BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada

33 Pages·2016·0.92 MB·Indonesian

by  Gunawan Eko Wibowo

BAB II
KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab
selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
yang diuraikan berupa definisi-definisi dan teorema. Adapaun materi-materi yang
digunakan yaitu sistem persamaan differensial, model predator-prey Lotka-
Voltera, fungsi respon, titik ekuilibrium, linearisasi sistem persamaan nonlinear,
nilai eigen, vektor eigen, analisis kestabilan dan orbit periodik.
A. Persamaan Differensial
Definisi 2.1 (Ross, 1989:1)
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang menyertakan turunan dari
satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Berdasarkan banyaknya variabel bebas yang disertakan dalam persamaan,
persamaan differensial diklasifikasikan menjadi dua jenis yaitu persamaan
differensial biasa dan persamaan differensial parsial.
Definisi 2.2 (Ross, 1989:2)
Persamaan differensial biasa adalah suatu persamaan differensial yang
menyertakan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel
bebas.

8
Contoh 2.1
Contoh dari persamaan differensial biasa.
𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2
+𝑥𝑦( ) −3𝑦 = 0 2.1
𝑑𝑥2 𝑑𝑥
𝑑3𝑦 𝑑2𝑦
+3 +5𝑦 = sin𝑡 2.2
𝑑𝑡3 𝑑𝑡2
Persamaan (2.1) merupakan persamaan differensial orde dua dan persamaan
(2.2) merupakan persamaan differensial orde tiga. Variabel y pada Persamaan (2.1)
merupakan variabel tak bebas sedangkan variabel x merupakan variabel bebas
tunggal sedangkan pada persamaan (2.2) variabel y merupakan variabel tak bebas
dan variabel t merupakan variabel bebas.
Definisi 2.3 (Ross, 1989:2)
Persamaan differensial parsial adalah persamaan differensial yang menyertakan
turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel
bebas.
Contoh 2.2
Contoh dari persamaan differensial parsial,
𝜕𝑣 𝜕𝑣
+ = 𝑣 2.3
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕2𝑣 𝜕2𝑣 𝜕2𝑣
+ + = 0 2.4
𝜕𝑥2 𝜕𝑦2 𝜕𝑧2
9
Persamaan 2.3 merupakan persamaan differensial orde satu dan persamaan 2.4
merupakan persamaan differensial orde dua. Pada persamaan (2.3) dan (2.4)
variabel v merupakan variabel tak bebas sedangkan variabel x dan y pada persamaan
(2.3) variabel x,y dan z pada persamaan (2.4) merupakan variabel bebas.
B. Sistem Persamaan Differensial
Kumpulan dari beberapa persamaan differensial disebut sistem persamaan
differensial. Diberikan suatu sistem persamaan differensial sebagai berikut:
𝑥̇ = 𝑓 (𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 ),
1 1 1 2 3 𝑛
𝑥̇ = 𝑓 (𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 ),
2 2 1 2 3 𝑛
𝑥̇ = 𝑓 (𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 ), 2.5
3 3 1 2 3 𝑛
⋮
𝑥̇ = 𝑓 (𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 )
𝑛 𝑛 1 2 3 𝑛
Sistem (2.5) dapat ditulis menjadi
𝑥̇ = 𝑓(𝑥) 2.6
dengan,
vektor 𝑥 = (𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 )𝑇 ∈ 𝐸, 𝐸 ⊆ ℝ𝑛. 𝑓:𝐸 → ℝ𝑛 dengan 𝑓 =
1 2 3 𝑛
(𝑓 ,𝑓 ,𝑓 ,…,𝑓 )𝑇 dan 𝑓 ∈ 𝐶′(𝐸). Sistem persamaan differensial pada dasarnya
1 2 3 𝑛
terbagi menjadi sistem persamaan differensial linear dan sistem persamaan
differensial nonlinear.

