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ISBN 978-3-7643-0628-1 ISBN 978-3-0348-5951-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5951-6
© Springer Basel AG 1972
Urspriinglich erschienen bei Birkhauser Verlag Basel, 1972.
Berechnung von PlaHen und Rippenplatten
nach der Methode der endlichen Elemente
von
Dr. sc. techno Giorgio F. Alberti
Institut fUr Baustatik
Eidgenossische Technische Hochschule ZUrich
Oktober 1971
-5-
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
1. Ein1eitung 8
2. Kinematische Methode der end1ichen E1emente
fur zweidimensiona1e Tragwerke 11
2.1 Loka1e Steifigkeitsmatrix und Lastvektor
eines E1ementes 13
2.2 Verwendete E1emente 20
2.3 G1oba1e Steifigkeitsmatrix und globa1e
Be1astungsmatrix 40
2.4 Lasung des G1eichungssystems und Berechnung
der Schnittkrafte 44
2.5 Verschiedene kompatib1e P1attene1emente 45
3. Genere11e Uebersicht des Programmes 52
4. Begrundung der Eingabe 56
4.1 E1ementorientierte Eingabe 56
4.2 Bandfarmige globa1e Steifigkeitsmatrix 57
4.3 Eingabeprogramm 58
5. G1oba1e Steifigkeitsmatrix 63
6. Lastfa11e 66
7. Randbedingungen 69
8. Lasung des G1eichungssystems 72
8.1 Gauss'sches E1iminationsverfahren 72
8.2 Cho1esky-Verfahren 74
9. Numerische Beispie1e 77
9.1 Platte 77
9.2 Rippenp1atte 79
9.3 Schiefe P1attenbrucke 81
-6-
Seite
Zusammenfassung 88
Summary 90
Resume 92
Anhang I Eingabebeschreibung des Programmes 134
Anhang II Knotennumerierung und Vorzeichenkonvention ISS
Nomenklatur 156
Literatur 159
VORWORT
Die Methode der finiten Elemente hat sich heute bei der
numerischen Berechnung von Problemen der Elastizitats- und
der Plastizitatstheorie mit digitalen Rechenautomaten all
gemein durchgesetzt. Ihre Anwendbarkeit auf praktische
Ingenieurprobleme hangt in erster Linie von den zur Verfli
gung stehenden Computerprogrammen abo Das in der vorliegenden
Arbeit entwickelte Programm "FEAPS" erlaubt die Berechnung
von allgemein begrenzten und allgemein gestlitzten elastischen
Platten mit und ohne Rippen. Das Institut flir Baustatik
hofft, damit einen nlitzlichen Beitrag zur Berechnung solcher
Konstruktionen geleistet zu haben.
Die Arbeit wurde von Herrn G. Alberti als Doktordissertation
(Referent: Prof. Dr. B. Thlirlimann, Korreferent: Dr. E.
Anderheggen) verfasst. Die theoretischen Grundlagen des
Verfahrens basieren zum Teil auf Arbeiten und Veroffent
lichungen von Herrn Dr. E. Anderheggen, der auch diese Arbeit
wissenschaftlich leitete.
Eidgenossische Technische Prof. Dr. Bruno Thlirlimann
Hochschule - Zlirich
Oktober 1971
-8-
1. EINLEITUNG
Die Berechnung von Verformungen und Schnittkraften von dlinnen
Platten mit analytischen Methoden ist nur in Spezialfallen
moglich. Flir allgemeine Plattensysteme werden Naherungsmetho
den verwendet, die meistens auf einer Diskretisation aufgebaut
sind. Die Methode der endlichen Elemente wurde flir die Berech
nung von beliebigen zweidimensionalen, dlinnen, linear-elasti
schen Platten und Rippenplatten verwendet. Diese wurde Ende
der flinfziger Jahre mit den Pionierarbeiten von Argyris [1,30J,
Clough [2,28J, Melosh [29J und Zienkiewicz [3] entwickelt.
Sie stlitzt sich auf die Unterteilung des Kontinuums in Teile
einfacher Geometrie. Dies erlaubt die stlickweise Bildung von
anpassungsfahigen Ansatzfunktionen flir die unbekannten Ver
formungen im Innern des Tragwerkes. Die Ansatze dienen zur
Approximation der inneren Formanderungsenergie der einzelnen
Elemente als quadratische Funktion der angenommenen Verfor
mungsparameter. Das elastische Potential (Formanderungsenergie)
der einzelnen Elemente wird zur Bestimmung von verallgemeiner
ten Spannungsdehnungsbeziehungen (Steifigkeitsmatrizen) im
lokalen elementbezogenen Koordinatensystem verwendet. Das
Potential der ausseren Krafte kann auch durch Ansatzfunktionen
als lineare Funktion der diskreten Verformungsparameter be
rechnet werden. Die totale potentielle Energie des Tragwerkes
wird als Addition der, im globalen Koordinatensystem definier
ten, Formanderungsenergien der Elemente und der, im selben
Koordinatensystem abgeleiteten, potentiellen Energie der
ausseren Lasten bestimmt.
