Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1490
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
Christoph Heinrich
Dr. Joseph Hintzen
Mathematischer Beratungs- und Programmierungsdienst GmbH
Rechenzentrum Rhein-Ruhr, Dortmund
Berechnung längs starrer Rahmen
Untersuchungen zur Beulwertberechnung
von Rechteckplatten
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
ISBN 978-3-663-06218-9 ISBN 978-3-663-07131-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07131-0
Verlags-Nr. 011490
© 1965 b y Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Westdeutcher Verlag, Köln und Opladen 1965.
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag'
Berechnung längs starrer Rahmen
Inhalt
Einleitung ........................................................ 9
Knoten .......................................................... 10
Momenten- oder Querkraftgelenk .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Verschiebungsgleichungen .......................................... 13
1. Lastfall ........................................................ 13
Zustandsgrößen ................................................... 15
Literaturverzeichnis ................................................ 17
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Einleitung
Das vorliegend beschriebene Verfahren dient der Berechnung von längs starren
Rahmen. Es wird die Kenntnis der Arbeit [1] vorausgesetzt, so daß eine kurze
Darstellung des Sachverhaltes erreicht wird. Da das in [1] veröffentlichte Ver
fahren vorwiegend für längselastische Rahmenstäbe gedacht ist und damit im
Falle von starren Stäben versagt oder zu numerischen Schwierigkeiten führt,
sollen mit dem vorliegenden Verfahren diese Schwierigkeiten behoben werden.
In beiden Fällen handelt es sich um Iterationsverfahren. Ergaben sich im Falle
der Arbeit [1] Konvergenzschwierigkeiten, d. h. erhebliche Rechenzeiten oder
gar Divergenz, so wird im vorliegenden die Konvergenz beträchtlich beschleu
nigt, d. h., die Rechenzeiten werden erheblich reduziert.
Im übrigen verwenden wir wie in [1] die Darstellung mit Hilfe der Matrizen-und
Vektorrechnung, wodurch die Programmierung erleichtert wird, da doch wohl
in den meisten Rechenzentren der Matrizenkalkül standardmäßig programmiert
ist.
Weiterhin werden im vorliegenden nur die Knotenverdrehungen iterativ be
stimmt, hingegen die Riegel- bzw. Stielverschiebungen mittels eines linearen,
Gleichungssystems. Der Grad dieses Systems bestimmt sich lediglich als Summe
der Riegel- und Stielanzahl, so daß der Speicherbedarf des zugehörigen Koef
fizientenschemas erträglich ist, selbst bei größeren Rahmen.
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Knoten
Unter einem Knoten verstehen wir einen Punkt des Stabwerkes, in welchem
mindestens zwei Stäbe zusammenkommen. Die Knoten werden abgezählt:
k = 1, ... , k (k ist die Knotenanzahl). Die Stäbe, die in einem Knoten zusam
menkommen, zählen wir ab O"k = 1,2,3,4 (s. Abb. 11).
Stiel
-a=-2- --4K- --a=-4-
Riegel
Die Rechenrichtung für die Stäbe denken wir uns vom anliegenden zum ab
liegenden Stabende. w O"k' Vi O"k sei die Durchbiegung am anliegenden, abliegenden
Ende des Stabes O'k; CPO"k' qlO'k die Winkelneigung am anliegenden, abliegenden
Ende des Stabes O"k.
A~O"k), A~O"k) sei das Moment, die Querkraft am anliegenden Stabende. Der
Zustandsvektor am anliegenden Stabende ergibt sich dann wie folgt:
Cf)
(D .. (D . @.
ID~·~ ~ ~ A\~) A\~ ~
+ + +
(1)
+ +
= U(O"k) . q, m(O'k) . a(O'k) .&(O'k). a(O"k) = (A~ak»)
o O'k 0 0 ' A (0"1d .
2
Durch fortlaufende Multiplikation mit den Feldmatrizen ~O'k) ergibt sich dann
der Zustandsvektor am abliegenden Stabende :
m(O"k) = U(O'k) . cP + m(O"k) . a(O"k) + .&(0'1<) (2)
~D n O'k n n
wobei n die Feldanzahl des Stabes O"k bedeutet.
