Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1740
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerprasidenten Dr. Franz Meyers
vom Landesamt fiir Forschung, Diisseldorf
DK 16:681.14
Dipl.-Math. Christian Fenske
Rhein.-WestJ. Institut fur Instrumentelle Mathematik Bonn (lIM)
Beweisprogramme fur die Pradikatenlogik und
der V ollstandigkeitssatz von Beth
(Nr. 13 der Schriften des 11M . Serie A)
WESTDEUTSCHER VERLAG KOLN UND OPLADEN 1967
Diese Veroffentlichung ist zugleich Nr. 13 der »Schriften des Rheinisch-West
falischen Institutes fUr Instrumentelle Mathematik an der Universitiit Bonn
(Serie A)«.
ISBN 978-3-322-96118-1 ISBN 978-3-322-96252-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96252-2
Veriags-Nr.011740
© 1967 by Westdeutscher Verlag, Koln und Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag·
Inhalt
Einleitung ....................................................... . 7
1. Boolesche Algebren ............................................ . 9
1.1 Definitionen ............................................... . 9
1.2 Erzeugendensysteme ........................................ . 11
1.3 Ideale in Booleschen Algebren ............................... . 12
1.4 Unendliche Vereinigungen und Durchschnitte .................. . 14
2. Aussagenlogik ................................................. . 16
2.1 Definition der Aussagenlogik ................................ . 16
2.2 Der Satz von LINDENBAUM .................................. . 18
2.3 Der V ollstandigkeitssatz ..................................... . 22
2.4 Normalformen 25
3. Praedikatenlogik ............................................... . 27
3.1 Definition der Praedikatenlogik .............................. . 27
3.2 Die Q-Algebra des PI( ...................................... . 30
3.3 Belegungen ................................................ . 31
3.4 Der Bethsche Vollstandigkeitsbeweis .......................... . 33
3.5 Der Satz von BETH fur praenexe Normalform .................. . 38
4. Der Satz von HERB RAND und einige Beweisprogramme ............. . 41
4.1 Der Satz von HERB RAND .................................... . 41
4.2 Programme, die auf dem Satz von HERB RAND beruhen .......... . 44
4.3 Das Verfahren von D. PRAWITZ, H. PRAWITZ und N. VOGHERA ... . 51
5. Unser Beweisprogramm ......................................... . 53
5.1 GrundriG des Verfahrens .................................... . 53
5.2 Begriindung unseres Verfahrens .............................. . 55
5.3 Das COMIT-Beweisprogramm ............................... . 57
Literaturverzeichnis ............................................... . 69
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Einleitung
Die vorliegende Schrift ist eine - teilweise verbesserte und umgearbeitete -
Fassung einer Arbeit, die aus einem Seminar tiber die Anwendungsmoglichkeiten
der Programrniersprache COMIT bei Herrn Professor UNGER hervorging. Herrn
Professor UNGER und Herrn Professor HASENJAEGER, der mich in den Problem
kreis der maschinellen Beweisverfahren eingefuhrt und speziell auf die Moglich
keit hingewiesen hat, den Bethschen Vollstandigkeitsbeweis fur ein solches Ver
fahren nutzbar zu machen, gilt mein besonderer Dank. Herrn Professor HASEN
JAEGER verdanke ich auch den Hinweis auf die (in 3.5 behandelte) Version des
Bethschen Satzes fur praenexe N ormalform.
In dieser Arbeit stellen wir ein neues Beweisprogramm fur die Praedikatenlogik
dar, das »im Prinzip« in der Lage ist, jeden wahren Satz der Praedikatenlogik
auch zu beweisen. Grundlage dieses Programmes ist der Vollstandigkeitsbeweis
von BETH [1], den wir auch fiir zahlreiche Beweise heranziehen werden.
Grundsatzlich solI diese Arbeit ohne Vorkenntnisse aus der Logik verstandlich
sein; im ersten Teil stellen wir daher die Aussagen- und Praedikatenlogik von
Grund auf dar. Urn uns langwierige syntaktische Herleitungen soweit als moglich
zu ersparen, folgen wir hierbei den im wesentlichen von H. RASIOWA und R.
SIKORSKI [16] und von L. HENKIN [11] entwickelten Gedanken, indem wir
moglichst auf der Basis der diesen Logiken zugeordneten Booleschen Algebren
argumentieren. In einem ersten Kapitel sind die im folgenden benotigten Defi
nitionen und Satze - soweit erforderlich mit Beweisen - aus der Theorie der
Booleschen Algebren kurz zusammengestellt. Das Material zu diesem Kapitel
wie auch zu 2. und 3.1-3.3 ist zum tiberwiegenden Teil clem Werk von RASIOWA
SIKORSKI [16] entnommen.
