BASIC in der medizinischen Statistik: Skriptum für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten ab 1. Semester

114 Pages·1977·0.89 MB·German

by  Hanns Ackermann (auth.)

- 19 -
Beispiel (vgl. A then-Bruhn [11]):
sE solI untersucht werden, bo eine mittlere lineare
Abhangigkeit des Blutalkoholgehaltes von der Anzahl
der genossenen Flaschen Bier besteht. sE ergaben
sich folgende MeBwerte:
Anzahl der Flaschen Bier Blutalkohol ehal t /
(cid:0)~(cid:0)o(cid:0)
1
¢.3
2 ¢.5
3 ¢.7
4 1.¢
5 1.¢
6 1.5
7 1.6
8 2.1
9 2.2
1¢ 2.4
(In diesem Beispiel besagt der Regressionskoeffizient,
Bad pro genossener Flasche Bier der Blutalkoholgehalt
mi Mittel mu o%b ansteigt.)
Bemerkung
Zur PrUfung der Linearitat der Regression und zur
PrUfung des Regressionskoeffizienten sind ver›
schiedene Erganzungen des angegebenen CISAB - Pro›
smmarg notwendig. Vergleiche hierzu die entspre›
chenden Kapitel aus Linder [15] oder Sachs [19].
- 29 -
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04 FED FNR,/’=INT(X+1013+0 8t3
(cid:0)~(cid:0))(cid:0)/(cid:0)
(cid:0)~(cid:0):(cid:0)i(cid:0)l(cid:0):(cid:0);(cid:0)l(cid:0) I’IE::;’I
06 MEP TS1 EID .LHAZNH FED .NEHCS9.LF Y PR00 E.LL
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:? ti ’:I :::’1 I i’i T ’F" i’II:Ui T t .. L .. ":E "
,:: ::::: I’( ):I :,F I r•i•\
390 HTHD 10,0,0,0,0
U04 ATHD
(cid:0)1(cid:0),(cid:0)U(cid:0).(cid:0)3(cid:0),(cid:0)2(cid:0),(cid:0)0(cid:0).(cid:0)5(cid:0).(cid:0)3(cid:0).(cid:0)~(cid:0),(cid:0),(cid:0)7(cid:0).(cid:0)4(cid:0)
410 ATHD 2,,2,lU,2.4
1’:1:::;1, U.I••I:[
H:[E;(:,I[ :::I
EID GNUHCIE.LG RED NEDAREGSNOISSE:FGER
(cid:0)L(cid:0).(cid:0)~(cid:0)i(cid:0)l(cid:0).(cid:0)J(cid:0)T(cid:0)E(cid:0)T(cid:0) II ’(’: ::"":E + C t’II’r :I:ED C;i;iJi::’;FI!
TNEIZIFFEOKSNOI;SE:FGEP B = (cid:0)O(cid:0),(cid:0)~(cid:0)4(cid:0)3(cid:0)
SETNHTSNUK DEIlG C =-0.007
M1 .LETTIM TGIETS RED LHHEGLOHO(LATUL:E (cid:176) ORF
PENESSOH::EG EHCSALF :F::EIB MU
(cid:0)~(cid:0)~(cid:0)3(cid:0)
’F ::;:I l"lle r: L L .. ::I "
- 93 -
3. "I Einfache lineare Korrelation
In 3.6 lagen eine unabhangige ("fixe") Variable x
und eine abhangige Zufallsvariable y vor. nneW nun
beide Variablen "gleichberechtigte" Zufallsvariablen
sind und nam a priori keine kausale Abhangigkeits›
richtung zwischen den beiden GraBen kennt, so faBt
nam zunachst die eine, dann die andere der beiden
Variablen als EinfluBgraBe auf und bestimmt nach
Abschnitt 3.6 jeweils den Regressionskoeffizienten.
saD geometrische Mittel r der beiden Regressions›
koeffizienten heiBt Korrelationskoeffizient:
(\x ).y
( f f
n i)
i=1 i=1
:L x. y. - l.
;:==========================;-- i=1 n
l. l.
r =
Es ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit a eine
lineare Korrelation zwischen x und y anzunehmen,
nnew der berechnete Wert r graBer ist als der
r
Tabellenwert 1 -a der Verteilung von r unter der
Nullhypothese einer nicht existierenden Korrelation
zwischen x und y.
