Bericht über eine Theorie der Strömung um Rotationskörper ohne Anstellung bei Machzahl Eins

37 Pages·1955·1.973 MB·German

by  Dr. rer. nat. F. Keune (auth.)

FORSCH U NGSBERICHTE
DES WIRTSCHAFTS- UND VERKEHRSMINISTERIUMS
NORDRH EIN -WESTFALE N
Herausgegeben von Staatssekretär Prof. Leo Brandt
Nr.218
Dr. rer. nato F. Keune
Deutsche Versuchsanstalt für Luftfahrt e. V.
Bericht über eine Theorie der Strömung um Rotationskörper
ohne Anstellung bei Machzahl Eins
Als Manuskript gedruckt
WESTDEUTSCHER VERLAG/KOLN UND OPlADEN
1955
ISBN 978-3-663-03214-4 ISBN 978-3-663-04403-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-04403-1
Dieser Forschungsbericht erscheint gleichzeitig als Bericht Nr. 3 der
Deutschen Versuchsanstalt für Luftfahrt e.V. im Westdeutschen Verlag,
Köln und Opladen
Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen
G 1 i e der u n g
. . . . . . . . .
1- Einleitung · · · · · · · · · s. 5
2. Ergebnis der linearen Theorie bei Unter- und
. . . . .
Überschallströmung · · · · · · · s. 6
3· Die einfachste Theorie für Schallnähe bzw.
. . . .
bei Schall · · · · · · · · S. 11
4· Ausblick auf weitere theoretische Untersuchungen · S. 21
5· Zusammenfassung · · · · · · S. 22
6. Literaturverzeichnis · s. 24
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1. Einleitung
Unterschallströmungen unterhalb der kritischen Machzahl sind in guter
Näherung durch die Prandtl'sche Regel gegeben und können bereits als All
gemeingut betrachtet werden. Auch für Überschallströmungen von einer ge
wissen Machzahl oberhalb derjenigen der am Körper anliegenden Kopfwelle
gibt es eine Reihe bekannter Methoden zur angenäherten und auch exakten
Berechnung der strömung und des Widerstandes. Auf diese bei den Strömungs
arten soll heute nur insoweit eingegangen werden, als es zu Vergleichen
und zu einem Überblick über das Gesamtgebiet erforderlich ist.
strömungen in Schallnähe, also etwa zwischen den beiden kritischen Mach
zahlen, sind bisher theoretisch nicht gut zugänglich gewesen. Dabei sei
als obere kritische Machzahl diejenige der Kopfwellen-Ablösung vom Körper
angesprochen. Sie ist kürzlich in ausreichender Genauigkeit für den Kreis
kegel von K. OSWATITSCH - L. SJÖDIN (12) bestimmt worden. Für zweidimen
sionale Strömungen hat T. GULLSTRAND (3) mit OSWATITSCH's Integralglei
chungsmethode wertvolle Berechnungen durchgeführt, die später von J.R.
SPREITER und A. ALKSNE (4) aufgenommen und sehr eingehend behandelt wur
den. Entsprechende rotationssymmetrische Verfahren wurden von F. KEUNE -
K. OSWATITSCH (13) begonnen, sind aber aus Zeitmangel nur bis zur kriti
schen Machzahl der Berechnung zugänglich gemacht. Die Geschwindigkeits
verteilung in einigem Abstand vom Körper ist nämlich eine wichtige Vor
aussetzung für eine genügend genaue Berechnung, die in (13) noch nicht
befriedigend angesetzt werden konnte.
Für Flügel kleiner Streckung in Unter- und Überschallströmung gibt es
bestimmte physikalisch und mathematisch einfache Näherungsmethoden von
F. KEUNE (5) und KEUNE - OSWATITSCH (6), welche für Rotationskörper for
melmäßig in diejenige von OSWATITSCH (9) übergehen. Gleiche mathematische
Ergebnisse für Flügel kleiner Streckung erhielten später unabhängig und
nach anderen Methoden ADAMS-SEARS (7) und HEASLET-LOMAX (S), aber die
einfachen physikalischen Vorgänge sind dort nur mathematisch gegeben.
