Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Weitere Bände in dieser Reihe
http://www.springer.com/series/1183
Adolf J. Schwab
Begriff swelt der Feldtheorie
Elektromagnetische Felder,
Maxwell-Gleichungen, Gradient,
Rotation, Divergenz
7., bearbeitete und ergänzte Aufl age
Prof. Dr. -Ing. Dr. -Ing. h.c. mult. Adolf J. Schwab
Ordinarius i. R.
Institut für Elektroenergiesysteme
Karlsruher Institut für Technologie KIT
Karlsruhe, Deutschland
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-34565-4 ISBN 978-3-642-34566-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-34566-1
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografi e;
detaillierte bibliografi sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufb ar.
Springer Vieweg
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985, 1987, 1990, 1993, 1998, 2002, 2013
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht aus-
drücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das
gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfi lmungen und die Ein-
speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be-
rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der
Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann
benutzt werden dürft en.
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer
Science+Business Media.
www.springer-vieweg.de
I shall avoid as much as I can, those ques-
tions which, though they have elicited the
skill of mathematicians, have not enlarged
our knowledge of science.
James Clerk Maxwell
No mathematical purist could ever do the
work involved in Maxwell's treatise. He
might have all the mathematics, and much
more, but it would be to no purpose, as he
could not put it together without the physi-
cal guidance. This is in no way to his discre-
dit, but only illustrates different ways of
thought.
Oliver Heaviside
VI Vorwort
Vorwort zur siebten Auflage
Die Maxwell-Gleichungen bilden das theoretische Fundament der gesamten
Elektrotechnik. Häufig treten sie nur implizit in Erscheinung, beispielsweise
in der Regelungstechnik oder Digitaltechnik, dagegen führt in der Elektro-
magnetischen Verträglichkeit, der Antennentheorie, der rechnergestützten
numerischen Berechnung elektrischer und magnetischer Felder in der Ener-
gietechnik, Plasmaphysik, Elektromedizin usw. kein Weg an ihnen vorbei.
Trotz ihrer Bedeutung sind viele Studierende mit diesen Gleichungen nicht
im gewünschten Maße vertraut, manchem Elektrotechniker bleiben sie Zeit
seines Lebens ein Buch mit sieben Siegeln. Das liegt meist daran, dass sich
klassische Bücher über Feldtheorie häufig an der historischen Entwicklung
des Wissens über Elektrizität und Magnetismus orientieren und gewöhnlich
zu Beginn elektrostatische und magnetostatische Felder einschließlich der
ihnen innewohnenden Energie und Kräfte sowie ihre Wechselwirkung mit
Materie sequentiell behandeln. Historisch entstandene Begriffe, wie Indukti-
on und Verschiebung werden gewöhnlich als eigenständige physikalische
Größen ohne Beachtung ihrer generischen Gemeinsamkeiten, hier beispiels-
weise in Form von Flussdichten, behandelt. Das vorliegende Buch versucht,
einen Beitrag zu einer systematisch strukturierten elektromagnetischen Feld-
theorie zu leisten mit dem Ziel, Studierenden der Elektrotechnik und Prakti-
kern, die bisher nur wenig Berührung mit der Feldtheorie hatten, einen leicht
verständlichen schnellen Einstieg zu vermitteln.
Insbesondere unterscheidet sich dieses Buch vom bisherigen Schrifttum
durch folgende innovativen Konzepte:
– Betonung generischer Gemeinsamkeiten skalarer und vektorieller Feld-
größen von Strömungsfeldern, elektrischen und magnetischen Feldern.
– Explizite Definition der Flussdichte von Vektorfeldern statt impliziter De-
finition über das Flussintegral, beispielsweise im Fall der dielektrischen
Verschiebung (siehe 1.1.1.2).
– Konsequente Unterscheidung zwischen Quellen- und Wirbelfeldern gemäß
dem Helmholtzschen Zerlegungssatz, nach dem ein allgemeines Vektor-
feld aus einem Quellenfeld XQ und einem Wirbelfeld XW zusammen-
gesetzt sein kann (Hauptsatz der Vektoranalysis, siehe 2.3).
