektoren und Teilnehmern hat sich
ffir die Lfisungsbeispiele der Terminus 'Musterlasungen'
eingebfirgert. Es versteht sich von selbst, daB in den
Lfisungsbeispielen eine lfickenlose Gedankenffihrung, eine
klare Gliederung und eine Beschrfinkung auf die wesent-
lichen Uberlegungen angestrebt wird. Es ist aber im allge-
meinen nicht m6glich, die 'ideale L6sung' anzugeben, dies
verbietet schon die Inhomogenitfit des Teilnehmerkreises.
Wenn auch die Hauptschwierigkeit der Aufgaben im
heuristischen Bereich liegt und liegen soll, ist doch die
Einstiegshahe in die Aufgabe vielfach durch die mathe-
matischen Vorkenntnisse des jeweiligen Teilnehmers
bestimmt; die Lésung eines Schfilers aus der Klasse 9 sieht
hfiufig trotz mathematischer Vollsténdigkeit anders aus als
die eines Abiturienten, der zusfitzliche mathematische
Hilfsmittel ins Spiel bringen kann.
3.1 Mancher Leser, der eine der gestellten Aufgaben 165en
will und nach einiger Zeit erfolglosen Suchens resigniert
im Lfisungsbeispiel nachliest, mag flabei in doppelter Weise
enttfiuscht werden: zum einen k6nnten ihm bei manchen Auf—
gaben die Lfinge der Lésung, die Ffille der Formeln 0.5. den
Eindruck vermitteln, zu Recht die 'L65ungsversuche abge-
brochen zu haben, da er vermeintlich auf so komplizierte
Dinge ohnehin nicht von alleine gestoBen ware, zum anderen
k6nnte es ihn gerade bei kurzen und eleganten L6sungen
Staten, dafl da zwar die vollstfindige Durchffihrung einer
Lasungsidee steht,. jedoch keinerlei Hinweise gegeben
werden, wie man selbst zu dieser Idee gelangt.
Dem solcherart Unzufriedenen muB davon abgeraten werden,
sich kontinuierlich lesend durch die Lésungen zu bewegen,
ein ohnehon allenfalls dann sinnvolles Vorgehen, wenn man
ein bestimmtes Stichwort oder Verfahren sucht. Statt-
dessen sollte sich der Leser eine der Aufgaben auswfihlen,
die von der Prohlemstellung her sein Interesse weckt, und
sich intensiv oder zunfichst auch nur spielerisch lfingere
Zeit mit ihr befassen.
Die Dauer der kritischen Beschfiftigung mit Lasungs-
versuchen, auch wenn scheinbar keine Fortschritte Oder gar
Erfolge erzielt werden, hat wesentlichen Einflua auf das
Finden einer eigenen oder wenigstens das Verstehen und
Einprfigen einer vorgefundenen Lésung; es wird gewisser-
maaen Speicherplatz reserviert und vorstrukturiert. Der
Leser kann sicher sein, nach derartiger intensiver
Beschiftigung die Lfisung als Gesamtheit in ihrer Struktur
und ihren einzelnen Bestandteilen zu fiberschauen und zu
verstehen.
Schwieriger als die Frage nach dem Verstfindnis ist jene zu
beantworten, wie man die Lfisungen denn selber finden kann.
Die mathematische Heuristik gehért nicht zum Standard-
stoff der Schulen, so daB man kaum auf dort Gelerntes
zurfickgreifen kann. Hilfreich als Lektfire sind hier die
Ausffihrungen zur Heuristik in Sewerin: Mathematische
Schfilerwettbewerbe (Manzbuch 347) sowie Heft 1/79 der
Zeitschrift 'Der Mathematikunterricht' mit Beitrfigen fiber
Schfilerwettbewerbe und Problemlésetechniken von Engel und
Sewerin. Allerdings ist es auch hier mit dem bloBen Lesen
noch nicht getan; ein geeigneter Rahmen zur Erarbeitung
k6nnte zum Beispiel auch eine schulische
Arbeitsgemeinschaft zum ProblemlBsen sein.
Gleichgfiltig,ob das Lésen von Aufgaben in einer Gruppe
organisiert oder, wie es meistens der Fall sein dflrfte, in
Einzelbeschfiftigung gefibt werden soll, es gilt stets: Das
Lésen von Problemen erlernt man nur durch das L65en von
Problemen. Der Leser wird ausdrficklich ermuntert und
ermutigt, sich nicht durch das Ausbleiben von Anfangs-
erfolgen abschrecken zu lassen, sondern sich weiterhin,
wenn er Preude an der Mathematik hat, um die Aufgaben—
lBsungen zu bemfihen. Dies verlangt Geduld und Optimismus,
aber die Geduld lohnt sich, und der Optimismus ist
begrfindet. Die Teilnehmer am Wettbewerb in mehreren Jahren
stellen immer wieder fest. daa ihnen von Mal zu Mal mit
zunehmender Ubung die Lésung schneller von der Hand geht.
Der Leser wird bei sich die gleiche Erfahrung machen.
IO
1.Runde _ " 1972/73 A
Aufgaben 1972/73 1. Runde
Eine natflrliche Zahl besitzt eine tausendstellige Dar-
stellung im Dezimalsystem, bei der hbchstens eine Ziffer
von 5 verschieden ist. Man zeige, dass sie keine Quadrat-
'zah1 ist. .
Von den Punkten A und 3 eines ebenen Sees kann man in
geradliniger Fahrt jeden Punkt des Sees erreichen. Es
ist zu zeigen, dass man von jedem Punkt der Strecke AB
ebenfalls jeden Punkt des Sees geradlinig erreichen
kann.
3. Gegeben sind n Ziffern a1 bis an in vorgesehener Reihen-
folge. Gibt es eine natflrliche Zahl, bei der die Dezimal-
darstellung ihrer Quadratwurzei hinter dem Komma gerade
mit diesen ziffern in der vorgeschriebenen Reihenfolge
beginnt? Das Ergebnis ist zu begrflnden.
Um einen runden Tisch sitzen n Personen. Die Anzahl
derjenigen Personen, die das gleiche Geachlecht haben
Hie die Personen zu ihrer Rechten, ist gleich der
Anzahl der Personen, far die das nicht gilt. Han be-
weise, dass n durch u teilbar ist.
72.1
