Bases de Gröbner: Aplicaciones a la codificación algebraica

137 Pages·2007·0.72 MB·Spanish

by  Edgar Martínez Moro

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M BASES DE GRÖBNER:
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A APLICACIONES A LA CODIFICACIÓN
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Edgar Martínez Moro
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DI Diego Ruano Benito
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Ediciones IVIC E
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MÉRIDA, VENEZUELA, 2 AL 7 DE SEPTIEMBRE DE 2007
XX ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMA´TICAS
bases de gro¨bner:
aplicaciones a la
codificacio´n algebraica
Edgar Mart´ınez Moro
Carlos Munuera G´omez
Dpto. Matem´atica Aplicada, Universidad de Valladolid
[email protected], [email protected]
Diego Ruano Benito
Fachbereich Mathematik, Technische Universita¨t Kaiserslautern
[email protected]
ME´RIDA, VENEZUELA, 2 AL 7 DE SEPTIEMBRE DE 2007
XX ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMA´TICAS
La Escuela Venezolana de Matem´aticas es una actividad de los postgra-
dos en matem´aticas de las instituciones siguientes: Centro de Estudios
Avanzados del Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas, Fa-
cultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela, Facultad de
Ciencias de la Universidad de Los Andes, Universidad Sim´on Bol´ıvar,
UniversidadCentroccidentalLisandroAlvaradoyUniversidaddeOrien-
te,yserealizabajoelauspiciodelaAsociaci´onMatem´aticaVenezolana.
LaXXESCUELAVENEZOLANADEMATEMA´TICASrecibi´ofinanciamiento
de la Academia de Ciencias F´ısicas, Matem´aticas y Naturales, la Corpo-
raci´on Andina de Fomento (CAF), el Fondo Nacional de Ciencia, Tec-
nolog´ıa e Innovaci´on (FONACIT), la Fundaci´on TALVEN, el Instituto
Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas (Departamento de Matem´ati-
cas y Ediciones IVIC), la Universidad de los Andes (CEP, CDCHT,
Facultad de Ciencias y Departamento de Matem´aticas) y el Rectorado
de la Unversidad Centroccidental Lisandro Alvarado.
2000 Mathematics Subject Classification: 13P10, 94B05, 20B40.
(cid:176)cEdiciones IVIC
Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas
Bases de Gr¨obner: aplicaciones a la codificaci´on algebraica
Edgar Mart´ınez Moro, Carlos Munuera G´omez y Diego Ruano Benito
Disen˜o y edici´on: Escuela Venezolana de Matem´aticas
Preprensa e impresi´on: Editorial Texto
Dep´osito legal lf66020076002491
ISBN 978-980-261-087-7
Caracas, Venezuela
2007
iii
Prefacio
En los u´ltimos an˜os nuestra habilidad para manipular sistemas de
ecuaciones expresadas mediante polinomios ha experimentado algunas
transformaciones cruciales. Comenzando con el descubrimiento de las
bases de Gr¨obner por B. Buchberger a finales de los an˜os 60 [Buc70] y
apoyado por el espectacular crecimiento de las capacidades de los or-
denadores modernos muchas herramientas de la geometr´ıa algebraica
cl´asica han ganado una gran importancia y, a su vez, la han hecho m´as
asequibleyaplicable.Recientemente,lasbasesdeGr¨obnerhansidoapli-
cadas en multitud de problemas por su capacidad de resolver sistemas
de ecuaciones polinomiales y como modelo algebraico de computaci´on.
No es casualidad que en el mismo periodo, desde el art´ıculo seminal
deC. Shannonen 1948[Sha48], muchasherramientasdel ´algebraaplica-
da han sido aprovechadas para encontrar c´odigos correctores de errores
con buenas propiedades y para implementar esquemas de codificaci´on y
descodificaci´on de los mismos.
