Table Of ContentSitzungsberichte
der Heidelberger Akademie del' Wissenschafte-n
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
======= =======
Jabrgang 1948. 9. Abbandlung
Biegung mit Erhaltung
konjugierter Systeme
II. Teil
Von
Wilhelm Schaafi'
in Mannheim
Vo rgelegt in der Sitzung yom 27. Januar 1940
Heidelherg 1948
S p r in g e r -Veri a g
ISBN-13: 978-3-540-01355-6 e-ISBN-13: 978-3-642-45808-8
DOl: 10.1007/978-3-642-45808-8
Aile Bechte, insbesondere das der'Ubersetzung in Iremde Sprachen,
vorbehalten.
Copyright 1948 by Sprin'gilr-Verlag ORC; in Berlini' Gottingen and Heidelberg.
Biegung mit Erhaltung konjugierter Systeme.
II. Tell*.
Von
Wilhelm SchaaH in Mannheim.
Die vorliegende Arbeit ist die Fortsetzung einer Abhandlung,
die unter demselben Titel im Jahrgang 1934 dieser Sitzungsberichte
erschienen istl. Die im ersten Teil begonnen~ Nummerierung der
Abschnitte, Satze und Gleichungen wird hier weitergefiihrt: die
Satze 1 bis 6 und die Gl. (1) bis (61) befinden sich also in der
friiheren Arbeit, auf di~ gelegentlich mit lund Angabe der Seiten
zahl verwiesen wird.
1m ersten Teil wurde eine allgemeinere Flachengruppe mit
stetig und infinitesimal verbiegbarem konjugiertem System ge
wonnen, die von drei willkiirlichen Funktionen einer Variablen
abhangt, und zum SchluB in Abschnitt VII noch angedeutet, wie
man die Biegungsgruppe dieser Flachen als Funktion des Biegungs
parameters darstellen kann. J etzt sollen in Abschnitt VIII zu
nachst die erforderlichen Rechnungen explizit durchgefiihrt werden;
es wird also die in I auf S. 30 erwahnte Differentialgleichung erster
Ordnung nunmehr integriert.
Sodann werden in Abschnitt IX die Flachen der genannten
Gruppe bestimmt, bei denen die eine Schar des stetig verbiegbaren
konjugierten Systems aus geodatischen Linien besteht, was eben
falls durch Integration einer Differentialgleichung erster Ordnung
gelingt ..
AnschlieBend wird die Abbildung nach parallelen Tangenten
durchgefiihrt an Fliichen mit einem konjugierten System, das da
durch entsteht, daB man die Flache von den Punkten einer Raum
kurve aus beleuchtet." Fiir so1che Kurvennetze wird das System
*
Der Druck wurde durch die Einberufung des Verfassers zurn Wehr
dienst urn 4 Jahre verzogert.
1 SCHAAFF, W.: Biegung rnitErhaltung konjugierter Systerne. S.-B.
Heidelberger Akad. Wiss., rnath.-naturwiss. Kl. (1934) 19. Abh.
- 195 -
4 WILHELM SCHAAFF:
von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, von
dem die Bestimmung der Abbildung nach parallelen Tangenten
abhangt, losbar.
Zum SchluB werden Flachen mit infinitesimal und stetig ver
biegbarem einfach konischem konjugiertem System bestimmt und
durch Abbildung nach parallelen Tangenten aus ihnen weitere
Flachen mit dieser Eigenschaft gewonnen; aus einer Biegungs
gruppe mit konischem konjugiertem System erhalt man dadurch
eine von zwei willkiirlichen Funktionen U (u) und V (v) abhangige
Schar neuer Biegungsgruppen.
VIII. Explizite Darstellung der Biegungsgrupjie
als Funktion des Biegungsparameters.
Die Biegungsflac~e chat nach Gl. (57) die Darstellung
3
~ x.{}.c - {}4C = 0, (62)
,=1
wobei fiir i = 1, 2, 3, 4
{}. = 2 (Vi~ -I- Vi~) (63)
.. Voc -I- Voc
Die Funktionen ~~ und v.~ miissen dabei nach Gl. (58) die
Bedingungen erfiillen:
I
~~=O, (64)
Ul~
=0,
U,~' ~ ,,~,(- 1) '+' C. (e) U,",-u" (u) ~ .11, (u) - u" (u) , J (65) .