Vorwort VII
– Einführung inverser Operatoren div(cid:1)1und rot(cid:1)1, die trotz anfänglich ver-
muteter Erhöhung der Komplexität eine elegante, übersichtliche Lösung
der Maxwell-Gleichungen in Differentialform erlauben (Kapitel 7).
– Durch obige inverse Operatoren mögliche, mathematisch formale Begrün-
dung der Darstellung eines Vektorfelds E(r) als Gradient eines Skalarfelds
(cid:1)(r), anstatt der üblicherweise anzutreffenden verbalen Erklärungen vom
Typ „Wegen rot E = 0 und rot grad (cid:1) = 0 lässt sich ein wirbelfreies Vektor-
feld darstellen als Gradient eines Skalarfelds...“
– Herleitung der Ausbreitungsgleichung elektromagnetischer Wellen unter
Verzicht auf die so genannte Lorentz-Eichung (siehe 8.6). Für die Zeitge-
nossen Maxwells war der Kunstgriff der Lorentz-Eichung mangels einer
genaueren Vorstellung über den von Maxwell eingeführten Verschiebungs-
strom äußerst genial und hilfreich. Der Verzicht auf die Lorentz-Eichung
macht aber die Natur des von Maxwell eingeführten Verschiebungsstroms
gerade erst transparent und lässt alle Zweifel an seiner Existenz verstum-
men.
– Weitgehender Verzicht auf die in der mathematischen Vektoranalysis
durchaus berechtigten ja sogar unverzichtbaren Hinweise vom Typ „Ist
die Funktion stetig und zwei Mal differenzierbar...“. Bei physikalischen
Fragestellungen impliziert meist schon die Anschauung das Vorliegen der
erforderlichen Voraussetzungen, was ständiges explizites Zitieren und
übertriebene mathemathische Strenge meist entbehrlich macht. Sollte dies
einmal nicht zutreffen, wird dies spätestens bei einer physikalisch nicht
sinnvollen Lösung klar. Alle oben erwähnten innovativen Konzepte sind
weniger der Wahrung mathematischer Strenge zu verdanken, als dem Rin-
gen um ein klares Verständnis elektromagnetischer Phänomene. Bereits
Maxwell und Heaviside haben auf die unterschiedlichen Sichtweise von
Physik und Mathematik hingewiesen (siehe Zitate Seite V).
Alle hier aufgeführten neuen Konzepte wurden und werden in Fachkreisen
teilweise noch immer kontrovers diskutiert. Erfreulicherweise finden sie aber
immer mehr Zustimmung, da sie die Feldtheorie trotz anfänglich gefühlter
Erhöhung der Komplexität letztlich doch wesentlich einfacher und transpa-
renter machen.
Erfahrungsgemäß bereiten schon die in den Maxwell-Gleichungen ver-
knüpften physikalischen Größen Fluss, Induktion, Verschiebungsdichte etc.
dem Anfänger nachhaltiges Unbehagen, weswegen zunächst eine verglei-
VIII Vorwort
chende Analogiebetrachtung der Größen des elektrischen und magnetischen
Felds sowie des Strömungsfelds vorangestellt wird. Anschließend folgt eine
ausführliche Interpretation der Maxwell-Gleichungen in Integralform.
Die Differentialform der Maxwell-Gleichungen verlangt nach einer eingän-
gigen Erläuterung der Abkürzungen rot und div, die sich unter konsequenter
Verwendung des anschaulichen Zusammenhangs zwischen Wirbelstärken
und Wirbeldichten sowie Quellenstärken und Quellendichten zwanglos aus
der Integralform ergeben.
Nach Einführung der Begriffe Gradient, Potential und Potentialfunktion fol-
gen die Potentialgleichungen für raumladungsfreie und raumladungsbehaftete
Felder. Der Herleitung des skalaren magnetischen Potentials und des magne-
tischen Vektorpotentials schließen sich die skalare und vektorielle Potential-
gleichung magnetischer Felder an.
Ein eigenes Kapitel stellt neue Integraloperatoren rot-1, div-1, grad-1 vor.