1m zweiten und dritten Kapitel beschreiben wir die Aussagen- und Praedikaten
logik. Diese Darstellung geschieht in jeweils drei Stufen. Zunachst werden aus
einem vorgegebenen Alphabet gewisse Zeichenreihen gebildet und als »Formeln«
deklariert, in einem zweiten Schritt werden durch Einfiihrung eines (syntakti
schen) Beweisbarkeitsbegriffes einige Formeln als »Satze« ausgesondert. In einem
dritten Schritt wird durch die Einfiihrung von Belegungen ein (semantischer)
Wahrheitsbegriff eingefiihrt, und es wird gezeigt, daB genau die beweisbaren
Formeln wahr sind. Fur die Praedikatenlogik geschieht dies mittels des Voll
standigkeitsbeweises von BETH [1; pp. 263-268]. Auf der Grundlage dieses Be
weises stellen wir dann unser Verfahren dar. Der genauen Darstellung dieses
Verfahrens schicken wir jedoch in einem vierten Kapitel eine Beschreibung
einiger bereits vorliegender Beweisprogramme voraus, wobei wir uns auf solche
Verfahren beschranken, die sich nicht heuristischer Methoden bedienen und die
nicht nur auf einen entscheidbaren Teilbereich der Praedikatenlogik - oder vor-
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zuglich auf solche - anwendbar sind. Zuvor jedoch beweisen wir eine Fassung
des Satzes von HERB RAND [12], auf der diese Verfahren beruhen.
Das letzte Kapitel bringt eine ausfUhrliche Darstellung und Begrundung unseres
Verfahrens sowie eine Beschreibung des in der Programmiersprache COMIT [2]
abgefaBten Programms.
Mit Rucksicht auf die Anwendung in dem darzustellenden Programm wird in der
Aussagen- und Praedikatenlogik von Anfang an die sogenannte »polnische
Notation« benutzt. Dies erschien deshalb vertretbar, weil diese Notation in
unserem Programm verwendet wird, so daB weitere Konventionen zur Um
schreibung verschiedener Bezeichnungssysteme sich erubrigen. Zum anderen
wird von syntaktischen Herleitungen so geringer Gebrauch gemacht, daB der
Mangel an »Anschaulichkeit«, den diese Notation im Formelbild zunachst mit
sich bringt, wohl in Kauf genommen werden mochte.
SchlieBlich treffen wir noch einige Konventionen:
In der Metasprache gebrauchen wir die Zeichen
----', /I, V, ~,+--+, 1\, V fur »nicht«, )>und«, »oder«, »wenn ... , so«, »genau
dann, wenn«, »fUr alle«, »es gibt ... , so daB«.
Dabei gebrauchen wir Schreibweisen wie 1\ x,Y E .M und V x,Y EM an Stelle
von 1\ x 1\ Y ((x E M /I Y E M) ~ ... bzw. '/ x V y (x E M /I Y E M /I ....
AuBerdem bedienen wir uns der ublichen Regeln zur Klammerersparung.
Mit N bezeichnen wir die Menge der naturlichen Zahlen. Mit IM I bezeichnen
wir die Machtigkeit einer Menge M. Sind M und N Mengen, so bezeichnen wir
mit NM die Menge aller Abbildungen von Min N. 1st f E NM, K C M, so be
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zeichne K die auf K beschrankte Abbildung.f Mit 0 bezeichnen wir die leere
Menge.
Beim Aufbau der Formeln einer Sprache beschreiben wir bisweilen Mengen,
indem wir ein System von Regeln angeben, das gestattet, aIle Elemente der ge
wunschten Menge zu erzeugen. Dazu legen wir fest, daB die Zeichen , sowie =?-,
C und E nie Zeichen einer Objektsprache sein sollen.
Die Menge Vo der Variablen vI, V2, Va, ... , wo wir Vi durch ein V mit i folgenden
Strichen darstellen, werden wir etwa so beschreiben:
=?- VI E Vo (d. h. VI ist eine Variable)
X E Vo =?- X I E Vo (d. h. ist eine Zeichenfolge eine Variable, so auch die urn
einen Strich verlangerte Zeichenfolge).
Mehrere Praemissen trennen wir durch Kommata, z. B. mit Fo fur die Menge der
Formeln:
x E Fo,y E Fo =?- Kxy E Fo (d. h. sind x undy Formeln, so ist Kxy eine Formel).
Regeln der Form A =?- B, C betrachten wir als Abkurzung fUr die beiden Regeln
A => B und A => C.
Fur x EM=> x E N schreiben wir oft kurz MeN.
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1. Boolesche Algebren
1.1 Definitionen
D 1.1.1 Definition: Sei Meine Menge. M heiGt halbgeordnet genau dann, wenn
in Meine reflexive und transitive Relation < erklart ist. Gilt iiberdies 1\ x, y E M
x <y II y < x --+ x = y, so heiGt M geordnet.
