Table Of ContentVita Mathematica
Band 10
Herausgegeben
von Emil A. Fellmann
BERNHARD RIEMANN
(1826-1866)
Bernhard Riemann
1826-1866
Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik
Detlef Laugwitz
1996 Birkhauser Verlag
Basel· Boston· Berlin
Der Autor
Professor Dr. Detlef Laugwitz
Technische Hochschule, FE Mathematik
Schlossgartenstrasse 7
D-64289 Damlstadt
e-mail: [email protected]
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Laugwitz, Detlef:
Bernhard Riemann: 1826 1866; Wendepunkt in der Auffassung der Mathematik /
Detlef Laugwitz. - Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1996
(Vita mathematica ; Bd. 10)
ISBN -13 97R-3-0348-9854-6 e-ISBN -13: 97R-3-0348-8983-4
001 lOJ007/97R-3-0348-8983-4
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© 1996 Birkhauser Verlag, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1996
Gedruckt auf saurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. TCF
00
Layout Inhalt (TEX): Heinz-Dieter Ecker, Bonn
ISBN -13 978-3-0348-9854-6
987654321
Inhaltsverzeichnis
Hinweise fUr den Leser 9
Vorwort 11
0 Einleitung 13
0.1 BERNHARD RIEMANN in seiner Zeit 13
0.1.1 Zum Verlauf des Lebens und zur Entwicklung
der Personlichkeit 13
0.1.2 Zur politischen und wirtschaftlichen Situation 15
0.1.3 Erziehung und Bildung 17
0.1.4 Zu RIEMANNS Heimat 21
0.1.5 Gottingen und Berlin als Studienorte 29
0.1.6 Professor ordinarius 1859-1866 34
0.2 Die Goldenen Fiinfziger Jahre in Gottingen: von GAUSS
und DIRICHLET zu RIEMANN und DEDEKIND 36
0.2.1 RIEMANN und DEDEKIND: Personliche Umstande 36
0.2.2 Hin zum Wandel in der Mathematik 43
0.2.3 Momentaufnahmen eines englischen Beobachters 47
0.3 Wirkungen in den letzten Jahren: RIEMANN zwischen
Deutschland und Italien 50
0.4 Konkurrierende Auffassungen der Analyis vor RIEMANN 55
0.4.1 RIEMANN in der historischen Entwicklung der Analysis:
Ein Uberblick 55
0.4.2 Algebraische Analysis 57
0.4.3 Die Infinitesimalanalysis 63
0.4.4 Geometrische Uberlegungen: FOURIER 65
0.4.5 Die Grenzwertauffassung: NEWTON 67
0.4.6 Hin zur Epsilontik: CAUCHY und DIRICHLET 68
1 Komplexe Analysis 75
1.1 Die Genese der komplexen Analysis bis zur Zeit RIEMANNS 75
1.1.1 Vorbemerkungen 75
1.1.2 Die komplexen Zahlen 76
1.1.3 Komplexe Funktionen und ihre Ableitungen 79
1.1.4 Integration 84
6 BERNHARD RIEMANN
1.1.5 Potenzreihen 87
1.1.6 Weitere Anwendungen 95
1.1.7 Mehrweltige Funktionen und RIEMANNsehe Flaehen 98
1.1.8 Doppeltperiodisehe Funktionen 102
1.2 Die Dissertation von 1851 107
1.2.1 RIEMANNS Sieht von den Motiven fUr die Arbeit:
Del' Artikel 20 del' Dissertation, Teil 1 107
1.2.2 Del' Inhalt der Dissertation, eine Kurzfassung 108
1.2.3 RIEMANNS Zusammenfassung del' Dissertation und
das Programm: Artikel 20, zweiter Teil und Artikel 22 1I0
1.2.4 Zur Vorgesehichte der Dissertation 114
1.2.5 Die Wirkung del' Dissertation 124
1.3 Die Ausgestaltungen 130
1.3.1 Gewohnliche Differentialgleichungen 130
1.3.2 Die Entstehung del' Topologie aus del' Analysis 136
1.3.3 Das ABELsche Theorem 138
1.3.4 Die algebraischen Kurven 145
1.3.5 Minimalflaehen 147
1.3.6 Studenten bei RIEMANN und ihre Notizen
zur Funktionentheorie 149
1.3.7 Spatere Einschatzungen 152
1.3.8 DEDEKIND und die Algebraisierung del' Funktionentheorie 156
1.4 Die Zetafunktion und die Primzahlverteilung 164
1.4.1 Vorbemerkungen 164
1.4.2 Ein Zugang 165
1.4.3 Die Funktionalgleichung 171
1.4.4 RIEMANNS explizite Formel fUr die Primzahlfunktion 175
1.4.5 Die Nullstellen und die RIEMANNsche Vermutung 177
1.4.6 Der Nachlass 179
1.4.7 Die Einschatzungen 180
2 Reelle Analysis 183
