Table Of ContentLecture Notes
in Economics and
Mathematical Systems
Operations Research, Computer Science, Social Science
Edited by M. Beckmann, Previdence, G. Gees, Karlsruhe, and
H. P. Künzi, Zürich
4
Sranch and Sound:
Eine Einführung
Zweite, geänderte Auflage
Herausgegeben von F. Weinberg
Unterlagen für einen Kurs des Instituts für
Operations Research der ETH Zürich
Spri nger-Verlag
Berlin . Heidelberg . NewYork 1973
Advisory Board
H. Albach . A. V. Balakrishnan . F. Ferschl . R. E. KaIman· W. Krelle . G. Seegmüller
N. Wirth
Prof. Dr. Franz Weinberg
Institut für Operations Research
der ETH Zürich
8006 Zürich, Clausiusstr. 55
AMS Subject Classifications (1970): 90-B-99, 90-02
ISBN-13: 978-3-540-06112-0 e-ISBN -13: 978-3-642-80724-4
DO!: 10.1007/978-3-642-80724-4
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© by Springer-Verlag Berlin . Heidelberg 1973. Library of Congress Catalog Card Number 72-95677.
Offsetdruck: Julius Beltz, HemsbachfBergstr.
VORWORT
Es gibt eine grosse Menge von betriebswirtschaftlichen Entscheidungsfragen,
die sich mit den nunmehr bereits als herkömmlich geltenden Optimierungs
methoden des Operations Research nicht behandeln la§sen, sei es beispiels
weise, dass die Zielfunktion und auch einzelne Restriktionen nicht konvex sind,
sei es, dass nur ganzzahlige Lösungen toleriert werqen, sei es, dass die von
einzelnen Variablen angenommenen Zahlenwerte Einfluss auf die Gültigkeit
ganzer Restriktionengruppen nehmen.
So wachsen z. B. die Kosten der Lagerhaltung als Sprungfunktion mit der Er
richtung jedes zusätzlichen Warenhauses und sie nehmen für jedes bestehende
Warenhaus meist konkav mit der Quantität der gelagerten Güter zu. Dieser
nicht-konvexe Charakter kann sich in einer Zielfunktion (Kosten-Minimierung)
oder in einer Restriktion äussern (Nicht-Ueberschreitung einer Kostenlimite).
Die Anzahl von Warenhäusern ist offenbar eine ganze Zahl, deren Optimum
unter Angabe der zugehörigen geographischen Standorte gesucht werden mag.
Die Notwendigkeit der Berücksichtigung ortsgebundener Restriktionen für
einzelne Warenhäuser (z.B. Provenienzvorschriften betreffend deren eigene
Güterversorgung) ist vom Werte der logischen Variablen" abhängig, der angibt,
ob ein bestimmtes Warenhaus errichtet werden soll oder nicht.
Es würde nicht schwer fallen, eine lange Liste von derartigen Problemen auf
zuzählen, die alle sehr erhebliche finanzielle Bedeutung für eine Unternehmung
annehmen. Diese Probleme haben schon immer bestanden; es ist interessant,
dass sie in letzter Zeit immer häufiger genannt werden und der Ruf nach ihrer
Lösung mit immer grösserer Dringlichkeit ertönt.
Diese Erscheinung ist allerdings erklärbar. Zunächst darf man feststellen, dass
das Operations Research sich nach und nach als Disziplin etabliert hat. Die
Führungsspitzen von Unternehmungen beginnen sich langsam mit diesem Werk
zeug zu befreunden und wünschen mit seiner Hilfe Antwort auf Fragen von hoher
Wichtigkeit zu erhalten, die sie bisher nur mühevoll und mit dem unbehaglichen
Gefühl von grosser Unsicherheit behandeln konnten. Dies betrifft häufig Politik
Variantenprobleme .
Während Mischungsprobleme, wie sie beispielsweise ins Gebiet der gewöhnli
chen linearen Programmierung fallen (z.B. optimale Produktionsmengen
zusammensetzung) mit den klassischen Methoden des Operations Research meist
lösbar sind, stellen Politik-Variantenprobleme normalerweise Aufgaben des
eingangs erwähnten Typus dar. Nun sind Mischungsprobleme aber naturgemäss
meist nicht so kritischer Natur, weil intuitiv gewählte Lösungen oft schon
optimumnah ausfallen und sich schlimmstenfalls zu gegebener Zeit korrigieren
lassen. Eine bestehende Fabrik kann ohne allzu schwerwiegende Eingriffe ihren
Produktionsplan leicht abändern, und die damit verbundenen Kosten sind takti
scher GrÖssenordnung.
- IV -
Politik-Varianten sind im allgemeinen nicht stetig modifizierbar. Eine Firma,
die 10 Fabriken und 20 Warenhäuser betreibt, kann die einzelnen gewählten
Standorte nicht adaptiv verschieben. Die Unternehmungsleitung muss sich an
lässlich von Reorganisationsmassnahmen oder bei Erweiterungsabsichten für
eine bestimmte Verteil-Organisation entscheiden, jegliche Aenderungen sind
einschneidender Natur und finanziell von strategischer Dimension.