D 1.1.2 Sei Meine durch < geordnete Menge. M heiGt Verband und < eine
Verbandsordnung, wenn zu je zwei Elementen aus M das supremum und das
infimum existiert, d. h.
1) I\x,YEMVZEM(Z<x!\Z<YII l\uEM(u<XIIU<y--+U<Z))
Z bezeichnen wir als inf (x,y) oder x ny.
2) I\x,YEMVZEM(x<ZlIy<Z!\ l\uEM(x<UllY<U--+Z<u))
Z bezeichnen wir als sup (x, y) oder x n y.
Eine unmittelbare Folgerung ist
L 1.1.1 Lemma: Sei M ein Verband. Dann gilt: n und U sind kommutativ
und assoziativ, und fiir aIle tf, v, x,y, Z EM gilt:
xnx=x xUx=x
(xny) u x = x (xuy)nx=x
x<xny xny<x
x<ZlIy<Z --+ xuy<Z Z < x II Z <y --+ Z < x ny
x <.,v ~ x u y =Y x<y ~ xn,Y=y
x <y II U < v --+ x U U <y u v x <y II U < v --+ x n U <y n v
D 1.1.3 Ein Verband M heiGt Verband mit maximale m lind minimalem Element
genau dann, wenn es in M genau ein Element 1 und genau ein Element 0 gibt,
so daB 1\ x E M 0 < x II x < 1.
Aus L 1.1.1 ergibt sich, daB dann fiir aIle x E M
xn1=x xUO=x xnO =0.
D 1.1.4 Ein Verband M heiBt distribtfti~'er Verband genau dann, wenn
/\ x,y, Z EM x n (y u Z) = (x n_y) u (x n z).
9
L 1.1.2 Sei M ein distributiver Verband. Dann gilt
1\ x,y, Z EO M xu (y n Z) = (x U y) n (x u Z)·
Beweis: xU (y n Z) = (x U (x n Z» u (y n Z) = x U ((x n Z) u (y n Z»
=xu~u~n~=~u~n~u~u~n~
=(xuy)n(xUZ)
D 1.1.5 Sei M ein distributiver Verb and mit maximalem und minimalem Ele
ment. Wir sagen Mist eine Boolesche Algebra und schreiben M EO IB genau dann,
wenn gilt: 1\ x EO A£ V c EO M x n c = 0 II x U c = 1.
c heiBt Complement von x.
L 1.1.3 Sei M EO IB, x EO M. Dann gilt: das Complement von x ist eindeutig
bestimmt.
Aus diesem Grunde bezeichnen wir das Complement von x in Zukunft als - x.
In Formeln soIl - starker binden als n und u.
Beweis: Die Eindeutigkeit ergibt sich aus:
i) c ist das groGte y, so daG x n y = O.
ii) c ist das kleinste y, so daB x U y = 1.
Sei also x n c = 0, x U c = 1.
i) Wenn x ny = 0, so y = y n 1 = Y n (x u c) = (y n x) u (y n c)
= 0 U (y n c) = y n c, also y < c.
ii) Wenn x uy = 1, so Y = Y U 0 =y U (x n c) = (y U x) n (y u c)
= 1 n (y u c) = y U c, also c <.y.
Durch elementare Rechnungen erhalt man
L 1.1.4 Sei M EO IB, dann gilt fi.ir x,y EO M
-(xny) = - xu-y, -(xuy) = -xn-y, ---x = x,
x <y <-+ -.Y < - x.
L 1.1.5 Sei M EO IB; zu x,y EO M gibt es ein groBtes Element Z EO M, so daG
x n Z <yo Dieses Element bezeichnen wir als Xv y. Dann ist
xvy = - xuy und xvy = -yv- x.
Beweis: Zunachst ist x n (- x uy) = (x n - x) u (x ny) = 0 u (x ny)
= xny <yo
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Es bleibt zu zeigen, daB - x uy das groBte Element Z mit x n Z <_y ist. Sei
also auch x n Z <Yo Dann ist
x n Z <_y < - x uy, - x n Z < - x < - x uy, also wegen L 1.1.1
(x n z) u (- x n z) < - x uy. Es ist aber (x n z) u (- x n Z)
= (x U - x) U Z = 1 n Z = Z' also Z < - x U,y.
- Y v - x = x vy ergibt sich aus x vy = - x uy und L 1.1.4.
D 1.1.6 Seien B, B' E~. Wir schreiben f: B --+ B' E ~ und nennen f einen
Booleschen Homolllorphismtts gcnau dann, wenn f eine Abbildung von B in B' ist
und
A x,), E IB f(x ny) = f(x) nfey) IIf(x uy) = f(x) u fey) .1If(-x) = - f(x).
D 1.1.7 Als Bo bezeichnen wir die Boolesche Algebra mit den Elementen lID
und ~ und der Ordnung ~ < lID.