Aufbauend auf bestimmten Vorstellungen über die Zusammensetzung der Strö
mung um Flügel kleiner Streckung (5,6) und im Spezialfall um Rotations
körper haben wir uns zur Berechnung der Strömung und des Widerstandes bei
Machzahl Eins vorgetastet. Wir liegen bei dieser Machzahl mitten in dem
so interessanten, aber der Berechnung bisher kaum zugänglichen Gebiet der
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Umwandlung vom Unterschall- zum Überschall-Charakter der strömung. Das
von OSWATITSCH und KEUNE gemeinsam entwickelte Verfahren (15), das eine
erste, noch in mancher Hinsicht ausbaufähige Näherungstheorie gibt, wurde
im Januar 1955 auf der Hochgeschwindigkeitstagung an der Brooklyn-Univer
sity / New York von OSWATITSCH vorgetragen. Es beruht im wesentlichen auf
Gedankengängen, welche H. BEHRBOHM (10, 11) auf Vorschlag von OSWATITSCH
für den Schall durchgang bei 2- und 3-dimensionalen Düsen mit Erfolg an
wendete.
2. Ergebnisse der linearen Theorie bei Unter- und Überschallströmung
Die Näherungstheorien bei M.a< 1, Mco> 1 und Moo == 1 beschränken sich
hier auf schlanke, vorn spitze Rotationskörper. Die erste Voraussetzung
darf mit zusätzlichen Berechnungen gestrichen werden, die zweite ist mit
der vorliegenden Theorie nicht zu umgehen. Dann sind zwei Folgerungen für
die mathematischen Ansätze gegeben, welche zu wesentlichen Erleichterun
gen der Berechnungen führen:
a) Die Randbedingung am Rotationskörper wird auf der Achse erfüllt
(I)
VY"'~(X)
mit der Querschnittfläche Q(x) des Körpers an der Stelle x.
b) Die gasdynamische Gleichung beschränkt sich auf die bekannten zwei
Glieder rotationssymmetrischer Strömung in Zylinder-Koordinaten:
(II) (1_M2) ~+_1 O(Vy) = 0
vx y 0 y
mit den Geschwindigkeitskomponenten U und V und der Gleichung der
Drehungsfreiheit
CU OV
(III)
Oy= OX '
also einer durch eine Potentialfunktion Strömung.
darstellbar~n
In der sogenannten "linearen" Theorie ist für Unterschall- und Über
schallströmungen jenseits der kritischen Machzahlen M = Met:) zu setzen,
bei Schallanströmung M= == 1 werden wir zur nichtlinearen Theorie über
gehen und stattdessen eine andere VereinIachung einführen müssen.
In der linearen Theorie (Formelblatt 1) haben die beiden Glieder der gas
dynamischen Gleichung verschiedene Größenordnung, aus der sich ohne wei
teres eine Auf teilung der Strömung, hier um Rotationskörper, (aber analog
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F 0 r m e I b I a t t 1
Lineare Theorie für Met):;; 1
Größenordnungen in Körpernähe:
; q, U 2
x = u '"V'T ; T« 1
<110
"Querschni tt-Strömung": aV + J-.... = UJ y_y_ + -.!. vJ y- = 0
u~-y y y
Strömung einer Einzelquelle auf der Achse in Ebenen x = konst.:
Q (x) Qxx(x) _
y;
Uj(x,y) = __x _ _ In (x,y) = ---ln y
Uj
x
2']'( 21(
q,
In Körpernähe: (x,y) = v.J(x,y) + Q (x) ; Q (x) - "Raumeinfluß"
"Lineare" Überschall-Strömung: (3 = yi;-1 ; y = y f3
x-y x-y
5)
1 ) <lx(~) d~ -2~ Qxx(
cp (x,y) = -- V , f ~x(x,y) = V d~
2)( ) 2'
o (x- ~ ) 2 _y2 (x- ~ )2_y
0
x-y x-y
)
- ~x(x) d~ :n ~ Qxx(x) - Qxx( ~ )
cj)x(x,y) = 2' + S d ~ =
2']( V(x- ~ )2_y v(x- )2_y2 '
0 0
.'. ...- -......v. ,.....--~'
x- ~
V
/)j
~ ~)2
- S+
= - In (x - -
~ =0
y« 1 ;
~x(x) ~(x)
~ (x,y)- ---ln y + In (3 -
x
2'Jt 2](
Cl (x)
x
Für diese und die lineare Unterschall-Strömung vergleiche auch (5 und 6).
