Bewertung von Zinsoptionen bei stochastischer Zinsvolatilitat: Ein Inversionsansatz

213 Pages·1996·6.868 MB·German

by  Marliese Uhrig (auth.)

Uhrig
Bewertung von Zinsoptionen bei stochastischer Zinsvolatilitat
Beitroge zur betriebswirtschaftlichen Forschung
Schriftenreihe herausgegeben von:
Prof. Dr. Dr. h. c. mult. Horst Albach, Bonn
Prof. Dr. Sonke Albers, Kiel
Prof. Dr. Dr. h. c. Herbert Hax, Koln
Prof. Dr. Klaus v. Wysocki, Miinchen
(Foigende Bande sind zuletzt erschienen:) Band 66 U. Backes-Gellner
Okonomie der Hoehsehulforsehung
Band 55 H. Haumer
Sequentielle stoehastisehe Band 67 T. Waragai
Investitionsplanung Unternehmen im Strukturwandel
Band 68 B. Heidel
Band 56 U. Grimm
Seannerdaten im
Analyse strategiseher Faktoren
Einzelhandelsmarketing
Band 57 R. LeichtfuB Band 69 A. Pinkwart
Kapitalbudgetierung Chaos und Unternehmenskrise
in divisionalisierten Unternehmen
Band 70 W. Breuer
Band 58 E. Kucher Finanzintermediation
Seannerdaten und Preissensitivitiit im Kapitalmarktgleiehgewieht
bei Konsumgutern
Band 71 M. Steven
Band 59 Th. Hartmann-Wendels Produktion und Umweltsehutz
Dividendenpolitik bei asymmetriseher
Band 72 E. Terberger
Informationsverteilung
Neo-institutionalistisehe Ansiitze
Band 60 J. Ringbeck Band 73 P. Nippel
Qualitiits-und Werbestrategien Die Struktur von Kreditvertriigen
bei Qualitiitsunsieherheit aus theoretiseher Sieht
der Konsumenten
Band 74 A. Gerken
Band 61 R. Ewert Optimale Entseheidungen in Banken
Reehnungslegung, Gliiubigersehutz
und Ageneyprobleme Band 75 C. Schlag
Bewertung derivativer Finanztitel
Band 62 M. TOmpen in zeit-und zustandsdiskreten Modellen
Strategisehe Fruhwarnsysteme fur
Band 76 A. G. Schmidt
politisehe Auslandsrisiken
Der EinfluB der UnternehmensgroBe
auf die Rentabilitiit von
Band 63 Th. Petersen
Industrieunternehmen
Optimale Anreizsysteme
Band 77 W. Breuer
Band 64 G. Tacke Linearitiiten in Anreizvertriigen
Niehtlineare Preisbildung bei groben Informationsstrukturen
Band 65 W. Neus Band 78 M. Uhrig
Okonomisehe Ageney-Theorie und Bewertung von Zinsoptionen bei
Kapitalgleiehgewieht stoehastiseher Zinsvolatilitiit
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Marliese Uhrig
Bewertung von
Zinsoptionen bei
stochastischer
Zinsvolatilitat
Ein Inversionsansatz
GABLER
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Uhrig, Marliese:
Bewertung von Zinsoptionen bei stochastischer
Zinsvolatilitat : ein Inversionsansatz / Marliese Uhrig.
-Wiesbaden : Gabler, 1996
(Beitrage zur betriebswirtschaftlichen Forschung ; 78)
Zugl.: Mannheirn, Univ., Diss., 1995
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Lektorat: Claudia Splittgerber / Annegret Heckmann
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ISBN-13: 978-3-409-13568-9 e-ISBN-13: 978-3-322-86733-9
001: 10.1007/978-3-322-86733-9
v
Geleitwort
Eines der dringendsten und bisher noch nicht befriedigend geli:isten Probleme von Kredit
instituten stellt das Management der in Zinspositionen verborgenen Zinsiinderungsrisiken
dar. Durch den zunehmenden Einsatz von Derivaten hat die Komplexitiit dieses Problems
urn eine weitere Dimension zugenommen. Unabhiingig davon, ob das Risiko einer Zins
position iiber Szenarioanalysen, Simulationsstudien oder mit Hilfe des "Value at Risk"
Konzeptes transparent werden soll, mussen die in der Position enthaltenen Zinsoptionen
mit Hilfe eines konsistenten Bewertungsmodells bewertet und ihre Sensitivitiit gegeniiber
Anderungen der EinfluBfaktoren beurteilt werden ki:innen. Hier setzt die vorliegende Dis
sertationsschrift von Frau Uhrig an. Ihr Ziel ist es, ein praktikables und konsistentes
Modell zur Bewertung yon Zinsoptionen der unterschiedlichsten Art zu entwickeln.