2.1 Grundlagen del' reellen Analysis 183
2.1.1 Der Integralbegriff 183
2.1.2 Die «Strenge» in der Analysis 187
2.1.3 Der neue Status del' Einzelfalle: Beispiele
und Gegenbeispiele 189
2.2 Trigonometrische Reihen vor RIEMANN 192
2.2.1 Vorbemerkungen 192
2.2.2 Von EULER bis FOURIER 194
2.2.3 Zur Entwicklung der Funktionsauffassungen 198
2.2A Von FOURIER zu DIRICHLET 200
Inhaltsverzeichnis 7
2.3 RrEMANNs Ergebnisse 206
2.3.1 Anwendung des Integralbegriffs auf
die FOURIER-Koeffizienten 206
2.3.2 RIEMANNS assoziierte Funktion F (x) 207
2.4 Trigonometrische Reihen nach RIEMANN 210
2.4.1 Von den trigonometrischen Reihen zur Mengenlehre 210
2.4.2 Zur weiteren Entwicklung der trigonometrischen Reihen:
tiber die Arithmetisierung der Funktionen hin zu ihrer
Verselbstandigung in der Funktionalanalysis 212
2.5 Ein Kapitel fUr sich: GAUSS, RIEMANN und die
Gottinger Atmosphare 214
3 Geometrie, Physik, Philosophie 219
3.1 Geometrie 223
3.1.1 Von EUKLID zu DESCARTES und zur «nichteuklidischen»
Geometrie 223
3.1.2 Die Flachentheorie von GAUSS (1827) 225
3.1.3 Die n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit 229
3.1.4 Die Massbestimmungen 232
3.1.5 Die Krtimmung 234
3.1.6 Wirkungen in Geometrie und Physik in den ersten
50 lahren nach RIEMANN 236
3.1.7 Die algorithmischen Entwicklungen 239
3.1.8 Der Einfluss von FELIX KLEIN 244
3.1.9 DEDEKIND: Analytische Untersuchungen zu BERNHARD
RIEMANNS Abhandlung tiber die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen 250
3.2 Physik 251
3.2.1 Das Interesse an der Physik 251
3.2.2 Physik als Feldtheorie 253
3.2.3 Mathematische Methoden ftir die Physik 259
3.2.4 RIEMANNS Elektrodynamik aus der Sicht der Physiker 263
3.2.5 Die RIEMANNSche Geometrie in der Physik des
20. lahrhunderts: EINSTEIN und WEYL 266
3.3 Zur Philosophie 271
3.3.1 Vorbemerkungen 271
3.3.2 Zur geistigen Atmosphare 1853/54: Der Materialismusstreit 273
3.3.3 Neue mathematische Prinzipien der Naturphilosophie 275
3.3.4 Die Rolle der Philosophie HERBARTS 281
4 Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik 285
4.1 Die Suche der Historiker nach Revolutionen in der
Mathematik 285
8 BERNHARD RIEMANN
4.2 Der Wendepunkt in der Auffassung des Unendlichen
in der Mathematik 288
4.3 Wendepunkt der Methode: Denken statt Rechnen 293
4.4 Der Wendepunkt in der Ontologie: Mathematik als
Denken in Begriffen 296
4.4.1 Allgemeine Begriffe und ihre Bestimmungsweisen 296
4.4.2 Der Prim at des Kontinuums gegentiber dem Diskretum
in RIEMANNS Mathematik 298
4.4.3 RIEMANNS Mannigfaltigkeitsbegliff in der philosophischen
Tradition 299
4.4.4 Denken in mathematischen Begriffen vor RIEMANN 301
4.5 Ontologie und Methodologie der Mathematik in der Zeit
nach RIEMANN 303
4.5.1 Der Primat der Zahl bei DEDEKIND 303
4.5.2 Von der Arithmetisierung zur Axiomatisierung:
HILBERT 1897/1899 307
4.5.3 Die Rolle GEORG CANTORS 311
4.5.4 Die Berliner Tradition 314
4.6 Schlussbemerkungen 317
Literaturverzeichnis 329
Namenverzeichnis 335
Abbildungsverzeichnis 345
Hinweise fur den Leser
Viele der wichtigsten Quellen sind in dem von R. NARASIMHAN 1990 her
ausgegebenen Band zusammengestellt, der hier mit N. und Seitenzahl zi
tiert wird. (Man vergleiche das Literaturverzeichnis.) Ich empfehle dem
Leser, diesen Band bei der Lekttire nach Moglichkeit greifbar zu haben. Er
enthalt auch einen Wiederabdruck der 1892 erschienenen 2. Auflage der
RIEMANNSchen Werke unter Erhalt der Originalpaginierung; diese Auflage
wird mit W. und Seitenzahl zitiert. Auf die 1. Auflage der Werke von 1876
habe ich nicht verwiesen; sie ist nur schwer zu finden.