Im Zuge der immer stärker sich abzeichnenden Kontaktnahme zwischen
Management und Operations Research-Fachleuten ist es daher verständlich,
dass gerade derartige, vom unternehmerischen Standpunkt aus besonders
brennende Probleme in den Vordergrund gerückt werden. Gleichzeitig - und
dies ist kein Zufall, denn angewandte Wissenschaft und Praxis stehen seit jeher
und auf allen Gebieten in gegenseitiger, anspornender Wechselwirkung, - wur
den neue Verfahren entwickelt, die auf Probleme dieser Art zugeschnitten sind.
Diese Verfahren sind noch keineswegs vollkommen und sie führen auch nicht
immer zum Ziel; denn je nach der angewandten Methodik ist entweder die
Konvergenz oft schlecht oder der Rechenaufwand wächst mit der Dimension
des Problems häufig explosionsartig . Das letztere Charakteristikum trifft für
kombinatorische Vorgehensweise zu.
Das im folgenden zur Sprache gelangende Branch and Bound-Verfahren kann
zu den kombinatorischen Methoden gezählt werden. Im wesentlichen liegt sein
Bestreben darin, durch ausgeklügelte Systematik von der normalerweise un
übersehbaren Anzahl erlaubter Lösungen so rasch wie möglich ganze Familien
zweige als nicht in Frage kommend abzuspalten und auf diese Weise mit oft
einfacher Probiertechnik das gesuchte Optimum aufzuspüren.
Branch and Bound ist gegenwärtig in Mode. Es ist nie schlecht, eine vernünfti
ge Mode mitzumachen, denn so bleibt man in lebendigem Kontakt mit der Ent
wicklung. Ob die hier vorliegende Moderichtung sich als dauerhaft erweisen
wird, muss die Zukunft zeigen. Sicherlich darf man baldige Erarbeitung neuer
verbesserter Methoden erwarten, sowohl auf dem Gebiete des Branch and
Bound als auch auf jenem anderer Techniken, die sich mit den gleichen Auf
gabenstellungen befassen. Einstweilen aber reicht der gegenwärtige Stand des
Branch and Bound schon aus, um recht viele bedeutsame Aufgaben des
Operations Research zu lösen und wertvolle Anregungen für eine weitere Be
reicherung des mathematischen Instrumentariums dieser Disziplin zu bieten.
Prof. Dr. Franz Weinberg
Direktor des Instituts für Operations Research
der ETH
INHA LTSVERZEIC HNIS
1 Branch and Bound: Eine Einführung
GIANCORRADO ESCHER 1
2 Das Handelsreisenden-Problem
GIANCORRADO ESCHER 20
3 Ein Branch and Bound-Algorithmus zur Bestimmung
einer exakten Lösung des Maschinenbelegungsplan
problems für 3 Maschinen
ULRICH WEISNER 33
4 Vertreter-Touren mit zeitlich variabler Dringlichkeit
OTTO MUELLER 45
5 Das verallgemeinerte Knapsack-Problem
NILS KYED 64
6 Zusammenhang zwischen Dynamischer Programmierung
und Branch and Bound
PETER KALL 75
7 Diskussion der Modellwahl am Beispiel des
Travelling-Salesman Problems PIA PFLUGER 90
8 Ganzzahlige, Null-Eins- und Gemischt-Ganzzahlige
Programmierung im Zusammenhang mit der
Branch and Bound-Technik
WOLF GANG RUNGGALDIER 107
9 Optimales Rangieren
PETER SCHALTEGGER 127
10 Optimale Bildung von Nahgüterzügen JOSEF ACHERMANN 143
11 Gemeinsame Losgrössenrechnung für Teilevarianten
bei deterministischem Bedarf
KLAUS RUTZ 155
VERZEICHNIS DER AUTOREN
Dr. Josef Achermann
Wander AG., Bern
Giancorrado Escher, dipl. Phys. ETH
Institut für Operations Research der ETH Zürich
Prof. Dr. Peter Kall
Institut für Operations Research der Universität Zürich
Dr. Pia Korevaar-Pfluger
Math. Dept. San Diego State College
Nils Kyed
Institut für Elektronische Datenverarbeitung der
Universität Zürich
Dr. Otto Müller
Werkzeugmaschinenfabrik Oerlikon-Bührle AG.
Prof. Dr. Wolfgang Runggaldier
Universita degli Studi di Padova
Dr. Klaus Rutz
Heberlein & Co. AG., Wattwil
Peter Schaltegger, lic. Math.