Este transcurrir de ambas disciplinas ha proporcionado diversas y
fruct´ıferas colaboraciones entre ellas hasta la actualidad, donde las in-
teracciones mutuas son mu´ltiples. Por este motivo proponemos el curso
titulado
Bases de Gr¨obner: aplicaciones a la codificaci´on algebraica
dictado en la XX Escuela Venezolana de Matem´aticas como una in-
troducci´on a la investigaci´on matem´atica en la codificaci´on algebraica
moderna de suma utilidad para aquellos investigadores y alumnos que
eventualmente deseen comenzar a trabajar en dicho campo.
Los docentes del curso han venido realizando su trabajo de investi-
gaci´on en este ´area y cuentan con m´as de una cincuentena de art´ıculos
internacionales de investigaci´on en la misma.
iv
Objetivos del curso
Introducir las t´enicas algebraicas b´asicas de bases de Gr¨obner ne-
cesarias para la comprensi´on de la situaci´on actual en la teor´ıa de
c´odigos.
Mostrar las principales aplicaciones de las bases de Gr¨obner en la
teor´ıa de la codificaci´on, tanto en su parte estructural como en los
procesos de codificaci´on y descodificaci´on.
Mostrar algunas l´ıneas de trabajo en la interacci´on de ambas dis-
ciplinas, tanto en el marco te´orico como aplicado.
Prerrequisitos y notas al lector
Elcursopuede serseguidoteniendoun conocimientob´asicodeestruc-
turas algebraicas que comprenda cuerpos finitos, anillos de polinomios y
´algebra conmutativa b´asica. Tambi´en ser´ıa conveniente (aunque no ne-
cesario) conocer una introducci´on de bases de Gr¨obner y de codificaci´on
algebraica para poder profundizar m´as en el contenido del curso. Este
m´ınimo se puede alcanzar con una lectura previa al curso del cap´ıtulo
2 “Groebner bases”(pp. 47–73) del libro [CLO97] y el cap´ıtulo 2 “Error
detection,correctionanddecoding”(pp.5–14)de[LX04]otextossimila-
res, o bien los dos primeros cap´ıtulos de estas notas que ser´an repasados
de forma somera durante el comienzo del curso.
Hemos tratado que estas notas sean lo m´as autocontenidas posible,
no obstante, dada la extensi´on del curso a impartir el la XX Escuela Ve-
nezolana de Matem´aticas se hacen llamadas a resultados que no est´an
cubiertos en las notas y que han sido suplidos con la correspondiente bi-
bliograf´ıa.Tambi´en,alserlatem´aticamuyamplia,hayrelaccionesentre
las bases de Gr¨obner y c´odigos correctores de errores que no han podido
sertratadoscomoporejemploeltratamientodelosc´odigosquasi-c´ıclicos
olosc´odigos´algebro-geom´etricosyotrosquenohansidotratadosconla
profundidad deseada. Algunas secciones marcadas con (?) no han sido
cubiertas durante el curso pero nos han parecido pertinente incluirlas
para una lectura posterior.
v
Agradecimientos
Los autores desean agradecer a La Escuela Venezolana de Matem´ati-
cas y todas las organizaciones que la auspician la invitaci´on para dictar
este curso y la ayuda brindada para la elaboraci´on de este material.
Este agradecimiento se extiende de forma particular a Stella Brasesco
presidenta del comit´e organizador de la XX Escuela Venezolana de Ma-
tem´aticas.