Fur Zinsoptionen steht kein mit dem Black-Scholes Modell vergleichbarer einfacher Be
wertungsansatz zur Beurteilung von Derivaten zur VerfUgung. Das bei der Bewertung von
Caps und Swaptions als Marktstandard eingesetzte Black Modell geht von einer isolierten
Modellierung der Forward-Rates aus und erlaubt keine Erfassung der Korrelationsstruktur
und des Volatilitiitsclusterings von Zinssiitzen.
Frau Uhrig entwickelt in ihrer Dissertationsschrift auf der Grundlage des allgemei
nen Gleichgewichtsansatzes von Cox/Ingersoll/Ross und der Spezialisierung von Long
staff/Schwartz ein Bewertungsmodell mit dem kurzfristigen Zinssatz als erstem und des
sen Volatilitiit als zweitem Faktor. Die komparativ-statische Analyse zeigt, daB dieses
Modell eine Reihe wunschenswerter Eigenschaften fUr die endogene Volatilitiitsstruktur
besitzt. So erkliirt das Modell die beobachtete Existenz von Volatilitiitsclustern und die
Ubertragung der Volatilitiit des kurzfristigen Zinssatzes auf den langfristigen wird mit
Ubertragungsraten zwischen 40% und 60% realistisch erfaBt.
Die Anpassung der endogenen Zinsstrukturkurve an die exogene erfolgt in Verallgemeine
rung der Vorgehensweise von Black/Scholes. Deren Theorie kann in der Weise interpretiert
werden, daB der Marktpreis des Aktienkursrisikos aus dem Aktienmarkt extrahiert und
fUr die Optionsbewertung verwendet wird. Analog hierzu nimmt das Verfahren von Frau
Uhrig fUr jede Restlaufzeit eines Zero Bonds die Extraktion des zugehi:irigen restlaufzeit
abhiingigen Marktpreises des Risikos Yor, der dessen beobachteten Preis erkliirt. Dieser
findet dann bei der Optionsbewertung Verwendung. Mit Hilfe des restlaufzeitabhiingigen
Marktpreises des Risikos kann ein Zusammenhang zwischen der Form der Zinsstruktur
kurve und den Risikopriiferenzen der Marktteilnehmer hergestellt werden. Ais Neben
produkt ergibt sich damit eine vierte, die Erwartungs-, Liquiditiits- und Marktsegmentie-
VI
rungstheorie ergiinzende Erkliirung fiir die Form von Zinsstrukturkurven.
Die theoretischen Analysen werden ergiinzt urn eine umfangreiche empirische Untersu
chung zur Bewertungsqualitiit des Zwei-Faktor-Modells am deutschen Zinsoptionsschein
markt. Die Abweichungsanalyse zeigt, daB die Bewertungsergebnisse durchaus mit den
fUr den deutschen Aktienoptionsmarkt mit Hilfe der Black/Scholes-Theorie erzielten ver
gleichbar sind, diese teilweise sogar iibertreffen. Dies ist umso erstaunlicher, als eine
Detailanpassung an die exogene Volatilitiitsstruktur nicht vorgenommen wurde. Die Be
wertungsergebnisse geben einen weiteren Hinweis darauf, daB die Volatilitiitsverhiiltnisse
am deutschen Rentenmarkt durch ein Zwei-Faktor-Modell mit dem kurzfristigen Zinssatz
und dessen Volatilitiit gut abgebildet werden konnen.
Frau Uhrig ist es mit ihrer Dissertationsschrift in hervorragender Weise gelungen, ein
praktikables Verfahren zur Bewertung von Zinsoptionen zu entwickeln, das die aktuelle
Marktinformation und die Stochastik der Zinsstrukturkurve erfaBt. Diese Schrift wird eine
Referenzarbeit fUr weitere theoretische und empirische Untersuchungen zu Zinsderivaten
darstellen. Sie richtet sich an Fachleute und wird diesen zum Studium empfohlen.