Diese neuen Integraloperatoren stellen eine wertvolle Bereicherung des Na-
bla-Kalküls dar, leisten einen Beitrag zur Didaktik der Elektrodynamik und
haben sich bei zahllosen Problemen, beispielsweise der Herleitung von Po-
tential- und Wellengleichungen für skalare und vektorielle Potentiale, der
Wellengleichung elektromagnetischer Wellen usw., bewährt.
Im Rahmen der Einteilung elektrischer und magnetischer Felder nach ihrer
Zeitabhängigkeit wird großer Wert auf das Verständnis der Begriffe quasi-
statische und quasistationäre Felder sowie auf die Herleitung der Wellen-
gleichung gelegt. Schließlich lässt sich aus den leicht verständlichen Lei-
tungsgleichungen eine gewisse Systematik in Begriffe wie Telegrafenglei-
chung, Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Laplace-Gleichung, Helmholtz-
Gleichung, nicht zuletzt die bekannte Schrödinger-Gleichung bringen, die
wesentlich zur Erleichterung des Einstiegs in das fachspezifische Schrifttum
beiträgt. Dass der Unterschied zwischen elektrischen und magnetischen Fel-
dern nicht so groß ist, wie der technische Alltag zu glauben Anlass gibt, er-
läutert ein Kapitel über die Lorentz-Invarianz der Maxwell-Gleichungen.
Gleichzeitig erlaubt die Lorentz-Transformation ein intimes, korrektes Ver-
ständnis des Unterschieds zwischen Ruheinduktion und Bewegungsinduk-
tion (siehe 3.1.1 und 9.7).
Dem zunehmenden Einsatz von Rechnern bei der Lösung von Feldpro-
blemen wird ein umfangreiches Kapitel über die numerische Berechnung von
Potentialfeldern gerecht, in dem das Ersatzladungsverfahren, das Differen-
Vorwort IX
zenverfahren, die Methode der Finiten Elemente, die Boundary-Element-Me-
thode, die Momentenmethode sowie die Monte-Carlo-Methode vorgestellt
werden. Insbesondere wird dabei auf das Wie der Berücksichtigung von Rand-
bedingungen eingegangen.
Die vorstehende Aufzählung der Inhalte lässt erkennen, dass der Leser
schrittweise von einfachen Definitionen physikalischer Größen zu schwieri-
gen Begriffen, Gleichungen und Verfahren hingeführt wird. Das Buch sollte
daher von Anfang an und Kapitel für Kapitel gelesen werden. Wer dieser Emp-
fehlung folgt, wird sich in kürzester Zeit eine gute Grundlage für das tiefere
Eindringen in die Theorie elektrischer und magnetischer Felder aneignen.
Auf vielfachen Wunsch aus dem anfänglichen Leserkreis wurde ab der vier-
ten Auflage eine von Dr.-Ing. Friedrich Imo erstellte Aufgabensammlung an-
gegliedert, die wesentlich zur Veranschaulichung der im Hauptteil vorgestell-
ten Begriffe beiträgt.
Im Laufe der Evolution dieses Buches haben zunehmend mehr Personen
durch wertvolle Hinweise und kritische Anmerkungen zur Erstellung des
Manuskripts, gegebenenfalls auch durch Korrekturlesen, beigetragen. Ihnen
sei an dieser Stelle, auch im Namen aller Leserinnen und Leser, einmal mehr
sehr herzlich gedankt. Ohne Priorisierung seien in alphabetischer Reihen-
folge genannt: Sonja Ander, Ulrike Bächle, Peter Fischer, Monika Gappisch,
Bernd Glomb, Armin Hudetz, Hans Krattenmacher, Michael Kroeck, Micha-
el Lenz, Gerdi Ottmar, Birgitta Scherr, Prof. Manfred Schneider, Prof. Uwe
Siart, Uta Stabel, Petra Wöhr und Michael Hans Wolfsperger. Für allzeit
gewährte IT-Unterstützung danke ich den Herren Matthias Kahl, Sebastian
Klenk und Kai Mössner. Frau Sigrid Cuneus vom Springer-Verlag danke ich
für die rasche Fertigstellung und die ansprechende Ausstattung des Buches.
Zum Wohl der Leser einer 8. Auflage bittet der Autor um Rückmeldungen
etwaiger Fehler sowie um Anregungen zur weiteren Verbesserung dieses Bu-
ches an [email protected] oder [email protected].