Bemerkung
Bei kleinen Stichprobenumfangen verwendet nam
haufig den folgenden Korrelationskoeffizienten
r*, der eine verbesserte Schatzung des Korrelations›
koeffizienten g der Population darstellt:
- 94 -
r* 1[ 1 - r2 ]
= r• +2(n-3)
Diese Korrektur ist in med unten angegebenen Pro›
mmarg nieht berueksiehtigt.
Beispiel (vgl. Athen-Bruhn [11]):
sE soll aufgrund von 6 MeBpaaren gepruft werden,
inwieweit das Korpergewieht x mit der KorpergroBe
y zusammenhangt. aD nam nieht bestimmen kann, ob
die Variable x oder die Variable y EinfluBgroBe
ist, soll die Frage naeh med Zusammenhang der bei›
den GroBen mit den Mitteln der einfaehen linearen
Korrelationsreehnung beantwortet werden. Die
Messungen ergaben die folgenden Werte:
Testperson x (in kg) y (in )me
1 50.2 158
2 59.3 161
3 65.1 174
4 74.8 176
5 85.3 179
6 90.6 184
Der Tabellenwert r 1 -cr betragt fur n = 6 und a = 0.05
0.811.
- 59 -
51 MER LEIPSIEB 3.7: EHCAFNIE ERAENIL NOITALERROK
313 MER
54 MID X[6],Y[6]
66 MER N TS1 EID LHAZNA RED ,NEGNUSSEM
57 MER R TS1 RED ETENHCEREB ,TNEIZIFFEOKSNOITALERROK
69 MER 6R TS1 RED EHCSITEROEHT .TREW
561 MER X TS1 SAD ,THCIWEGREPREOK Y EID .ESSEORGREPREOK
621 l’tER
531 MER EMMUS=6X X(J), EMMUS=6Y )JeY
651 MER EMMUS=lS XeJ)t2, EMMUS=2S YeJ)t2
561 MER EMMUS=3S XeJ)*yeJ)
63:1 l’tER
591 DAER b•I 6R
612 ATAD 113:.1(cid:128),6
522 DAER X6,Y6,SI,S2,S3
632 ATAD 6,0,6,6,6
64::;; ROF 1=J OT
(cid:0)t(cid:0)•(cid:0)~(cid:0)
552 DAER X[J],Y[JJ
672 TEL ]J[X+6X=6X
53:2 TEL ]J[Y+6Y=6Y
003 TEL Sl=Sl+X[J]t2
513 TEL S2=S2+Y[J]t2
033 TEL S3=S3+X[JJ*Y[JJ
543: J
(cid:0)~(cid:0)l(cid:0)E(cid:0)>(cid:0)n(cid:0)
663 ATAD 56.2,15:3,59.3,161,65.1,174
563 ATAD 74.:3,176,:35.3,179,913.6,1:34
573: 1iER
3193 MER GNUNHCEREB SED NETNEIZIFFEOKSNOITALERROK R
564 TEL N/0Y*BX-3S=R
3124 TEL R=R/SQRe(SI-X6t2/N)*eS2-Y6t2/N»
534 l’tER
654 RP HU HtBEGRE" "S
564 HtIRP "----.----"
1(cid:128)3:4 RP I TN
53:4 R=INTeR*IBt4+6.5)/IBt4
594 HURP :.F :’1;"=
(cid:0)"(cid:0)K(cid:0)O(cid:0)R(cid:0)R(cid:0)E(cid:0)L(cid:0)A(cid:0)T(cid:0)I(cid:0)O(cid:0)t(cid:0)~(cid:0)S(cid:0)K(cid:0)O(cid:0)E(cid:0)F(cid:0)F(cid:0)I(cid:0)Z(cid:0)I(cid:0)E(cid:0)t(cid:0)H(cid:0)
3115 MER ,TSET BO TNAKIFINGIS
525 FI R)BR NEHT 595
3145 MER :TNAKIFINGIS
555 HHRP SSUl’l EID "THCHt
(cid:0)"(cid:0)1(cid:0)’(cid:0)l(cid:0)A(cid:0)I(cid:0)~(cid:0) (cid:0)~(cid:0)l(cid:0)U(cid:0)L(cid:0)L(cid:0)H(cid:0)’(cid:0)y(cid:0)’(cid:0)P(cid:0)O(cid:0)T(cid:0)H(cid:0)E(cid:0)S(cid:0)E(cid:0) (cid:0)E(cid:0)H(cid:0)~(cid:0)E(cid:0)R(cid:0)
3175 RP HtI "D<I T;::: I l•IEDlH.FE L (cid:0)H(cid:0)~(cid:0)E(cid:0)A(cid:0)R(cid:0)E(cid:0)t(cid:0)~(cid:0) ITALERRO::f HO 11 "TI