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auch um Körper kleiner Streckung) ergibt. Eine Quellströmung in Querschnit
ten des Körpers, "Querschnitt-Strömung", erfüllt die Randbedingungen am
Körper und übernimmt die logarithmische Singularität auf der Achse1). Sie
bestimmt die Strömung auf der Körperoberfläche bis auf eine noch unbekann
te Funktion Q (x) (siehe Formelblatt 1), die zwischen Körper-Oberfläche
und -Achse praktisch konstant ist. In Punkten in größerem Abstand vom Kör
per gelten natürlich gewisse Übergänge in eine Dipolströmung, die zwar
auch sehr interessant sind, hier aber zu weit ab führen (siehe KEUNE
OSWATITSCH (6)). Q (x) bzw. Q (x) als Geschwindigkeit ist allein von
x
der Querschnittänderung vor dem betrachteten Querschnitt bei M~ = 12
(und bei M~= 0 auch von dieser Änderung hinter dem Körper) abhängig. Für
beide Fälle ergeben sich daher verschiedene "Raumeinflüsse", während die
"Q,uerschnittströmunglt die gleiche ist. Nach der Prandtl-Glauert-Regel
tritt ein Machzahleinfluß hinzu, der deshalb sinnvoll zum Raumeinfluß
gezählt wird, obgleich er mathematisch aus dem Logarithmus der ebenen
Q,uellströmung abgeleitet werden kann. Für Ellipsoide wurde dieses loga
rithmische Gesetz der Machzahl-Abhängigkeit zuerst von C. SCHMIEDEN und
H. KAWALKI genannt, für Rotationskörper von OSWATITSCH und für Flügel
kleiner Streckung von KEUNE.
Nicht besonders sorgfältig ist diese lineare Theorie (wegen der Erfüllung
der Randbedingung auf der Achse) in der Umgebung der Staupunkte. Immer
hin aber werden wichtige Eigenschaften auch in den Staupunk
~ualitative
ten erfüllt. Die Q,uerschnittströmung hat dort wegen ~x(O) ~ 0 eine nega
tive und der Raumeinfluß eine positive logarithmische Unendlichkeit (vgl.
Formelblatt 1). Für M~> 1 führt die Summe bei der jedoch zu einer endli
chen Geschwindigkei t in den Staupunkten. Für M < 1 hat der Raumeinfluß
cO
auf dem Körper in Staupunktnähe und ebenso hinter dem Körper genau den
halben Wert desj enigen bei :Mon> 1, so daß mit der Q,uerschni ttströmung zu
sammen die Gesamtgeschwindigkeitfür MClO< 1 gegen - 00 strebt.
Für Folgerungen bei Schallgeschwindigkeit sind nun folgende 6 Ergebnisse
der linearen Theorie wichtig:
a) Im Gegensatz zur zweidimensionalen Strömung ist die Unterschallströmung
1. Für angestellte Flügel ohne Dicke ist eine entsprechende Q,uerschnitt
strömung nach R.T. JONES (1) bekannt, die für angestellte Rotations
körper in die schon klassisch gewordene Theorie von M.M. MUNK übergeht.
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vor und hinter dem Körper unabhängig von der Machzahl, solange Glieder
höherer Ordnung im Raum unberücksichtigt bleiben.
b) bei M 1 ist die Geschwindigkeit vor dem Körper natürlich Null, hin
co ::>
ter dem Körper hat sie den doppelten Wert der Unterschallströmung. Die
Störgeschwindigkeit in Achsenrichtung zeigt Abbildung 1, in der die voll
ständige Potentialfunktion ausgezogen, die Näherung für die Körperober
fläche (5) (~ +Q) gestrichelt eingezeichnet ist. Diese für die Voll-
x x
spindel (Dicke L = 0,146) gerechneten Werte zeigen bis weit in den Raum
hinein eine ausgezeichnete Übereinstimmung.
c) Im überkritischen Unterschall bildet sich um das Geschwindigkeitsmaxi
mum ein Überschallgebiet aus, das die Form eines auf dem Körper aufliegen
den Kissens hat. Im Überschall tritt ein im Staupunkt beginnendes Gebiet
A b b i 1 dun g 1
Die u-Störung in einer Längsschnitt-Ebene der Spindel bei Un
ter- und bei Überschallströmung (Dickenverhältnis der Spindel
~= 0,146). Ausgezogen ist die Potentialfunktion mit der
Prandtl-Regel, gestrichelt die lineare Theorie nach F.KEUNE (5)
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mit Unterschallströmung auf, das sich mit abnehmender Machzahl über den
Körper und in den Raum hinein ausdehnt (Abb. 2). Ehe es sich mit abneh
mender Machzahl an die Kopfwelle anschmiegen kann, löst sich diese vom
Körper ab. Abbildung 2 zeigt ebenfalls für die Spindel (gerechnet mit der
vollständigen Potentialfunktion) Schallinie und u-Störung Null bei ver
schiedenen Machzahlen. Die Ergebnisse unserer Näherungstheorie bei Schall
seien vorweggenommen und ebenfalls eingezeichnet. Auf die geringen Abwei
2
chungen für den freien Parameter a sei schon hier besonders hingewiesen.