US*c 9~ =~ ~ (- 1) n+l Cn (c) UOnc + U-Oc (u) = FJ-,,(u) + U-Oc(U).
n =0
Die Funktionen UOc' Yoc(c), U4~' ~~ und die GroBen Ct(c)
(i = 0, ... ,4) sollen so als Funktionendes Biegungsparameters c
bestimmt werden, daB die hinreichenden Bedingungen Gl. (38), (39)
u. (40), durch die Gleichheit der FundamentalgroBen erster Ord-
nung bewirkt wird, erfiillt sind. .'
Die Bedingung Gl. (39), die besagt, daB der Faktor der MOUTARD
schen Gleichung biegungsinvariant ist, laBt sich durch die Be
ziehungen
(66)
erfiillen.
- 196 -
Biegung mit Erhaltung konjugierter Systeme. II. 5
Die Richtungscosinus I der Normalen sind nach Gl. (60)
ic
(i=1,2,3)· (67)
Somit ist
(68)
Diese Beziehung ist durch die Redingungen Gl. (63), (64) u. (65)
erfullt und besagt, daB die Parameterkurven ein stetig verbiegbares
konjugiertes System bilden.
Die Biegungsbedingungen Gl. (38) lauten, wenn mank = e2,
ko = J((e) setzt:
cU
0,;= c _ u +J((e), (69)
cF
11;;= c+ v -J((e). (70)
Fur e ~ 00 ergibt sich die Ausgangsflache, wenn lim J( (e) = 00
Nach Gl. (18) u. (19) folgt fur die Funktionen u,c; ~uoon d Yc:
U.=4C4~2-2CaUo+ }
(71)
+'i(u.u,,°2- 2u,,° Uo'cUoc + V.U~;). (u,,2 - U02c)-1,
v. = Ao + Al Vo + A. Vl + Aa VJl + A, Vo'
(72)
+ + + +
c Co C1 Vo C. Vo' Ca Vo3 C. Vo' '
wobei
A 0= 4q ' A 1=C1 C2 -2Co Ca ,
A2 = q - ~ C1 Ca -4COC4, Aa = C2Ca -2C1 C4,
Ferner bedeutet:
u: _
oaVuo.c .
Oc -
Nach Gl. (19) gilt fur die Ausgangsflache:
v + + +
= al a, Vo a. Vo' a~ VJ+ a. Vo' (74)
+ + + +
Co C1 VO c. Vo' Ca V03 c. Vo' '
wobei an und en den Gl. (73) entsprechenden Bedingungen genugen.
Setzt man in Gl. (70) die Funktionen Yc und V aus Gl. (72)
un(74) ein, so erhalt man eine Gleichung 8. Grades in Yo von der
Form:
4 4 4 4
L An Yo' . L p" l{t = L q" Yo' . L Cn V on . (75)
n~O n~O n~O n~O
- 197-
6 WILHELM SCHAAFF:
Dabei bedeuten die Abkiirzungen P,. und q,.:
+ ( K) K
P,,'= c" a,. ; q =a 1-- -_·c. (76)
n n c2 C n
" C
Da die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von Vo ubereinstimmen
mussen, erhalt man neun homo gene lineare Gleichungen fur die
A,. und C,.(n = 0, 1, 2, 3, 4):
(m = 0, 1, 2, ... , 8). (77)
Eine Losung dieser Gleichungen ist offenbar, wie auch f(c) ge
wahlt wird:
A" = q" . f (c) ; C" = P.. · f(c) (n = 0, 1, 2, 3, 4). (78)
Von den A" und C,. mussen aber noch die 5 Bedingungen
G1. (73) erfiillt werden:
Aus der, ersten dieser Bedingungsgleichungen folgt:
qof(c) =!Pif2(c).
°
Es kann nun f(c) =1= angenommen werden. Denn °and ernfalls ware
Co = ... = C4 = 0, nach G1. (65) also U (u) = und, weil U2~
und U:c reell sein sollen, auch UOD (u) = 0, d. h. ~~ =. U~~ =
Ua~ = 0, nach G1. (64) auBerdem V;~ = ~~ = Ya~ -:- 0, nach
G1. (63) als<\-D1e = -D2D = -D3D = 0; dann wiirde aber (;1. (62) keine
eigentliche Flache darstellen. .
