Berechenbarkeit: Logik, Argumentation, Rechner und Assembler, Unendlichkeit, Grenzen der Automatisierbarkeit

250 Pages·2011·1.73 MB·German

by  Juraj Hromkovič (auth.)

Juraj Hromkoviˇc
Berechenbarkeit
Juraj Hromkoviˇc
Berechenbarkeit
Logik, Argumentation, Rechner und Assembler,
Unendlichkeit, Grenzen der Automatisierbarkeit
Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium
STUDIUM
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Prof. Dr. Juraj Hromkovicˇ
Geboren 1958 in Bratislava, Slowakei. Studium der Mathematischen Informatik an der Komenský
Universität, Bratislava. Promotion (1986) und Habilitation (1989) in Informatik an der Komenský
Universität. 1990 – 1994 Gastprofessor an der Universität Paderborn, 1994 – 1997 Professor für
Parallelität an der CAU Kiel. 1997 – 2003 Professor für Algorithmen und Komplexität an der RWTH
Aachen. Seit 2001 Mitglied der Slowakischen Akademischen Gesellschaft. Seit Januar 2004 Professor
für Informatik an der ETH Zürich. Seit 2010 Mitglied der Academia Europaea.
1. Auflage 2011
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag|Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann
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und Ver ar beitung in elek tro nischen Syste men.
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von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1509-5
Vorwort
DiesesLehrbuch istdasnächste inunserer Reihe,inderwireinige grundlegende Berei-
chederInformatik fachdidaktisch soaufbereiten, dasssiefürJugendliche imgymnasia-
lenAlterzugänglich werden.Diebishererschienenen Titelsind„LehrbuchInformatik“,
„Einführung in die Programmierung mit LOGO“ und „Einführung in die Kryptologie“.
Die drei hier vorgestellten Unterrichtsmodule fokussieren den wissenschaftlichen Kern
der Informatik, die Rolle und die Beiträge der Informatik im allgemeinen Kontext der
Wissenschaft. Somitgeht eshier umvielmehralsnur umgewisseFähigkeiten. Esgeht
um ein tieferes Verständnis unserer Umwelt und die Bestrebungen der Grundlagenfor-
schung, die Basis für den Fortschritt der Gesellschaft ist. Was bedeutet es, korrekt zu
deuten und zu argumentieren? Wie kann man automatische Informationsverarbeitung
modellieren? Was ist das Unendliche, und warum brauchen wir es? Was ist automati-
sierbar, und was ist nicht automatisierbar? Das sind einige der Fragen, denen dieses
Buchgewidmetist.EintieferesVerständnisfürdieAntwortenaufdieseFragenzuerrei-
chen,isteinerstrebenswertes Zielderallgemeinen Bildung, egalzuwelchemTeilesim
Mathematik- oderInformatikunterricht vermitteltwird.DerBeitragderInformatik zum
Verstehen der Welt und der Prozesse rund um uns ist vergleichbar mitden tiefgründigs-
tenBeiträgenandererallgemeinbildender Gymnasialfächer.
In der Wurzel jeder Wissenschaftsdiziplin befindet sich die Begriffsbildung. Sie ist
maßgebend für die Entwicklung eines Fachs. Das Modul „Geschichte der Informatik
und Begriffsbildung“ ist die Überarbeitung des gleichnamigen Moduls aus dem „Lehr-
buch Informatik“. Es zeigt die große Bedeutung der Begriffsbildung, indem es die Ge-
schichte derInformatik anhand derEntwicklung derGrundbegriffe undGrundkonzepte
beschreibt. Neben einer Erklärung für die Grundbegriffe wie Algorithmus, Programm
undBerechnungskomplexität werdenhierauchdieGrundlagen deskorrekten logischen
Denkens und korrekten Argumentierens sowie das Modell der Registermaschine (des
Computers)anhandeinereinfachen Assemblersprache vermittelt.