Karlsruhe, November 2012 Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. h.c. mult.
Adolf J. Schwab
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Begriffe elektrischer und magnetischer Felder .......................1
1.1 Feldstärke, Fluss und Flussdichte von Vektorfeldern .............................4
1.1.1 Elektrisches Vektorfeld E....................................................................4
1.1.1.1 Elektrische Feldstärke, elektrischer Fluss........................4
1.1.1.2 Elektrische Flussdichte, Verschiebungsdichte................7
1.1.2 Magnetisches Vektorfeld H...............................................................11
1.1.3 Elektrisches Strömungsfeld J............................................................13
1.2 Materialgleichungen .......................................................................................14
1.3 Grenzflächenverhalten von Vektorfeldern ..............................................14
2 Arten von Vektorfeldern ......................................................................................21
2.1 Elektrische Quellenfelder ...........................................................................21
2.2 Elektrische und magnetische Wirbelfelder .............................................25
2.3 Allgemeine Vektorfelder ..............................................................................26
3 Feldtheorie-Gleichungen .....................................................................................29
3.1 Maxwell-Gleichungen in Integralform ......................................................30
3.1.1 Induktionsgesetz in Integralform (Faradaysches Gesetz)
Wirbelstärke elektrischer Wirbelfelder .........................................31
3.1.2 Durchflutungsgesetz in Integralform (Ampèresches Gesetz)
Wirbelstärke magnetischer Wirbelfelder ......................................34
3.1.3 Gaußsches Gesetz des elektrischen Felds
Quellenstärke elektrischer Felder ...................................................40
3.1.4 Gaußsches Gesetz des magnetischen Felds
Quellenstärke magnetischer Felder ................................................41
3.2 Kontinuitätsgesetz in Integralform
Quellenstärke elektrischer Strömung ........................................................42
XII Inhaltsverzeichnis
3.3 Maxwell-Gleichungen in Differentialform ..............................................47
3.3.1 Induktionsgesetz in Differentialform
Wirbeldichte elektrischer Wirbelfelder .......................................48
3.3.2 Durchflutungsgesetz in Differentialform
Wirbeldichte magnetischer Wirbelfelder .....................................51
3.3.3 Divergenz des elektrischen Felds
Quellendichte elektrischer Felder ...............................................53
3.3.4 Divergenz des magnetischen Felds
Quellendichte magnetischer Felder ...............................................55
3.4 Kontinuitätsgesetz in Differentialform
Quellendichte elektrischer Strömung .......................................................56
3.5 Analyse von Vektorfeldern bezüglich ihrer Wirbel- und
Quellennatur ....................................................................................................54
3.6 Die Maxwell-Gleichungen in komplexer Schreibweise .....................58
3.7 Integralsätze von Stokes und Gauß...........................................................59
3.8 Ergänzende Betrachtungen zum Induktionsgesetz ...............................65
3.8.1 Bewegungsinduktion .........................................................................67
3.8.2 Beispiel zur Umlaufspannung .........................................................67
3.8.3 Netzwerkmodell des Induktionsvorgangs ...................................68
4 Potentialfunktion, Gradient, Potentialgleichung,........................................73
4.1 Potentialfunktion und Potential eines elektrostatischen Felds ..........76
4.2 Ermittlung der Potentialfunktion ausgewählter
Ladungsverteilungen .....................................................................................81
4.2.1 Potentialfunktion einer Punktladung außerhalb
des Ursprungs ....................................................................................81
4.2.2 Potentialfunktion einer Linienladung ..........................................83
4.2.3 Potentialfunktion einer allgemeinen
Ladungskonfiguration .....................................................................85
4.3 Gradient eines Potentialfelds ......................................................................87
4.4 Potentialgleichungen ....................................................................................92
4.4.1 Potentialgleichungen für raumladungsfreie Felder ...................92
4.4.2 Potentialgleichung für raumladungsbehaftete Felder................95
4.4.3 Integraloperator (cid:1)-1 ...........................................................................98
4.5 Elektrisches Vektorpotential .....................................................................104
4.6 Vektorpotential des Strömungsfelds .......................................................106
5 Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder ...........................109
5.1 Magnetisches Skalarpotential ...................................................................109