1. Sistem persamaan differensial linear
10
Secara umum bentuk sistem persamaan differensial orde satu dengan variabel
tak bebas 𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 serta variabel bebas t dapat dinyatakan sebagai berikut,
1 2 3 𝑛
𝑥̇ = 𝑎 (𝑡)𝑥 +𝑎 (𝑡)𝑥 +⋯+𝑎 (𝑡)𝑥 +𝐹 (𝑡)
1 11 1 12 2 1𝑛 𝑛 1
𝑥̇ = 𝑎 (𝑡)𝑥 +𝑎 (𝑡)𝑥 +⋯+𝑎 (𝑡)𝑥 +𝐹 (𝑡)
2 21 1 22 2 2𝑛 𝑛 2
𝑥̇ = 𝑎 (𝑡)𝑥 +𝑎 (𝑡)𝑥 +⋯+𝑎 (𝑡)𝑥 +𝐹 (𝑡)
3 31 1 32 2 3𝑛 𝑛 3
⋮
𝑥̇ = 𝑎 (𝑡)𝑥 +𝑎 (𝑡)𝑥 +⋯+𝑎 (𝑡)𝑥 +𝐹 (𝑡) 2.7
𝑛 𝑛1 1 𝑛2 2 𝑛𝑛 𝑛 𝑛
Jika 𝐹(𝑡) dengan 𝑖 = 1,2,3,4…𝑛 bernilai nol maka sistem (2.7) merupakan
𝑖
sistem persamaan differensial linear homogen, sedangkan jika 𝐹(𝑡) ≠ 0 maka
𝑖
sistem (2.7) merupakan sistem persamaan differensial linear nonhomogen (Ross,
1989:285). Sitem (2.7) dapat ditulis dalam bentuk
𝑥̇ = 𝐴𝑥+𝐹(𝑡) 2.8
𝑥 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝐹 (𝑡)
1 11 12 1𝑛 1
dengan 𝑥 = [𝑥2], 𝐴 = [𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛] dan 𝐹(𝑡) = [𝐹1(𝑡)].
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑥𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 𝐹𝑛(𝑡)
Jika 𝐹(𝑡) = 0, maka didapatkan sistem persamaan linear homogen
𝑥̇ = 𝐴𝑥 2.9
dengan vektor 𝑥 = (𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 )𝑇 dan A adalah matriks ukuran 𝑛×𝑛 yang
1 2 3 𝑛
entri-entrinya adalah bilangan real.
Contoh 2.3
Contoh dari sistem persamaan diferensial linear homogeny,
𝑑𝑥
= 9𝑥 +2𝑦−3𝑧
𝑑𝑡
11
𝑑𝑦
= 5𝑥 −4𝑦+𝑧 2.10
𝑑𝑡
𝑑𝑧
= 7𝑥 −3𝑦 +2𝑧
𝑑𝑡
2. Sistem persamaan differensial nonlinear
Sistem persamaan differensial dikatakan nonlinear jika ada persamaan
penyusunnya yang merupakan persamaan differensial nonlinear.
Persamaan diferensial dikatakan nonlinear jika persamaan diferensial tersebut
memenuhi paling sedikit satu dari kriteria berikut ini (Ross, 1984: 6):
a. Memuat variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya berpangkat selain
satu. Contoh: 𝑑𝑥 = 𝑡2 −5𝑥
𝑑𝑡
b. Terdapat perkalian pada variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya.