1m Ubrigen habe ich mich im Literaturverzeichnis auf solche Schriften
beschrankt, welche im Text mehrfach angezogen werden. Nur gelegent
lich verwendete Quellen und weiterfUhrende Literatur zu Teilgebieten sind
im Haupttext zitiert. Umfangreiche Bibliographien von W. PURKERT und
E. NEUENSCHWANDER finden sich in N. 869-910. Von einer weiteren Bi
bliographie, welche E. NEUENSCHWANDER vorbereitet, habe ich dankens
werterweise gelegentlich profitieren dUrfen.
Bei Zitaten ist in der Regel die Olthographie der Originaltexte beibe
halten worden.
1m Text wird das Journal fUr die reine und angewandte Mathematik
zumeist wie Ublich kurz mit Crelle angegeben.
Vorwort
Gerade bei Riemann, der an gedallklicher Durchdringullg mathematischer Pro
bleme Ilicht Seinesgleichen hat, lohm es sicA der zugrullde liegellden einheit
lichen Konzeptioll nach;:uspiiren. H. WEYL (1925)
Dic Entartung der Mathematik bcgalln mit dell /deen von Riemann, Dedekind
und Calltor, durch die der solide Geist von Euler, Lagrangc und Gauss mehr
und mehr zuriickgedrangt wurde. C. L. SIEGEL (1959)
One of the most prr~foul1d and imaginative mathematicians of all timc, he had
a strong inclination to philosophy, indeed, was a great philosopher. H. FREU
DENTHAL (1975)
No OIlC person is capable of a full analysis of Riemann's work, its history, its
del'elopment and its influence on current mathematics. R. NARASIMHAN (1990)
[QueJlen: WEYL 1988, 1; Brief von SIEGEL an A. WElL, freundliche
Mitteilung von R. REMMERT (auch: DMV Mitteilungen 1993-4, 17);
FREUDENTHAL 1975,448; N. 2.]
Die Idee zu einem Buch tiber RIEMANN fUr die Reihe Vita mathematica ging
von E. FELLMANN vor genau zehn lahren aus, und zwar im Anschluss an
ein LEIBNlz-Kolloquium in Noordwijkerhout. Ich hatte an einem Abend mit
Hans Freudenthal tiber Probleme der Mathematikhistoriographie diskutiert,
und er hatte mir mit grosser Begeisterung von der Begliickung erzahlt, die
er beim Abfassen von Biographien empfunden habe, besonders bei denjeni
gen, die er tiber CAUCHY und tiber RIEMANN ftir das Dictionary of Scientific
Biography geschrieben hatte. Die Atmosphare des Treffens, von Philoso
phie und Mathematik und ihrer Geschichte gleichermassen gepragt, liess es
nicht ganz aussichtslos erscheinen, eine Annaherung an RIEMANNS einheit
liche Konzeptionen zu versuchen. Wohl bei keinem anderen Forscher nach
LEIBNIZ findet man die Tendenz so ausgepragt, Mathematik und Physik aus
philosophischer Begrifflichkeit neu zu durchdringen LUld weiterzufUhren.
Mehr als ein Essay, in dem Vorhandenes zusammengestellt und fUr weite
re Arbeit der Boden bereitet wird, konnte von vornherein nicht angestrebt
werden. Enllutigende Hilfe kam aus den Darstellungen von WEYL und
FREUDENTHAL und neueren Forschungen besonders von U. BOTTAZZINI,
1. GRAY, E. SCHOLZ und dann aus R. NARASIMHANS Vorwort zu N.
Aus dem gesteckten Ziel und auch aus den Grenzen der eigenen Mog
lichkeiten ergaben sich manche Beschrankungen. Details der Mathematik
RIEMANNS habe ich auslassen konnen, wenn sie mir fUr das Verstand
nis der Gesamtkonzeption entbehrlich schienen. So wird der Mathemati
ker hier manches vermissen, was ihm gerade fUr seine eigene Arbeit aus
RIEMANNS Werk bedeutend sein mag. Auch zur Biographie und Zeitge
schichte war eine Orientierung am Ziel erforderlich. Die Auswahl fiel um
so leichter, als R. DEDEKINDS RIEMANN-Biographie von 1876 immer noch