Prof. Dr. Wolfgang Biihler
VII
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftliche Mitarbei
terin am Lehrstuhl fiir Finanzierung der Universitat Mannheim. Mein besonderer Dank
gilt meinem akademischen Lehrer, Herrn Prof. Dr. Wolfgang Biihler, der mein Inter
esse an derivativen Zinsinstrumenten weckte und die Arbeit mit hilfreichen Diskussionen
und konstruktiver Kritik begleitete. Fiir die Ubernahme des Korreferats bin ich Herrn
Prof. Dr. Peter Albrecht zu Dank verpfiichtet.
Den Herausgebern Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. multo Horst Albach, Herrn Prof. Dr. Dr. h. c.
Herbert Hax, Herrn Prof. Dr. Sonke Albers und Herrn Prof. Dr. Klaus v. Wysocki danke
ich fiir die Aufnahme der Arbeit in die Schriftenreihe "Beitrage zur betriebswirtschaftli
chen Forschung".
Herzlich bedanken mochte ich mich bei meinen Kollegen am Lehrstuhl fiir Finanzierung,
Herrn Dr. Michael Berendes, Frau Dipl. -Kfm. Andrea Dube, Herrn Dr. Alexander Kempf,
Herrn Dipl. -Kfm. Ulrich Miiller, Herrn Dipl. -Kfm. Andreas Schmidt, Herrn Dr. Michael
Schulze und Herrn Dr. Ulrich Walter, die mir nicht nur in fachlicher Hinsicht wert volle
Unterstiitzung leisteten. In besonderem MaJ3e gilt mein Dank Herrn Dr. Ulrich Walter
fiir die zahlreichen intensiven Diskussionen und die konstruktive Zusammenarbeit in den
letzten Jahren.
Fiir die sorgfaltige Durchsicht des Manuskripts danke ich meinem Kollegen Herrn Dipl. -
Wirtsch. -Inf. Stephan Pabst sowie meinen Freundinnen Frau Ute Fischer und Frau Alex
andra Hense.
SchlieJ31ich danke ich meinem Lebensgefahrten, Herrn Dr. Carsten Homburg, der die Ar
beit in allen Phasen ihrer Entstehung begleitet und das Manuskript mehrfach kritisch
durchgesehen hat.
Marliese Uhrig
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis . XIII
Tabellenverzeichnis . . . XVII
1 Einfiihrung und Uberblick 1
1.1 Modelle fiir Zinsderivate im Uberblick . 2
1.1.1 Kursmodelle. 3
1.1.2 Zinsmodelle. 4
1.1.2.1 Gleichgewichts- und Arbitrageansatze 6
1.1.2.2 Probleme zinsorientierter Ansatze . 6
1.1.2.3 Losungswege 8
1.2 Aufbau der Arbeit ..... . 11
2 Modellfaktoren und Gleichgewicht 15
2.1 Spezifizierung von Zwei-Faktor-Zinsmodellen 16
2.2 Gleichgewichtstheoretische Fundierung eines Zwei-Faktor-Modells 18
2.2.1 Die Modellokonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Die optimale Strategie des reprasentativen Investors . 25
2.2.3 Bestimmung der Gleichgewichtsprozesse ...... . 30
2.2.3.1 Gleichgewichtszins in Abhangigkeit der modellexogenen
GroBen ................. . 30
2.2.3.2 Ermittlung der Marktpreise des Risikos . 34
2.2.3.3 Die fundament ale Bewertungsgleichung . 37
2.3 Gleichgewichtsansatz versus Arbitrageansatz . . . 39
2.4 Beispiele gleichgewichtsorientierter Ansatze 1m Rahmen einer
Cox/Ingersoll/Ross-Okonomie . . .. ...... 41
2.4.1 Die Zinsmodelle von Cox/Ingersoll/Ross und Longstaff 42
2.4.2 Das Modell von Hemler/Longstaff zur Bewertung von
Aktienindexfutures . 44
X Inhaltsverzeichnis
2.4.3 Die Zinsmodelle von Longstaff/Schwartz und Chen/Scott . . . . .. 45
3 Die Zinsstrukturkurve im Gleichgewicht 47
3.1 Modellspezifikation . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . .. 47
3.2 Die Wahl der Zustandsvariablen und deren Implikationen fUr Zins und
Volatilitat . . . . . . . . . 49