DaB Bo eine Boolesche Algebra ist, ist klar.
1.2 Erzeugendensysteme
D 1.2.1 Sei B E~. M C B heil3t Teilalgebra von B genau dann, wenn
/\ x E M - x EM und /\ x,y EM x uy EM.
1st Meine Teilalgebra von B E IB, so gilt
AX,YEM xnYEM, da xny=-xu-y.
D 1.2.2 Sei B E~, M =1= 0, M C B. Die kleinste Teilalgebra B' von B, die M
enthiilt, heiBt die von M erzeuJ!/e Teilalgebra, M ein Erzellgendeltsystetlt fur B'.
T 1.2.1 Satz: Sei B E IB, M =1= 0, Me B, B' die von M erzeugte Teilalgebra.
Dann ist
{um nMj
B' = Xij I Xij EM V - Xij EM}
i~l j~l
und
m ni
B' = {n U Xij I Xi} EM V - Xi} EM}.
i~l j~-l
m nlli
Beweis: Sei B" = {U Xi} I Xi} EM V - Xi} EM}. Klar ist B" C B'.
j~l j~l
Also genugt es, zu zeigen, daB B" eine Teilalgebra von B ist.
Sindy,y' E B", so ist ersichtlichy uf E B'·. 1st
um n~ nm u~ -
X = Xij E B", so - x = xi}
i~l j~l i~l j~l
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und durch Ausdistribuieren ergibt sich wieder eine endliche Vereinigung end
licher Durchschnitte von Elementen, die zu M gehoren oder deren Complement
zu M gehort. - Der Beweis flir die andere DarstelIung verlauft entsprechend.
1.3 Ideale in Booleschen Algebren
D 1.3.1 Sei A ein distributiver Verb and mit maximalem Element 1, !'::,. C A.
Wir sagen !'::,. ist ein Ideal in A und schreiben !'::,. E leA) genau dann, wenn gilt
I1)!'::,.=!= 0 12) X,YE!'::,. ~ XUYE!'::,. 13) X <yllyE!'::,. ~ XE!'::,..
[13) ist aquivalent zu 13'): x E!'::,. (\ YEA ~ x n y E !'::,. .]
Sei Xo E A, (xo): = {x I x E A II x < xo} ist ein Ideal in A und heiGt das von
Xo erzeugte Hauptideal.
1st B C A, so bezeichnen wir mit!'::,. (B) den Durchschnitt alIer Ideale in A, die
B enthalten. !'::,. (B) ist als Durchschnitt von Idealen ein Ideal und heiGt das von B
erzeugte Ideal.
!'::,. E leA) heiGt eigmtliches Ideal genau dann, wenn !'::,. =!= A.
Sei !'::,. E leA). !'::,. ist eigentlich genau dann, wenn 1 rt !'::,..
!'::,. E leA) heiGt maximales Ideal genau dann, wenn !'::,. eigentlich ist und von
keinem eigentlichen Ideal echt umfaGt wird.
L 1.3.1 [16; p. 46] Sei A ein distributiver Verband mit maximalem und mini
malem Element, !'::,. E leA), Xo E A. Dann ist
!'::,. (!'::,. U {xo}) = {x I x E A II Va E!'::,. x < Xo U a}
Beweis: Sei !'::,.' : = {x I x E A (\ Va E!'::,. X < Xo U a}. !'::,.' ist ein Ideal in A:
1) !'::,.' =!= 0, da /\ a E!'::,. Xo < Xo U a.
2) Sei Xl < Xo U aI, X2 < Xo U a2, aI, a2 E!'::,., dann ist
xl U X2 < Xo U al U Xo U a2 = Xo U Xo U al U a2 = Xo U (al U a2) und
al U a2 E !'::,., also Xl U X2 E !'::,.'.
3) Sei Xl E !'::,.', X2 < xl, dann gibt es a E !'::,. mit Xl < Xo U a, wegen X2 < Xl
also X2 < Xo U a, d. h. X2 E !'::,.'.
Also ist !'::,.' ein Ideal, das !'::,. umfaGt und Xo enthalt. Andererseits ist aber !'::,.' in
jedem !'::,. umfassenden Ideal!'::,." enthalten, das Xo enthalt; denn
(xo E!'::,." (\ /\a(a E!'::,. ~ a E !'::,.")) ~ /\a Xo U a E!'::,." und wegen 13):
/\ X E A Va E !'::,. x < Xo U a, also x E !'::,.", da Xo U a E !'::,.". Also ist !'::,.' das
kleinste Ideal dieser Art, d. h. !'::,. (!'::,. U {xo}).
L 1.3.2 Sei A ein distributiver Verb and mit maximalem Element 1. Dann gilt:
] edes eigentliche Ideal !'::,. 0 ist in einem maximalen Ideal enthalten.
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