Septiembre de 2007
Los autores
vi
´
Indice general
Prefacio III
1. Introducci´on a las bases de Gr¨obner 1
1.1. Primer contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. O´rdenes monomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Bases de Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. El algoritmo de Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Introducci´on a la eliminaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. A´lgebras de dimensi´on finita . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. C´odigos correctores de errores 21
2.1. La informaci´on y los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. La informaci´on digital . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2. C´odigos correctores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. C´odigos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Matriz generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Matriz de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4. Descodificaci´on de los c´odigos lineales . . . . . . . 32
2.3. C´odigos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1. Noci´on de c´odigo c´ıclico . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2. Matrices generatriz y de control. . . . . . . . . . . 38
2.3.3. Ceros de un c´odigo c´ıclico . . . . . . . . . . . . . . 40
vii
viii ´INDICE GENERAL
2.3.4. Descodificaci´on de los c´odigos c´ıclicos . . . . . . . 41
2.3.5. Captura del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.6. Errores a r´afagas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4. C´odigos BCH y RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1. Construcci´on y par´ametros . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2. Descodificaci´on de los C´odigos BCH . . . . . . . . 48
2.4.3. C´odigos de Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5. C´odigos polinomiales (?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.1. C´odigos Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.2. C´odigos Reed-Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.3. C´odigos algebraico-geom´etricos . . . . . . . . . . . 57
2.6. Funciones orden, c´odigos de evaluaci´on (?) . . . . . . . . . 59
2.6.1. Ordenes y pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.2. Los c´odigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3. Descodificaci´on y eliminaci´on 63
3.1. La variedad s´ındrome de un c´odigo c´ıclico . . . . . . . . . 64
3.1.1. Descodificaci´on por la variedad s´ındrome . . . . . 69
3.1.2. T´ecnicas FGLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2. C´odigos de evaluaci´on sobre variedades afines . . . . . . . 74
3.2.1. Descodificaci´on mediante bases de Gr¨obner . . . . 76
3.2.2. C´alculo previo de los localizadores de errores . . . 79
3.3. Transformada de Matson-Solomon (?) . . . . . . . . . . . 81
3.3.1. C´odigos semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2. Ideal generador de un c´odigo semisimple . . . . . . 86
3.3.3. Codificaci´on y descodificaci´on . . . . . . . . . . . . 87
4. La ecuaci´on clave 89
4.1. Bases de Gr¨obner sobre m´odulos . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2. Soluci´on de la ecuaci´on clave . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5. El ideal asociado a un c´odigo 107
5.1. La representaci´on de Gr¨obner de un c´odigo . . . . . . . . 107
5.2. El ideal binomial asociado a un c´odigo . . . . . . . . . . . 113
5.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bibliograf´ıa 117
1
Cap´ıtulo
Introducci´on a las bases de
Gr¨obner
Las bases de Gr¨obner son una herramienta fundamental y b´asica en
muchos aspectos del ´algebra computacional. En este cap´ıtulo mostrare-
mos una breve introducci´on a la teor´ıa de las bases de Gr¨obner forzo-
samente sesgada, por motivos de tiempo y espacio, hacia aquellos as-
pectos m´as relacionados con otras partes del texto. Existe varias refe-
rencias excelentes sobre bases de Gr¨obner y sus aplicaciones tales como
[AL96, BW93, CLO97, CLO05, GP02, Win96] y una recopilaci´on te´ori-
ca en [Mor05]. Este cap´ıtulo sigue en gran parte el primer cap´ıtulo de
[AL96] y de [CLO97].
1.1. Primer contacto
A lo largo de de todas las notas denotaremos porR = K[x ,...,x ] =
1 n
K[x]alanillodepolinomiossobreelcuerpoK.Lamayorpartedeltiempo
nuestro cuerpo ser´a un cuerpo finito de caracter´ıstica p, con p primo, y
lo denotaremos por F donde q = pl y l es un entero mayor que 0 (V´ease
q
[LN86] para una introducci´on a los cuerpos finitos y sus aplicaciones).
Un subconjunto no vacio I ⊆ R es un ideal de R si es cerrado bajo la
suma de polinomios (esto es, es un subgrupo aditivo) y es cerrado por
la multiplicaci´on de elementos de R (esto es, si f ∈ R, g ∈ I entonces
fg ∈ I). Diremos que el ideal I esta´ finitamente generado si existen
1