Contoh : 𝑑𝑥 = 𝑥𝑡2 +8𝑡 −3𝑥
𝑑𝑡
c. Terdapat fungsi yang memuat vaiabel tak bebas dan tidak dapat diperoleh
melalui behingga operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian dan
perkalian (fungsi transedental dari variabel tak bebas) dan turunan-
𝑑𝑥
turunannya. Contoh: = 𝑥+sin𝑡
𝑑𝑡
Contoh 2.4
Contoh sistem persamaan differensial nonlinear,
𝑑𝑥
= 5𝑥 −𝑥𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= −3𝑦+2𝑥𝑦 2.11
𝑑𝑡
12
C. Model Matematika Predator-Prey Lotka-Voltera dan Fungsi Respon
Persamaan Lotka-Volterra, juga dikenal sebagai sistem persamaan
predator-prey karena persamaan ini menyatakan interaksi antara satu jenis predator
dan satu jenis prey. Bentuk persamaan ini berupa sepasang persamaan differensial
orde pertama dan non-linear. Persamaan ini adalah persamaan yang masih
sederhana dengan asumsi dasar dari persamaan Lotka-Voltera yaitu populasi
mengalami pertumbuhan dan peluruhan secara exponensial. Berikut sistem
persamaan Lotka-Voltera (Verhulst,1990:180 ):
𝑑𝑥
= 𝑥(𝑟−𝛼𝑦) 2.12
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 𝑦(𝛽𝑥−𝑠) 2.13
𝑑𝑡
Dalam dinamika populasi, fungsi respon mengacu pada peningkatan populasi
pemangsa atau pengurangan populasi mangsa saat terjadi interaksi. Fungsi respon
predator adalah tingkat predasi (daya makan) predator terhadap jumlah
makanan/mangsa (Holling, 1959:293-230). Sehingga fungsi respon berkaitan erat
dengan peningkatan populasi predator atau pengurangan populasi prey saat saling
berinteraksi. Pada tahun 1913, Michaelis dan Menten memperkenalkan sebuah
fungsi respon dan pada tahun 1959, Holling menggunakan fungsi respon ini sebagai
salah satu fungsi respon predator. Holling memperkenalkan 3 fungsi respon, yaitu
fungsi respon tipe I, fungsi respon tipe II dan fungsi respon tipe III (Ruan,S dan
Xiao,D, 2001).
13
Fungsi respon tipe I terjadi pada predator dengan karakteristik pasif, dimana
ketika populasi mangsa meningkat maka daya konsumsi predator pun meningkat.
Contoh predator fungsi respon tipe I adalah laba-laba dengan serangga sebagai
mangsa. Misal fungsi respon dinotasikan dengan 𝑝(𝑥) maka persamaan fungsi
respon tipe I adalah (Ruan,S dan Xiao,D, 2001)
𝑝(𝑥) = 𝑚𝑥.
Fungsi respon tipe II terjadi pada predator dengan karakteristik aktif dalam
mencari mangsa dan predator memerlukan waktu untuk mencerna mangsa. Contoh
predator fungsi respon tipe II adalah serigala dengan karibu sebagai prey.
Persamaan fungsi respon tipe II adalah (Ruan,S dan Xiao,D, 2001)
𝑚𝑥
𝑝(𝑥) = .
𝑎+𝑥
Fungsi respon tipe III terjadi pada predator yang cenderung akan mencari
populasi prey lain ketika populasi prey yang dimakan mulai berkurang. Contoh
predator fungsi respon tipe III adalah rusa tikus (mice deer) dengan kepompong
kupu-kupu sebagai prey. Persamaan fungsi respon tipe III adalah (Ruan,S dan
Xiao,D, 2001)
𝑚𝑥2
𝑝(𝑥) = .
𝑎2 +𝑥2
Ketiga fungsi respon tersebut merupakan fungsi monoton naik. Berikut
grafik dari ketiga fungsi respon tersebut (Ruan,S dan Xiao,D, 2001)
14
type 3
type 1
𝑝(𝑥)
type 2
𝑥
Gambar 2.1 Grafik Tiga Fungsi Respon Holling
Selain ketiga fungsi respon monoton yang telah dikemukakan oleh Holling,
menurut S. Ruan dan D. Xiao (2001), Monod dan Haldane menambahkan satu
fungsi respon hasil penelitiannya. Fungsi respon ini didasari oleh adanya Interaksi
antara predator dan prey yang tidak monoton, yaitu saat jumlah populasi mangsa
meningkat, daya predasi pemangsa berkurang karena adanya sifat bertahan dari
mangsa. Contoh interaksi seperti ini adalah singa dan banteng, ketika jumlah
banteng sedikit maka tingkat konsumsi singa cenderung meningkat, namun ketika
jumlah banteng meningkat sehingga pertahanan hidup kelompok banteng pun
meningkat maka tingkat predasi singa menurun.