RP Hn E" :.FElH I AIvSl’IUT:.F:.F EHCS::FH EKHC TI ’WOV
(cid:0)5(cid:0)8(cid:0)~(cid:0)3(cid:0) (cid:0)H(cid:0)~(cid:0)L(cid:0)I(cid:0)
585 RP HtI AHPLA" ELG I HC 0. 531 EI.J::fCEURUZ I .I-tES "
OTOG 516
(cid:0)5(cid:0)’(cid:0)~(cid:0)6(cid:0)
595 HtIRP THCHt"
(cid:0)S(cid:0)I(cid:0)G(cid:0)t(cid:0)H(cid:0)F(cid:0)I(cid:0)K(cid:0)A(cid:0)~(cid:0)H(cid:0)"(cid:0)
516 DNE
S I
(cid:0)E(cid:0)R(cid:0)G(cid:0)E(cid:0)B(cid:0)~(cid:0)1(cid:0)
TNEIZIFFEOKSNOITALERROK R = 6.9483
NAM SSUM EID ESEHTOPYHLLUN RENIE THCIN
NEDNEREITSIXE NERAENIL NOITALERROK TIM
RENIE TIEKHCILNIEHCSRHAWSMUTRRI NOV
AHPLA HCIELG 6.65 .NESIEWKCEURUZ
- 69 -
3.8 Die Einweg - Varianzanalyse
sE liegen k unabhangige Stichproben mit den ›mU
fangen n i (i=1,2, (cid:149)(cid:149)(cid:149) ,k) vor. Die k Stichproben
seien BuaG - Verteilungen (oder wenigstens ein›
gipfelig - symmetrischen Verteilungen) mit gleicher,
aber unbekannter Varianz entnommen. Mit der Einweg›
Varianzanalyse kann nam die k Mittelwerte der
(cid:0)~(cid:0)i(cid:0)
BuaG - verteilten Populationen vergleichen.
Sei x. . der j-te Wert der i-ten Stichprobe und
(cid:0)~(cid:0)J(cid:0)
k .
n = :L n l die Anzahl aller Stichprobenelemente. Die
1=1
Durchschnitte der einzelnen Stichproben ergeben sich
nach med folgenden Ausdruck:
x. l.. = (i 1= ,2, (cid:149)(cid:149)(cid:149) ,k)
Die Notation ..lx bedeutet Summation der x .. tiber den
(cid:149) n• l.J
.l _ 1
zweiten Index: x. = 6 x .. ; x• = _•x .(cid:149) Der Gesamt-
l.. j=1 (cid:0)~(cid:0)J(cid:0) l.. n i 1.-
durchschnitt berechnet sich nach der Formel
x . . = 1 L k n" i x .. = 1 :Lk n. •x.
n i=1 j L.J 1= l.J n i=1 .l .l (cid:149)
In der Einweg - Varianzanalyse wird die emmuS der
Abweichungsquadrate der Stichprobenwerte
(cid:0)S(cid:0)~(cid:0)o(cid:0)t(cid:0)a(cid:0)l(cid:0)
x ..
mu den Gesamtdurchschnitt in zwei Anteile zer›
legt, namlich in die emmuS der Abweichungsquadrate
SQinnerhalb der Stichprobenwerte innerhalb der
Gruppen mu die Gruppendurchschnitte xi. und die
emmuS der Abweichungsquadrate SQzwischen der
- 79 -
Gruppendurchschnitte xi. mu den Gesamtdurchschnitt
x (cid:149)(cid:149)
k n i _ 2 k n i k
:L :L (x .. -x ) = ;:z :L (x .. -i:. )2 + :L n. .x( -i: )2
i=1 j=1 i=1 j=1 i=1
1J (cid:149)(cid:149) 1J 1- 1 1• (cid:149)(cid:149)
(S’ttotal = S%nnerhalb + SQzwischen )
mit den Freiheitsgraden
n-1 = n-k + k-1
nneW aIle Gruppen derselben Grundgesamtheit ent›
stammen (wenn also die Mittelwerte (cid:0)~(cid:0)i(cid:0) aIle gleich
sind; die Varianzen wurden schon als gleich voraus›
gesetzt), so sind die Varianzen
k n i
2 = 1 L :L (x .. _ .x )2 und
sinnerhalb
n-k i=1 j=1 1J 1•
k
2 = 1 L n. C x. - x -)2 ungefShr gleich.