Wir setzen auBerdem voraus, daB bei der Ausgangsflache
(79)
Dann verschwinden ~ und c nicht gleichzeitig, PI hat hOchstens
1
eine N ullstelle mid .
f(c) = 4qoP12. (80)
Somit ergibt sich als Losung von <;1. (77):
2
A .. =4qoq"PI , C,,~4qOP'IPI2 (n=0,1,2,3,4). (81)
Aus der zweiten der ,G1. (73) folgt nunmehr, daB
2 3
qo qi PI = 4 q~ PI P2 -,-8 q~ PI4 P3'
und diese Bedingung ist gewiB erfiillt, wenn
2
qi PI = qo (4 PI3 P2 - 8 qo PI4 Ps)
- 198-
Biegung mit ErhaJtung konjugierter Systeme. II., 7
oder, mit der Abkiirzung
11 = 4 PI P2 - 8 PI Pa , (82)
wenn
Da nach Gl. (76)
q,,= an -K (c) p"
ist, besagt dies, daB
K(c) (P~ -Poll) - (~Pi -ao/l) = O. (83)
Da nach Gl. (76) weiter'
limp" = c"
ist und fiir die AusgangsfIache Formeln gelten, die aus Gl. (73)
hervorgehen, indem man A durch a, C durch c ersetzt, strebt
fiir c ---* 00
Pf-Po/l---*cf-co(4clc2 --8coca) = 4 (aOc1-a1cO) =F 0;
wir diirfen also fiir hinreichend groBe c durch p~ ~ Po 11 dividieren
und erhalten
(84)
Insbesondere ist hiernach und nach Gl. (73)
limK(c) = at c~ - ao 4ct Co - 8co c3 anal -an a] =0,
4 (ao ct - at co) ao ct - at Co
wie es sein muB.
Wir ha~en nunmehr I (c) und K (c) so bestimmt, daB von den
GraBen Gl. (81) die zwei ersten der Bedingungen Gl. (73) befriedigt
werden. Aber auch die iibrigen sind identisch erfiillt, wie wir
jetzt zeigen wollen.
Tragt man die Werte Gl. (78) in die dritte der Bedingungen
Gl. (73) ein, so kornmt
q21 (c) = PH2( c) -tPl P3/2 (c) - 4po P4/2 (c);
diese dritte Bedingung ist also gewiB erfiillt, wenn
oder, indem man zur Abkiirzung
12 = 4 P~ - 2 PI P.3 - 16 Po P4 ( 85)
- 199-
8 WILHELM SCHAAFF:
setzt, wenn
q2M =Qo/2'
mit Rucksicht auf Gl. (76) also, wenn
K(c) (P2Pi -Po/2) - (a2Pi -ao/2) = O. (86)
Diese Gleichung besteht genau gleichzeitig mit der Gl. (83), wenn
(P~ - Po 11) (a2P i - ao1 2) - (P2 M - Po 12) (al Pi - ao1 1) =0, (87)
d. h. wenn
+
(a2 PI - al P2) P~ = (a2Po - aoP 2) 11 (ao PI - al Po) 12'
Setzt man hier fUr 11> bzw. 12 die Werte aus Gl. (82), bzw. (85)
und fiir die Pn die Werte aus Gl. (76) ein, so ergibt sich:
y
(a; +c1 (a2cI -a1c 2) = {4(:1 +c1)(ac• +c2) -8 (~ +co)(a;, +ca)} (a2 Co - aoc 2) +
y
+{4(~c' +c2 -2(~+Cl)(~' +ca) -16(~+eo)(~4 +C4)} (aOel-~CO)'
Driickt man hier die an entsprechend den Gl. (73) durch die en
aus, so erkennt man, daB die Absolutglieder und die Koeffizienten
von c-1 und c-21inks und rechts iibereinstimmen; daher ist Gl. (87)
fUr aIle e identisch erfiillt und somit bei unserer in Gl. (84) ge
gebenen Bestimmung von K (e) auch die dritte der Bedingungen
Gl. (73) von den GraBen Gl. (81) befriedigt.