3.3 Bewertung von Zerobonds 53
3.3.1 Bewertungsgleichung 53
3.3.2 Risikopramienforderung des repriisentativen Investors am Anleihe-
markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Komparativ-statische Analyse der Zinsstrukturkurve 57
3.4.1 Die Zinsstruktur in Abhiingigkeit der Erwartung hinsichtlich der
zukiinftigen Zins- und Volatilitiitsentwicklung . . . . . . . . . . .. 59
3.4.2 Die Zinsstruktur in Abhiingigkeit des aktuellen kurzfristigen Zins-
satzes und des sen Volatilitiit . . . . . 66
3.5 Eigenschaften der Volatilitiitsstrukturkurve . 70
4 Anpassung des Modells an die aktuelle Zinsstrukturkurve 79
4.1 Interpretation der aktuellen Zinsinformation . . . . . 80
4.1.1 Die Methodologie von Heath/ J arrow /Morton . 80
4.1.2 Der Hull/White-Ansatz ..... . 82
4.2 Anpassung iiber zeitabhiingige Parameter. 84
4.3 Das invertierte implizite Differenzenverfahren 91
4.4 Risikoeinstellung der Marktteilnehmer am Anleihemarkt - komparative
Statik ...................................... 97
4.4.1 Risikoeinstellung in Abhangigkeit der Erwartung hinsichtlich der
zukiinftigen Zins- und Volatilitiitsentwicklung . . . . . . . . . . .. 98
4.4.2 Risikoeinstellung in Abhiingigkeit der Form der aktuellen Zinsstruk
turkurve, des aktuellen kurzfristigen Zinssatzes und dessen Volatilitat103
5 Bewertung von Anleiheoptionen 111
5.1 Grundidee der Bewertung ... 111
5.2 Numerische Berechnung der Optionswerte 112
5.3 Komparativ-statische Analyse der Optionswerte 117
5.3.1 Optionswerte in Abhiingigkeit der Erwartung des Marktes hinsicht-
lich der zukiinftigen Entwicklung von Zins und Volatilitat. . . . . . 117
Inhaltsverzeichnis XI
5.3.2 Optionswerte in Abhangigkeit der Form der aktuellen Zinsstruktur
kurve, des aktuellen kurzfristigen Zinssatzes und dessen Volatilitat . 122
5.3.3 Optionswerte in Abhangigkeit der Ausstattungsmerkmale der Op-
tionen .... 124
6 Parameterbestimmung 135
6.1 Schatzung der Volatilitat ................. . 136
6.1.1 Das okonometrische Modell- ein GARCH-Ansatz 138
6.1.2 Maximum-Likelihood-Schatzung des GARCH-Modells . 139
6.2 Empirische Ergebnisse der Volatilitatsschatzung . . . . . . . . 139
6.2.1 Datenbasis......................... 140
6.2.2 Schatzergebnisse fUr das erweiterte Vasicek/CIR-Modell . 143
6.2.3 Schatzergebnisse fUr das erweiterte Longstaff/Schwartz-Modell 145
6.3 Bestimmung der konstanten ProzeBparameter . . . . . . . . . . . . . 147
6.3.1 Einfache Methode zur Parameterbestimmung bei Zustandsvariablen
mit stationarer Grenzverteilung .................... 147
6.3.2 Alternative Methode zur Parameterbestimmung ........... 149
6.3.3 Beispiele zur Parameterschatzung bei Zustandsvariablen mit sta-
tionarer Grenzverteilung . . . 150
7 Empirische Uberpriifung des Modells 153
7.1 Aufbau der empirischen Untersuchung 153
7.2 Zinsstrukturkurvenschatzung ..... . 155
7.2.1 Methoden zur Schatzung der Zinsstruktur 156
7.2.2 Schatzung der Zinsstruktur in der Bewertungsperiode 163
7.3 Schatzung der aktuellen Volatilitat und Bestimmung der Modellparameter 166
7.3.1 Zins und Volatilitat im Bewertungszeitraum ... 166
7.3.2 Die Modellparameter im Bewertungszeitraum .. 167
7.4 Theoretische Werte versus Marktpreise von Zinsoptionen 173
7.4.1 Datenbasis ..... . 173
7.4.2 Abweichungsanalyse 175
8 SchluBbemerkungen 187
Literaturverzeichnis 189