DieModule „DasKonzept des Unendlichen“ und „Berechenbarkeit und dieGrenzen
der Automatisierbarkeit“ sind der Erforschung der Grenzen automatisierbarer Berech-
nungen gewidmet. Aufbauend auf den Ideen aus unserem populärwissenschaftlichen
Buch „Sieben Wunder der Informatik“ wird ein Weg gefunden, wie man mit vollstän-
digermathematischer Präzisionundtrotzdemanschaulichundverständlich zeigenkann,
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dassgewisseinteressante ProblemewiezumBeispieldasTestenvonProgrammennicht
algorithmisch lösbar und somit nicht automatisierbar sind. Dabei lernen wir, dass das
Konzept des Unendlichen ein wichtiges Forschungsinstrument ist, ohne das dieses Ziel
nicht erreichbar ist. Auf dem Weg zur algorithmischen Unlösbarkeit lernt man weitere
wichtigeInstrumentewiedasKonzeptderReduzierbarkeit zwischenProblemenunddie
Diagonalisierungsmethode kennen.DasModul„DasKonzeptdesUnendlichen“legtdar,
dass es unterschiedliche unendliche Größen gibt, und somit ist es im Mathematikunter-
richtauchohneBezugzurInformatikgutverwendbar.
Die Kunst, tiefgreifende und schwierige Themen erfolgreich zu behandeln, besteht
nicht nur in der richtigen Wahl des Blickwinkels, sondern auch in der Fähigkeit, den
WegzumvollenVerständnisinkleinstmögliche Schrittezuzerlegenundzusätzlichzum
TeildieIntuitiondesEntdeckerszuvermitteln.Wenndasgelingt,bestehtdieChancefür
die Lernenden, die Spannung und Begeisterung in dem Prozess eigener Entdeckung zu
erleben.
Das didaktische Konzept basiert auf der Ausführlichkeit von Leitprogrammen. Alles
wirdsorgfältigerklärtundsofortdurchÜbungsaufgaben (teilweisemitvorgeschlagenen
Lösungen) gefestigt undüberprüft. Zusätzlich beinhalten dieLektionen auchAufgaben-
stellungen, die zu selbstständigen Entdeckungen führen können. Durch das detaillierte
undanschauliche Vorgehen eignet sich dasLehrbuch auchzum Selbststudium im Gym-
nasialalter. Die Erklärungen werden von Hinweisen für die Lehrperson begleitet. Die-
se Hinweise gehen zum einen auf mögliche Schwierigkeiten bei der Vermittlung des
Stoffes ein, sprechen zum anderen Empfehlungen für die Verwendung von geeigneten
didaktischen Methoden aus und vermitteln Unterrichtserfahrung. Damitist dieses Lehr-
buch auch für das Lehramtsstudium bestimmt sowie für alle Informatikanfängerinnen
und-anfänger oderdiejenigen, dieInformatik imNebenfach studieren.
Hilfreiche Unterstützung anderer hat zur Entstehung dieses Lehrbuches wesentlich
beigetragen. Besonderer Dank gilt Dennis Komm für sorgfältiges Korrekturlesen, zahl-
reicheVerbesserungsvorschlägeundumfangreicheHilfebeiderUmsetzungdesSkriptes
inLATEX.Indiesem Zusammenhang möchte ichmichaußerdem herzlich beiAndreMa-
cejko bedanken. Für die Sprachkorrekturen bedanke ich mich herzlich bei Herbert Bru-
derer und Ivonne Domnick. Ich möchte mich sehr bei Lucia Keller und Björn Steffen
dafür bedanken, dass sie mich mit viel Enthusiasmus beim Testen der Unterrichtsunter-
lageninderschulischenPraxisbegleitetodereinigeLektionenselbstständigunterrichtet
haben.