Tragt man die Werte Gl. (78) in die vierte der Bedingungen
Gl. (73) ein, so ergibt sich
qa I (e) = P2 Pa f2 (c) - 2 PI P4 12 (c) ;
diese vierte Bedingung ist also gewiB erfUllt, wenn
qs= (P2PS - 2 PI P4) I (e) = 4 qOP12 (P2Pa - 2 PI P4)
oder, indem man zur Abkiirzung
(88)
setzt, wenn
nach Gl. (76) also, wenn
K (c) (Ps Pi - Po Is) - (as Pi - aol a) = o. (89)
Diese Gleichung besteht genau dann gleichzeitig mit der Gl. (83),
d. h. genau dann, wenn K (c) gemaB Gl. (84) bestimmt Wird, falls
(pr - Po 11) (as Pi - aoI s) - (Pa Pi - Po Is) (a1 Pi - ao1 1) = 0
- 200 -
Biegung mit Erhaltung konjugierter Systeme. II .. 9
oder
d. h.
+
(aa C1 - a1 ca) P~ = (aa Co -Ca ao) 11 (ao C1 -Co~) la·
Setzt man hier flir I den Wert aus Gl. (82), fiir la den Wert aus
Gl. (88) und flir die Pn die :Werte aus Gl. (76) ein und driickt man
dann die an entsprechend den Gl. (73) durch die Cn aus, so erweist
sich diese Gleichung als identisch befriedigt flir aIle c. Also ist
bei unserer Bestimmung von K (c) und der GraBen An und Cn
auch die vierte der Bedingungen Gl. (73) erfiiIlt.
Tragt man schlieBlich die Werte Gl. (78) in die flinfte der
Bedingungen Gl. (73) ein, so ergibt sich:
Q4/(c) =lP~/2(c);
diese flinfte Bedingung ist also erfliIlt, wenn
Q4 = 1 P~ I (C) = P; POP12
oder
nach Gl. (76) also, wenn
K (c) (Po P~ - P4 Pi) - (ao P~-a4 Pi) = o. (90)
Diese Gleichung besteht genau dann gleichzeitig mit der Gl. (83),
wenn
(P~ - Po 11) (ao P~ - a4 Pi) - (a1 P~ - ao 11) (Po P~ - P4 P~) = 0
oder
(~P4 -Pl a4) Pi = (aOP4 -a4Po) 11 + (a1Po -aOP1) Pi·
Diese Bedingung erweist sich ebenfalls als identisch flir aIle C
erfiiIlt. Daher wird auch die flinfte der Bedingungen Gl. (73) bei
unserer Bestimmung von K (c) befriedigt.
Da somit aIle 5 Forderungen Gl. (73) erfiillt sind, stellen die
Gl. (81) unter der Voraussetzung Gl. (79) eine Lasung der Biegungs
bedingungen Gl. (69) u. (70) dar, und es ist auch lim K(c) = 0,
wie es sein TIlUB. C -'> co
Da die Funktionert Cn(c) bestimmt sind, so sind auch die
Funktionen Q in Gl. (65) bekannt. Die Biegungsbedingung
Gl. (69) ergibt somit wegen Gl. (71) eine Differentialgleichung
erster Ordnung flir U: c. Setzt man
(91)
- 201 -
10 WILHELM SCHAAFF:
so folgt aus Gl. (71)
2a(Q2 -Utc)Q-1 - Q'2= - 2 Q' U~cUocQ-1 + U~;. (92)
Addiert man beiderseits den Ausdruck {Q' Uoc Q-1)2, so folgt:
(2a -q - u,;' 2) ( 1 - --U--O=2 c2 \) = (-q' -u-,; 1 [-foe - U-o.e )2 ,
, Uc
oder, wenn
(93)
gesetzt wird:
"{-u.-2_U--2} _ JU Voc12
l c' _ f .
S Oc e - Ue Uoe
Die Auflasung nach U~c ergibt
-. - u V--'V" uO
UOe= Uoe=C-' =F s, 1 ---=2c .
Ue Uc
Setzt man fernel'
so ist also
oder
o
arc sin He
Durch Integration fclgt:
. f
Vs
arc sm Re = =F -u=-oUo +Ko(c).
e
Die Lasung del' Differentialgleichung (92) lautet somit:
J
Uoe = lisin{ + ~ oUo +Ko(C)}' (94)
wobei nach Gl. (93) u. (91)
(95)
Setzt man hierin das q; aus Gl. (69) ein~ so ist die Funktion Uoe
flir die Biegungsflachen bestimmt.
Damit sind die Funktionen q~ und ~~ flir i = 1, 2, 3 in
Gl. (63) berechnet und somit auch nach Gl. (67) die Richtungs
cosinus der Normalen der Biegungsflachen als Funktionen des
Biegungsparameters c ermittelt.
- 202 -