Contoh lainnya adalah proses pada penjernihan air. Salah satu cara
menjernihkan air adalah dengan memasukkan tawas ke dalam air tersebut
membunuh sejumlah bakteri dalam air. Ketika bakteri dalam jumlah tertentu
tawas dengan jumlah tertentu, dapat dengan mudah membunuh (memangsa)
bakteri tersebut. Namun, ketika bakteri semakin banyak tawas akan semakin sulit
membunuh bakteri, dan saat bakteri mencapai jumlah tertentu daya predasi tawas
15
terhadap bakteri cenderung semakin menurun. Persamaan fungsi respon tipe
Monod-Haldane adalah (Ruan,S dan Xiao,D, 2001)
𝑚𝑥
𝑝(𝑥) =
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐
Menurut Shigui Ruan dan Dongmei Xiao, Sokol dan Howell (1980) juga
meneliti tentang predator-prey yang bersifat tak monoton. Dalam penelitiannya,
Sokol dan Howell menyatakan fungsi Monod-Haldane dalam bentuk yang lebih
sederhana, yaitu (Ruan,S dan Xiao,D, 2001)
𝑚𝑥
𝑝(𝑥) =
𝑎 +𝑥2
Sokol dan Howell menyatakan bahwa model fungsi respon mereka secara
signifikan lebih baik dan lebih sederhana karena hanya melibatkan dua parameter.
Berikut grafik fungsi respon tak monoton (Ruan,S dan Xiao,D, 2001)

Gambar 2.2 Grafik Fungsi Respon Tak Monoton.
D. Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium atau titik kritis merupakan solusi dari sistem 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) yang
tidak mengalami perubahan terhadap waktu. Definisi tentang titik ekuilibrium akan
dijelaskan pada Definisi (2.5) berikut ini,
16
Definisi 2.5 (Perko, 2001: 102)
Titik 𝑥̅ ∈ ℝ𝑛 disebut titik ekuilibrium atau titik kritis dari sistem 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) jika
𝑓(𝑥̅) = 0.
Contoh 2.5
Akan dicari titik ekuilibrium dari sistem berikut ini,
𝑥̇ = 2𝑥 −2𝑥 𝑥
1 1 1 2
𝑥̇ = 2𝑥 −𝑥2 +𝑥2 2.15
2 2 1 2
Penyelesaian:
Misalkan 𝑥̅ = (𝑥̅ ,𝑥̅ )𝑇 adalah titik ekuilibrium dari Sistem (2.15) maka
1 2
2𝑥 −2𝑥 𝑥 = 0 2.16
1 1 2
2𝑥 −𝑥2 +𝑥2 = 0 2.17
2 1 2
Dari persaaan (2.16) didapatkan
2𝑥 (1−𝑥 ) = 0
1 2
⇔ 𝑥̅ = 0 atau 𝑥̅ = 1
1 2
Substitusi 𝑥̅ = 0 ke persamaan (2.17) sehingga didapatkan
1
𝑥 (2+𝑥 ) = 0
2 2
⇔ 𝑥̅ = 0 atau 𝑥̅ = −2
2 2
Substitusi 𝑥̅ = 1 ke persamaan (2.17) sehingga didapatkan
2
2−𝑥2 +1 = 0 ⇔ 𝑥2 = 3
1 1
⇔ 𝑥̅ = −√3 atau 𝑥̅ = √3
1 1
17