szwischen k-1 i=1 .1 1.. (cid:149) (cid:149)
2
naM berechnet die PrufgroBe F = szwischen 2 mit den
sinnerhalb
Freiheitsgraden GHF 1 = k-1 und GHF 2 = n-k und der
Irrtumswahrscheinlichkeit a und pruft die Nullhypo›
these (cid:0)H(cid:0)O(cid:0)((cid:0)~(cid:0)1(cid:0) = 2.J1 = (cid:149)(cid:149)(cid:149) = )k.JI mit der F- Verteilung.
Die Nullhypothese wird abgelehnt, nnew Fberechnet>
F k - 1 ,n-k a. Dies bedeutet, Bad die Alternativhypo›
these (cid:0)H(cid:0)1(cid:0)~(cid:0)I(cid:0)I(cid:0)E(cid:0)S(cid:0) gibt mindestens zwei Werte i,j:S k, fur
die lJ.i;’ .JI j ") akzeptiert werden .Bum
- 89 -
Bemerkungen
nneW k = 2 ist, nnew also nur zwei unabhangige
Stichproben vorliegen, ist die Einweg - Varianz›
analyse mit med Zweistichproben - t - Test, auf den
hier nicht weiter eingegangen wurde, identisch.
Vergleiche hierzu auch Abschnitt 3.4 und insbe›
sondere die Bemerkung aus Abschnitt 3.5.
Zur Prufung der Gleichheit der Varianzen kann nam
den Bart 1 ett - eT st verwenden (vgl. Sachs [19]).
muZ weiteren Vergleich der k Gruppen kann nam die
Tests von Scheffe, von Student, namweN und Keuls
oder von Tukey verwenden (vgl. u.a. Sachs [19]).
Auf diese Tests wird hier nicht weiter eingegangen.
Beispiel
Ein Internist untersucht den Blutzuckergehalt
einer Gruppe von n 1 = 11 klinisch unauffalligen
Personen (Kontrollgruppe), einer Gruppe von (cid:0)~(cid:0) = 9
Diabetikern und einer Gruppe von n3 = 10 Patienten
mit Morbus Cushing. Dabei geht er von der (be›
rechtigten) emhannA aus, Bad der Blutzuckergehalt
in der Population eingipfelig und symmetrisch ver›
teilt ist. hcaN der Prufung der Gleichheit ›omoH(
genitat) der Varianzen mochte er statistisch
test en, bo sich die drei Gruppen bezuglich des
mittleren Blutzuckergehaltes unterscheiden. uZ
diesem kcewZ wendet er die Einweg-Varianzanalyse
an und testet an der Signifikanzschwelle tc = 0.01.
- 99 -
Es wurden folgende Werte beobachtet (in mc001/gm 3 ):
Kontrolle Diabetes M.Cushing
99 150 120
111 144 142
98 165 115
119 160 150
19 -401 125
118 170 134
109 143 155
99 160 130
115 147 121
109 141
94
Bemerkung
Die errechnete PrlifgroBe in dies me Beispiel ist
F = 50.35 und ist groBer als der Tabellenwert
F 2 ,27,0.01 = 5.49. Die Nullhypothese, Bad der
mittlere Blutzuckergehalt in den drei Populati-
onen, aus denen die Stichproben nemmoneg wurden,
gleich ist, Bum mit einer Irrtumswahrscheinlich›
keit von 10 = 0.01 zurlickgewiesen werden.
- 100 -
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06 MER ,EPPURG N(I) NERED "GNAFMU K TS1 EID (cid:0)~(cid:0)N(cid:0)Z(cid:0)A(cid:0)H(cid:0)L(cid:0) RED
70 MER ,NEPPUPG UN TS1 RED GNAFMUTMASEG PED ,EBORPHCITS
80 MER UD TS1 RED TTINHCSHCFUDTMASEG ?iED ErREW
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UOl MER NESELNIE RED :NETAD
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032 TEL JI[D+OD=OD
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