Genauso herzlich danke ich den Lehrpersonen Pater Paul (Hermann-Josef-Kolleg,
Steinfeld), Uwe Bettscheider (INDA-Gymnasium Aachen), Hansruedi Müller (Schwei-
zerische Alpine Mittelschule Davos), Yves Gärtner, Ueli Marty (Kantonsschule Reuss-
bühl, Luzern), Meike Akveld, Stefan Meier und Pietro Gilardi (Mathematisch-natur-
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wissenschaftlichesGymnasiumRämibühl,Zürich)undHaraldPierhöfer(Kantonsschule
Limattal,Urdorf), dieesunsermöglicht haben, ineinigen Klassenkürzere oderlängere
Unterrichtssequenzen zu testen, oder sie sogar selbst getestet und uns ihre Erfahrungen
mitgeteilthaben.Einbesonderer DankgehtauchandieSchulleitungen derSchulen,die
unsfürdasTestenunserer ModuledieTürengeöffnethaben.
Für die hervorragende Zusammenarbeit und die Geduld mit einem immer eigensin-
niger werdenden Professor bedanke ich mich herzlich bei Frau Kerstin Hoffmann und
HerrnUlrichSandtenvomVieweg+Teubner-Verlag.
Ich wünsche allen Leserinnen und Lesern beim Lernen mit diesem Buch so viel Ver-
gnügen,wiewirselbstbeimUnterrichtendervorliegendenLektionenempfundenhaben.
Zürich,imOktober2010
JurajHromkovicˇ
Inhaltsverzeichnis
I Geschichte derInformatikund Begriffsbildung 9
1 WasistInformatik? 13
2 KorrekteArgumentation 19
3 Geschichte derInformatik 59
4 Algorithmisches Kuchenbacken 71
5 Programmieren inderSprachedesRechners 79
6 Indirekte Adressierung 111
II DasKonzeptdes Unendlichen 125
1 Wozubrauchen wirdieUnendlichkeit? 129
2 DasKonzeptvonCantor 141
3 Rationale ZahlenoderUnendlichmalUnendlich 171
4 Diagonalisierung unddieMächtigkeit von 187
(cid:0)
III Berechenbarkeit und die Grenzen der Automatisierbarkeit 203
1 ÜberdieAnzahlvonProgrammen 207
2 Diagonalisierung inderInformatik 217
3 DieMethodederReduktion inderMathematik 233
4 Reduktion alsBeweismethode 245
Modul I
Geschichte der Informatik und
Begriffsbildung
Vorwort 11
Vorwort
DasersteZieldiesesModulsistzuerklären,warumdieInformatikzueinerselbstständi-
gen Wissenschaftsdisziplin geworden ist und somit, weshalb sie in der Forschung nicht
durchandere Wissenschaftsdisziplinen ersetzbar ist.UmdiesesZielzuerreichen lernen
wir, dass Begriffsbildung maßgebend fürdas Entstehen und die Weiterentwicklung von
Wissenschaften ist und dass der Begriff des Algorithmus der Schlüsselbegriff der Infor-
matikist.
Wir nähern uns in kleinen Schritten einem guten Verständnis der Grundbegriffe von
ProgrammenundAlgorithmen.UnterwegsbegegnenwirdenRegistermaschinen,dieein
BasismodelldesRechnersunddesRechnensdarstellen.Dabeilernenwirauch,wieman
inAssemblerhardwarenah programmiert.
Bei dem Versuch, die Grundbausteine der Wissenschaft zu verstehen, betrachten wir
die Axiome der Mathematik aus der Sicht der Begriffsbildung als die Definitionen neu-
er Wörter, die die Aussagestärke sowie die Argumentationsstärke der Sprache der Ma-
thematik erhöhen. Wir möchten uns dabei mit der Frage auseinandersetzen, was eine
korrekte Argumentation (korrektes Denken) ist. Wir lernen die genaue Bedeutung des
Begriffs der Implikation und nutzen sie, um die Schematik der direkten und indirekten
Beweisevorzustellen undanhandvonmehrerenBeweisenzudemonstrieren. Diesesele-
mentareVerständnisderLogikistunumgänglich, wennmansichvertiefendmitexakten
Wissenschaften, zudenendieInformatik zählt,beschäftigen will.