Für Mco== 0,9 und Mco = 1,2 gibt die lineare Theorie schon sehr genaue Re
sul ta te, dichter an Eins liegende Md:) können natürlich nur als Tastwerte
(ungefähre Ergebnisse) angesehen werden.
"00.
1 , lt.'\ 1 1
l'€ 0
1,4 ..or - • 1 ,
I • 8 I lu 01
8 =-- u _c'lf 1 "00· 0,95
1,2
1 ,2
1,0 1,0
0,8 0,8
0,6
0,6
0, 0,4
0,2
- X
- Jt
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ° 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
A b b i I d u n g 2
Schall-Linien und u-Störung Null für die gleiche Spindel
bei verschiedenen Machzahlen (lineare Theorie) und bei Schall
d) Die für Mco< 1 und Mco:> 1 unverändert gültige Querschnittströmung ist
unbedingt auch bei 1 als Anteil der Strömung auf dem Körper anzuse
M~=
hen, da zu dieser Annahme nach der gasdynamischen Gleichung jede Voraus
setzung besteht.
e) Das Problem für die Berechnung der Strömung bei Schallanströmung kann
daher auch aufgefaßt werden als die Suche nach einem auf der Achse stets
Sei te 10
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endlichen Raumeinfluß bei MIX) = 1, denn nur dieser ändert sich für Mco = 1,
Mco> 1 und MIX) < 1 mit der Machzahl. Nur er war je nach dem Strömungscha
rakter auf dem Körper charakteristisch verschieden aus der elliptischen
(Mco <: 1) oder hyperbolischen (Mco> 1) gasdynamischen Gleichung abzuleiten.
f) Zuletzt sei darauf hingewiesen, daß die u-Störung (in Achsenrichtung)
am Körper vom staupunkt aus bei Schall- und Überschall-Anströmung bis
zum Dickenmaximum zunehmen muß. Da schon ein Halbkörper bei Schallanbla
sung den zunächst für uns allein wichtigen Übergang von Unter- zu Über
schallgeschwindigkeiten aufweist, soll nur ein Halbkörper bei Schall un-
tersucht werden. Für ihn gilt in beiden Strömungsbereichen M< 1 und M > 1 :
aU
(IV)
Tx>O,
wenn vom Zentrum des Unterschallbereiches vor dem Staupunkt und oberhalb
des Staupunktes abgesehen wird.
3. Die einfachste Theorie für Schallnähe bzw. bei Schall
Die gasdynamische Gleichung für Schallnähe (Formelblatt 2) ist über Nähe
rungsentwicklungen für die örtliche Machzahl und die genäherten Zusammen-
* Wco
hänge zwischen Ma:> und Md::) * (c* ist die kri tische Geschwindigkeit)
cd::)
gewonnen, und es wurden reduzierte Werte u,v für die Störgeschwindigkei-
y
ten U,V und den Abstand vom Körper eingeführt. Der reduzierte Abstand
I
y = y -Y(K + 1) 1tL'i geht mit 11-M~ = (K + 1) 1r't'2 in die bekannte
Transformation nach der Prandtl'schen Regel über ( K ist das bekannte
Verhältnis der spezifischen Wärmen, l das Dickenverhältnis).
Für die mathematische Behandlung dieser Differentialgleichung haben wir
uns nun eines Kunstgriffes bedient, der direkt aus den geschilderten strö
mungseigenschaften bei Mco< 1 und Md::) > 1 interpoliert wurde. Das Glied
(-u ~~) ist bei der mathematischen Behandlung störend. Der Faktor (-u)
2
selbst ist eine aus 1_M hervorgegangene für Schall charakteristische Grö
ße, welche wir unangetastet ließen. Für das (für Halbkörper stets positive)
ou
O"i" ' das auch für Mo::> <: 1 und McO> 1 auf tri tt, könnte ein Polynom-Ansatz
gemacht werden mit der auf der Achse unbekannten aber endlichen Ableitung
des Raumeinflusses. Anstelle dieses Ansatzes haben wir uns als Tastver
such auf einen konstanten, noch unbekannten Wert
ou
(V) 1
Ox ~
a
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