FIDES Treuhand-Vereinigung, Zürich
Ulrich Weisner, dipl. Phys. ETH
Institut für Operations Research der ETH Zürich
HERSTELLUNG DES MANUSKRIPTS
Frau Maria Daniel, Institut für Operations Research der ETH Zürich
VORBEMERKUNG
Bei dieser Veröffentlichung handelt es sich um eine Zusammen
stellung von Unterlagen für einen vom Institut für Operations
Research der ETH Zürich gehaltenen Kurs.
Gegenüber der 1. Auflage wurden einige wesentliche Aenderungen
vorgenommen, die der Ergänzung und der besseren Verständlich.,.
keit dienen.
Einige der Beiträge folgen ziemlich genau den Gedankengängen
bereits publizierter Abhandlungen. Die entsprechenden Literatur
angaben gehen aus dem Text hervor.
BRANCH AND BOUND: EINE EINFUEHRUNG
Giancorrado Escher
1. 1. Einführendes Beispiel
Die Verkehrsbetriebe einer Stadt unterhalten ein Netz von 5 Linien
mit folgendem maximalen Wagenbedarf pro Linie:
Linie Fahrzeuge
1 17
2 16
3 21 (1. 1)
4 8
5 12
total 74
Der Wagenpark beträgt 80 Fahrzeuge, es stehen also jeweils minde
stens 6 Fahrzeuge ausser Betrieb (Revisionen, Reparaturen, Ein
satzmöglichkeit bei Notfällen, etc.).
Erhebungen aus dem letzten Betriebsjahr ergaben folgende mittlere
Zahlen von beförderten Passagieren (in 1000) pro Tag:
Linie Passagiere (in 1000)
1 11
2 14
3 16 (1. 2)
4 8
5 7
total 56
- 2 -
Auf sämtlichen Linien verkehrt Rollmaterial desselben Typus, das je
doch infolge langjährigen Gebrauchs im Betrieb sehr teuer geworden ist.
Es ist ausserdem veraltet und genügt nicht mehr den Anforderungen an
Bequemlichkeit, die der Fahrgast erwartet. Die Gesellschaft beschliesst
daher, ihren Wagenpark zu erneuern; in einer 1. Etappe steht ihr zu
diesem Zwecke ein Kredit zur Verfügung, der es gestattet, höchstens
40 Fahrzeuge durch wirtschaftlichere, modernere und komfortablere zu
ersetzen.
Der Austausch der Fahrzeuge soll nach folgenden Richtlinien vorgenom
men werden:
1) Auf allen Linien bleibt die gleiche Anzahl Fahrzeuge wie bisher im
Einsatz.
2) Die Linien mit den höheren Beförderungszahlen sollen als erste be
rücksichtigt werden, um möglichst viele Passagiere in den Genuss
der grösseren Bequemlichkeit zu bringen.
3) Die Ersetzung soll linienweise erfolgen, d. h., am Schluss soll es
keine Linie geben, auf der gleichzeitig neue und alte Wagen verkeh
ren. Dies mit Rücksicht auf die Wagenführer, die linienweise ein
gesetzt sind und umgeschult werden müssen, falls die Linie auf
neues Rollmaterial eingerichtet wird.
4) Es ist damit zu rechnen, dass, bei Bestellungen bis 30 Wagen deren
2, von 31 bis 40 Wagen deren 3 wegen Reparaturen, Revisionen,
Einsatz bei Notfällen, etc. ausser Betrieb in Reserve gelassen wer
den müssen.
Wieviel Fahrzeuge soll die Gesellschaft ersetzen und wie sollen die
neuen Wagen auf die Linien verteilt werden, um möglichst vielen Fahr
gästen den höheren Komfort zur Verfügung zu stellen?
- 3 -
Bei diesem recht einfachen Problem dürfte es nicht schwierig sein,
die Optimallösung zu "erraten". Man findet sie z. B., indem man, unter
möglichster Ausschöpfung des "Plafonds" von 40-3 = 37 Fahrzeugen,
diese auf verschiedene Arten auf die Linien verteilt:
Linien Total Wagen Total Passagiere (in 1000)
1 2 33 25
1 4 5 37 26
2 3 37 30 (1. 3)
2 4 5 36 29
3 4 29 24
3 5 33 23
Durch Vergleich der beförderten Passagierzahlen erkennt man, dass
die dritte Politik - "Ersetzen der Wagen auf Linien 2 und 3" - die opti
male ist. Sie schöpft - nebenbei bemerkt - die Maximalzahl Fahrzeuge
aus.
Nachdem dieser erste, mehr intuitive Lösungsweg gezeigt wurde, soll
eine strengere, verallgemeinerungsfähige Methode ausgearbeitet werden.
Zu diesem Zwecke führe man folgende Variable ein:
x. Anteil neuer Wagen am Bedarf für die Linie
1
(i = 1, ... , 5).
Dann kann man das Problem wie folgt schreiben:
J
Max. (1.4)
z =
1 (1. 5)
x. = 0 oder 1 (i = 1, ... ,5). (1. 6)
1
