BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem ...

32 Pages·2016·0.38 MB·Indonesian

BAB II
KAJIAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem
dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan
sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz, bifurkasi, teori center manifold, dan
vektor eigen tergeneralisasi.
A. Nilai Eigen, Vektor Eigen, Kebebasan Linear, dan Diagonalisasi
Penentuan nilai eigen dan vektor eigen sangat diperlukan untuk mencari
solusi dari suatu sistem dinamik linear. Nilai eigen dan vektor eigen juga
diperlukan dalam menentukan sifat kestabilan dari suatu sistem dinamik.
Definisi 2.1 (Anton, 1995 : 277)
Jika merupakan matriks yang berukuran , maka vektor taknol di dalam
dinamakan vektor eigen dari jika memenuhi persamaan

dengan adalah suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen
(eigenvalue) dari dan dikatakan vektor eigen (eigenvector) yang bersesuaian
dengan .
6
Nilai eigen dari matriks yang berukuran diperoleh dari
atau dapat ditulis sebagai . Persamaan tersebut secara ekuivalen dapat
ditulis kembali menjadi

dengan adalah matriks identitas. Persamaan (2.2) mempunyai penyelesaian
taktrivial jika dan hanya jika
| |
Persamaan (2.3) dinamakan persamaan karakteristik dari matriks .
Contoh 2.1
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut ini.

[ ]

Berdasarkan persamaan (2.3) maka diperoleh
| |

| |

sehingga persamaan karakteristiknya adalah

sehingga berdasarkan persamaan (2.4) diperoleh nilai eigen dari matriks yaitu
, , dan

Berdasarkan Definisi 2.1, vektor eigen dari matriks adalah penyelesaian
taktrivial dari , yaitu
7
[ ][ ] [ ]

Untuk , maka (2.5) menjadi

[ ][ ] [ ]

Sistem (2.6) ekuivalen dengan persamaan berikut :

Berdasarkan (2.7) diperoleh penyelesaian dari sistem (2.6) adalah , dan

. Misalkan , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah

[ ]

Untuk , maka (2.5) menjadi

[ ][ ] [ ]

Sistem (2.9) ekuivalen dengan persamaan berikut :

Berdasarkan (2.10) diperoleh penyelesaian dari sistem (2.9) adalah dan

. Misalkan , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah

[ ]

8
Untuk , maka (2.5) menjadi

[ ][ ] [ ]

Sistem (2.12) ekuivalen dengan persamaan berikut :

Berdasarkan (2.13) diperoleh penyelesaian dari sistem (2.12) adalah dan

. Misalkan , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah

[ ]

Berdasarkan (2.8), (2.11), dan (2.14) maka vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah [ ], [ ], dan [ ].

Definisi 2.2 (Anton, 1995:284)
Matriks yang berukuran dikatakan dapat didiagonalisasi (diagonalizable)
jika terdapat matriks yang mempunyai invers sedemikian sehingga
adalah matriks diagonal, maka matriks dikatakan mendiagonalisasi matriks .
Definisi 2.3 (Anton, 1995:151)
Jika adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor

9
mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, yaitu

Jika (2.16) merupakan satu-satunya penyelesaian, maka dinamakan himpunan
bebas linear (linearly independent), sedangkan jika ada penyelesaian lain maka
dinamakan himpunan takbebas linear (linearly dependent).
Teorema 2.1 (Anton, 1995:285)
Jika adalah matriks , maka kedua pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.
(a) dapat didiagonalisasi
(b) mempunyai vektor eigen bebas linear
Bukti:
(a) (b). Karena dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang
mempunyai invers. Misalkan

[ ]

sehingga adalah matriks diagonal, dimana

[ ]

maka,

, yakni

[ ][ ] [ ]

10
Jika dimisalkan menyatakan vektor-vektor kolom , maka bentuk

(2.17) kolom-kolom yang berurutan merupakan . Akan

tetapi kolom-kolom dari hasil kali adalah , sehingga

diperoleh

Karena mempunyai invers, maka vektor-vektor kolomnya tidak bernilai nol,
jadi berdasarkan Definisi 2.1, adalah nilai-nilai eigen , dan

adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Karena mempunyai

invers maka diperoleh bahwa bebas linear. Jadi memiliki vektor

eigen bebas linear.
(b) (a). Karena memiliki vektor eigen bebas linear misalkan
, maka terdapat nilai eigen yang bersesuaian yaitu , dan

misalkan

[ ]

adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah . Karena

merupakan vektor eigen dari matriks dan kolom-kolom dari hasil

kali adalah maka

11
sehingga diperoleh

[ ] [ ][ ]

dimana adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai eigen pada

diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom dari bebas linear, maka
mempunyai invers. Jadi (2.19) dapat dituliskan kembali sebagai
dengan dapat didiagonalisasi.
Contoh 2.2
Carilah matriks yang mendiagonalkan

[ ]

Dari contoh 2.1 nilai eigen dari adalah , , dan . Vektor eigen

yang bersesuaian dengan matriks adalah [ ], [ ], dan [ ].

Akan ditunjukkan bebas linear. Berdasarkan Definisi 2.3

substitusikan , , dan pada persamaan (2.15) sehingga diperoleh

[ ] [ ] [ ]

atau secara ekuivalen menjadi

[ ] [ ]

Jadi merupakan satu-satunya penyelesaian dari (2.20),

sehingga bebas linear dan didapat

12
[ ]

Akan dibuktikan adalah matriks diagonal

[ ][ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

Jadi, [ ] akan mendiagonalkan A.

B. Sistem Dinamik
Sistem dinamik terbentuk dari persamaan-persamaan diferensial baik
persamaan diferensial biasa atau persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.4 (Ross, 1984:3)
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih
variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Menurut Ross (1984:4), persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu
persamaan diferensial biasa dan parsial. Persamaan diferensial biasa adalah
persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap
satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial adalah persamaan
13
yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau
lebih variabel bebas.
Contoh 2.3
Persamaan diferensial biasa ditunjukkan pada persamaan-persamaan berikut:
a.

b.

c.

Persamaan diferensial parsial ditunjukkan pada persamaan-persamaan berikut:

a.

b.

c.

Berdasarkan pengaruh waktu, sistem dinamik dibedakan menjadi dua yaitu
sistem autonomous dan sistem nonautonomous (Campbell dan Haberman,
2008:316). Sistem autonomous adalah sistem dinamik yang secara eksplisit tidak
bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik autonomous dinyatakan sebagai
̇
̇
dimana dan secara eksplisit bukan merupakan fungsi dalam dan turunan

parsial , , , dan kontinu (Giordano, Weir, dan Fox, 2003:413), sedangkan

14
sistem nonautonomous adalah sistem dinamik yang secara eksplisit bergantung
terhadap waktu. Sistem nonautonomous dinyatakan sebagai
̇
̇
dimana fungsi dan bergantung pada variabel bebas (Perko,2001:66).
Contoh 2.4
Sistem autonomous ditunjukkan pada sistem (2.21) berikut
̇

̇ 2.21

Sistem nonautonomous ditunjukkan pada sistem (2.22) berikut
̇

̇ 2.22

Berikut ini akan diberikan sebuah ilustrasi dari kasus pemodelan predator-prey
menggunakan sistem dinamik.
C. Model Matematis Sistem Predator-Prey
Interaksi antara dua spesies yaitu interaksi antara spesies predator dengan
prey dapat dirumuskan secara matematis ke dalam model predator-prey. Model
predator-prey dikenalkan oleh Lotka pada tahun 1925 dan Volterra pada tahun
15