Aus Y(O'k) = w Y(O'k) = -cP folgt gemäß (2)
In O"k ' 2n O'k
(3)
10
(4)
mit
und
Es gilt demnach:
(Sa)
(Sb)
Weiterhin folgt aus ~ M = 0:
k ~ A~crk) = k ~ g!(crk) . tjlcrk + k ~ g~crk) . ~crk + ~ ,Wk) = 0 (6)
oder, indem wie die Stabendverdrehungen tjlcrk gleich den Knotenverdrehungen
+ +
tjl(k) (tjlcrk = tjl(k») setzen: tjl(k). k ~ gi(crk) ~ g~crk) . ~crk ~ d~crk) = 0
oder
-(crk)
<p(k) = k ~ g(crk) . ~crk + d(k) mit g(crk) = - ~ . d(k) = ~ d(crk). (7)
g!(crk) , 1
Vorstehende Gleichung ist die Iterationsgleichung. Sie gilt unter der Voraus
setzung' daß die Verschiebungen w crk' Vi crk für alle Stiele und Riegel bekannt
sind. Hat man eine Näherung für die Verdrehungen der abliegenden Knoten ~crk'
so ergibt sich nach (6) eine verbesserte Näherung für die Verdrehung tjl(k) am
Knoten k. Dieses Iterationsprinzip wird für alle Knoten solange durchgeführt,
bis sich an allen Knoten keine wesentliche Änderung der Verdrehung mehr
ergibt.
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Momenten- oder Querkraftgelenk
Ein Momentengelenk am anliegenden Stabende bewirkt einfach, daß der Stab ak
in der Summierung gemäß (6) und (7) unberücksichtigt bleibt, da er beim
Momentengleichgewicht keinen Anteil erbringt. Im Falle der Querkraftgelenke
am anliegenden Stabende setzen wir wak = A~ak). Der Zustandsvektor lautet
dann:
Die weiteren Überlegungen (2)-(6) gelten unverändert.
Ein Momentengelenk am abliegenden Stabende bedeutet Y~~k) = O. Aus (2) folgt:
mit
Danach ergeben sich (4)-(6) analog.
Im Falle eines Querkraftgelenkes am abliegenden Stabende gilt: Y~~k) = O.
Aus (2) folgt dann:
qiak) _ (v~~kl) (akl (d~~k») mit m(akl = (V~~k) v~~kl)
( o - V~~k) . <Pak + m . a + d~~k) V~~k) vi~kl
Die GIn. (4)-(7) folgen analog.
12
Verschiebungsgleichungen
Jedem Riegel bzw. Stiel ist eine Verschieblichkeit X" in Längsrichtung zu
geordnet, wobei wir die Riegel und Stiele von" = 1, ... , t abgezählt haben.
Diese Längsverschiebungen X" entsprechen den Durchbiegungen w der Stab
O"k
enden, die in den Knoten k des Riegels oder Stiels " in Querrichtung zum Riegel
oder Stiel anliegen.
Wir gewinnen nun die gesuchten Gleichungen für die Verschiebungen X"
+
mittels Überlagerung von t 1 Lastfällen.
1. Lastfall :
Vorgegebene äußere Belastung am unverschieblichen Stockwerkrahmen. Un
verschieblichkeit bedeutet w = 0 für alle Stabenden des Stabwerkes. Die
O"k
Verdrehungen für diesen Lastfall ergeben sich iterativ gemäß (7), wobei
cp(k)
(jÜ) der vorgegebenen äußeren Belastung entspricht. Die Querkräfte an den
Stabenden ergeben sich gemäß (S b) bei jetzt bekannten = (=
cp(k) CPO"k ;PO"k)'
Im Falle eines Riegels ;r gilt für die Stab enden der Stiele, die in den Knoten k
des Riegels anliegen:
Im Falle eines Stiels " gilt für die Stabenden der Riegel, die in den Knoten k
des Stiels anliegen:
(" +
1). Lastfall (" = 1, ... , t):
Dem Riegel bzw. Stiel " wird die Verschiebung X" = 1 in Längsrichtung
erteilt unter Festhaltung aller anderen Riegel bzw. Stiele; d. h. X:r = 0 für
" =1= ;r. Dies bedeutet WO"k = 0 für alle Stabenden, deren Durchbiegung nicht
mit der Verschiebung X" = 1 zusammenfällt. Die Verschiebung X" = 1 ent
spricht der Durchbiegung w = 1 derjenigen Stabenden, die in Querrichtung
O"k
in den Knoten k des Riegels bzw. Stiels " anliegen. Die Verdrehungen
cp(k)
ergeben sich iterativ gemäß (7), wobei der vorgegebenen Belastung w O"k = 1
d(k)
der zuletzt genannten Stabenden entspricht. Auch im vorliegenden Fall be
stimmen sich die A~O"k) gemäß (Sb). Im Falle der Riegel ;r gilt für die Stabenden
der Stiele, die in den Knoten k des Riegels anliegen:
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