Die potentielle Energie eines im Gleichgewicht stehenden
elastischen Tragwerkes wird flir den wirklichen Verformungs
zustand minimal. Die Anwendung des Minimumprinzips flihrt zu
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einem linearen Gleichungssystem flir die unbekannten Verfor
mungsparameter. Das entstandene Gleichungssystem kann mit
bekannten Algorithmen (z.B. Gauss'sches Eliminationsverfahren
oder Cholesky-Verfahren) gelost werden. Die Spannungen werden
dann aus den Dehnungen bzw. aus den Verschiebungen bestimmt.
Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Programmes flir
die Berechnung von beliebig begrenzten und gelagerten Platten
und Rippenplatten nach der Methode der endlichen Elemente.
Das Programm hat eine leicht verstandliche Eingabe und strebt
minimale Rechenzeiten an. 1m Gegensatz zu den bis jetzt be
kannten Programmsystemen wurde eine elementorientierte Eingabe
gewahlt. Die Elementanordnung basiert auf sich wiederholenden
Elementtypen fester Geometrie, die kolonnenweise angegeben
werden. Die Randbedingungen und die Belastungsgrossen werden
ebenfalls elementorientiert spezifiziert. Die Knotennumerierung
bei den Elementen und Verformungsparametern ist so gewahlt,
dass schmale, bandformige globale Steifigkeitsmatrizen ent
stehen. Diese Anordnung minimalisiert die Rechenzeit zur
Auflosung des Gleichungssystems.
Flir die vorliegende Arbeit werden die folgenden Elemente
verwendet:
a) Dreieckige und viereckige Plattenelemente mit
18 bzw. 24 Verschiebungsparametern, basierend auf
einem Polynom s. Grades als Verschiebungsansatz.
b) Dreieckige und viereckige Scheibenelemente mit
18 bzw. 24 Verschiebungsparametern, gestlitzt auf
einem Polynom 3. Grades als Verschiebungsansatze.
c) Exzentrische Balken CRippen) mit polynomischen
Verschiebungsansatzen S. Grades flir die Verschiebung
senkrecht zur Plattenebene und 3. Grades flir die
Verschiebung in Langsrichtung.
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1m nachsten Kapitel wird eine Uebersicht tiber die mathe
matischen Grundlagen der Methode der endlichen Elemente
gegeben, und es werden gleichzeitig die verwendeten Elemente
beschrieben. 1m folgenden dritten Kapitel wird das Programm
FEAPS in seinem Aufbau und in seiner moglichen Verwendung
betrachtet. Nach der Begrtindung der getroffenen Wahl einer
elementorientierten Eingabe und einer speziellen Element
unterteilung der zu berechnenden Tragwerke (Kap. 4), wird
die Aufstellung des linearen Gleichungssystems (Kap. 5, 6
und 7) beschrieben. 1m achten Kapitel wird die Losung des
Gleichungssystems besprochen. Das neunte Kapitel stellt
die untersuchten Platten und Rippenplatten zusammen.
-11-
2. KINEMATISCHE METHODE DER ENDLICHEN ELEMENTE
FUER ZWEIDIMENSIONALE FLAECHENTRAGWERKE
Die Theorie der dUnnen Platten mit kleiner Durchbiegung aus
linear-elastischem Material (Theorie 1. Ordnung) stellt die
Grundlage fUr die folgenden AusfUhrungen dar.
Die Methode der endlichen Elemente stUtzt sich auf die Unter
teilung des Kontinuums in Elemente einfacher Geometrie (z.B.
Dreiecke oder Vierecke). FUr jedes Element wird eine Anzahl
Verformungsparameter fUr eine bestimmte Knotenanordnung ge
wahl t. Die Verformungsparameter st.e11en die, den Verschie
bungsansatzen C:Pi ()I,y) entsprechenden Amplituden im Innern
des Elementes dar. Der Verschiebungsansatz beschreibt den
Verformungszustand des Elementes in Funktion der Knoten
verformungsparameter. Er stellt als solcher eine Diskreti
sation des Verschiebungszustandes dar. Die fUr die Ver
schiebungsansatze verwendeten Funktionen sind meistens
Polynome in den kartesischen Koordinaten x und yoder in
"natUrlichen" dimensionslosen Dreieck- oder Viereckkoordi
naten. Die letzteren basieren auf Abstanden von den Seiten.
Felippa [20J, Zienkiewicz [3J und Argyris [lSJ haben "natUr-
1 iche" dimens ions lose Koordina ten sys tema tisch angewendet.
Durch Integration innerhalb jedes Elementes werden das elasti
sche Potential U, das Potential der aussern Krafte V, als
quadratische beziehungsweise lineare Funktion der Verformungs
parameter, und damit die lokale Steifigkeitsmatrix und der
lokale Lastvektor bestimmt. Die Steifigkeitsmatrix und der
Lastvektor des aus Elementen zusammengesetzten Tragwerkes
werden durch die Summe Uber aIle Elemente der entsprechenden
Formanderungsenergien und der Potentiale der aussern Krafte
