Table Of ContentKarl-Heinz Zimmermann
Berechenbarkeit
Berechnungsmodelle und
Unentscheidbarkeit
essentials
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Karl-Heinz Zimmermann
Berechenbarkeit
Berechnungsmodelle und
Unentscheidbarkeit
Karl-Heinz Zimmermann
Institut für Eingebettete Systeme
TU Hamburg
Hamburg, Deutschland
ISSN 2197-6708 ISSN 2197-6716 (electronic)
essentials
ISBN 978-3-658-31738-6 ISBN 978-3-658-31739-3 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-31739-3
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Planung/Lektorat: Iris Ruhmann
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Was Sie in diesem essential finden können
Kurz ausgedrückt, eine Einführung in die wesentlichen Konzepte der Berechen-
barkeitstheorie. Dabei geht es vor allem um zwei fundamentale Aspekte. Zum
einen steht die mathematische Formalisierung und Präzisierung des Begriffs
der Berechenbarkeit im Mittelpunkt. Es gibt mehrere Ansätze, wie URM- und
GOTO-Berechenbarkeit sowie Berechenbarkeit mittels partiell-rekursiver
Funktionen, um formal Rechenvorschriften zu beschreiben. All diese Ansätze
erweisen sich letztlich als gleichwertig, wodurch sich die Church-Turing-These
begründet: Jede intuitiv berechenbare Funktion ist partiell-rekursiv.
Zum anderen erfolgt eine Auslotung der Grenzen der Berechenbarkeit.
Es gibt Entscheidungsprobleme, also Probleme mit Ja-Nein-Antworten, die
algorithmisch nicht lösbar sind. Das prominenteste Beispiel aus der Informatik ist
das Halteproblem, das auf einen Entscheidungsalgorithmus abzielt, der die Frage,
ob ein Programm mit einer Eingabe hält oder nicht, beantwortet. Um die Nicht-
existenz einer Entscheidungsprozedur zu beweisen, muss eine Argumentation
über alle Rechenvorschriften erfolgen. Die Berechenbarkeitstheorie stellt
Methoden und Verfahren zur Verfügung, um derartige Nichtexistenzfragen zu
behandeln.
V
Vorwort
Dieses essential handelt von den Grenzen der Algorithmik, der algorithmischen
Beschreibung von Problemen. Zentral ist dabei einerseits die Frage nach der
Formalisierung des Begriffs der Berechenbarkeit und andererseits die Verortung
der Grenzen der Berechenbarkeit.
Jeder hat eine gewisse Vorstellung davon, was intuitiv berechenbar ist.
Präzisiert wird dieser Begriff in der Berechenbarkeitstheorie anhand ver-
schiedener Modelle, die teils ganz unterschiedliche Ausprägungen in punkto
Abstraktion besitzen und so verschiedenartige Zugänge zur Berechenbarkeits-
theorie ermöglichen.
Die Berechenbarkeitstheorie beschäftigt sich mit der Existenz von
algorithmischen Problemen, nicht jedoch mit der Effizienz, mit der Lösungen
gefunden werden können. Letztere Problematik gehört in den Bereich der
Komplexitätstheorie, einem eigenständigen Teilgebiet der theoretischen
Informatik. Die Grenzen der Berechenbarkeit lassen sich durch sogenannte unent-
scheidbare Probleme ausloten – Probleme, die auf algorithmische Weise nicht
lösbar sind.
Die ersten Untersuchungen auf dem Gebiet der Berechenbarkeit wurden u.a.
von Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen C. Kleene, Rózsa Péter, Emil Post und
Alan Turing in den 1930er Jahren durchgeführt. Damit wurde die Berechenbar-
keit als ein Zweig der theoretischen Informatik zu einer Zeit etabliert, als es den
Begriff Informatik – entstanden aus dem Französischen „informatique“ in den
frühen 1960ern – noch gar nicht gab. Die fundamentalen Ergebnisse insbesondere
von Alonso Church und Alan Turing führten zur allgemein akzeptierten
Church-Turing-These, nach der jede intuitiv berechenbare Funktion partiell
rekursiv ist.
VII
VIII Vorwort
Die Ergebnisse der Berechenbarkeit tangieren die Grenzen der Informatik,
Logik und Mathematik. Die beiden Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel
zeigen, dass nicht alle wahren Aussagen über natürliche Zahlen beweis-
bar sind und dass ein hinreichend reichhaltiges Axiomensystem mitsamt den
Umformungsregeln nicht ausreicht, um formal seine Widerspruchsfreiheit zu ent-
scheiden. Gödels unkonventionelle Herangehensweise ließ sich ohne Weiteres auf
Rechenverfahren übertragen und bildete den Ausgangspunkt für die Berechenbar-
keitstheorie. Erweiterungen seiner Ideen führten Alan Turing zur Unentscheid-
barkeit des Halteproblems – der Frage, ob ein Computerprogramm mit beliebiger
Eingabe jemals anhalten und eine Ausgabe liefern oder in einer endlosen Schleife
stecken bleiben wird.
In diesem essential wird aufgezeigt, dass sich der Begriff der Berechen-
barkeit mithilfe einfacher abstrakter Berechnungsmodelle etablieren lässt.
Darauf aufbauend werden zentrale Konzepte der Berechenbarkeitstheorie sowie
fundamentale unentscheidbare Probleme behandelt.
Dieses essential entstand aus einer zweistündigen Vorlesung über Berechen-
barkeitstheorie, die der Autor für Informatik- und Mathematik-Studierende
des zweiten Studienjahres an der Technischen Universität Hamburg in den
letzten Jahren gehalten hat. Der Text wurde inmitten der Corona-Pandemie im
Homeoffice angefertigt.
Karl-Heinz Zimmermann
Inhaltsverzeichnis
1 Berechnungsmodelle ........................................ 1
1.1 Unbeschränkte Registermaschine .......................... 1
1.2 Partiell-rekursive Funktionen .............................. 7
1.3 GOTO-Programme ...................................... 13
1.4 Berechenbare Funktionen und die Church-Turing-These ........ 17
2 Zentrale Konzepte .......................................... 19
2.1 Gödelisierung .......................................... 19
2.2 Parametrisierung ....................................... 24
2.3 Universelle Funktionen .................................. 25
2.4 Normalform von Kleene ................................. 26
3 Unentscheidbare Probleme .................................. 31
3.1 Unentscheidbare Mengen ................................. 31
3.2 Semi-entscheidbare Mengen .............................. 36
3.3 Rekursionstheorie ...................................... 39
3.4 Wortprobleme .......................................... 42
4 Historie und Zusammenfassung .............................. 47
A GOTO-2-Programme ........................................ 51
B Sätze von Rice und Rice-Shapiro ............................... 55
C Semi-Thue- und Thue-Systeme ................................ 59
Literatur ..................................................... 63
Stichwortverzeichnis ........................................... 65
IX
Mathematische Notation
Allgemeine Notation
N natürliche Zahlen
0
N natürliche Zahlen ohne 0
Z ganze Zahlen
Q rationale Zahlen
R reelle Zahlen
Σ Alphabet
Σ* freies Wortmonoid über Σ
ϵ leeres Wort
Σ+ freie Halbgruppe über Σ
Kapitel 1
ω Zustand einer URM
R k-tes Register einer URM
k
ω Zustand des k-ten Registers einer URM
k
Ω Zustandsmenge einer URM
E(Ω) Menge der Zustandstransformationen einer URM
γ Zustandskodierung
γ Exponentenfunktion
k
dom (f) Definitionsbereich einer Funktion
ran (f) Wertebereich einer Funktion
a Inkrementation des k-ten Registers
k
XI