Bab 2 Fungsi Analitik

38 Pages·2013·0.25 MB·Indonesian

Bab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan
perincian sebagai berikut:
(1) Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan.
(2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan, dan Turunan.
(3) Pertemuan III: Syarat Cauchy Riemann.
(4) Pertemuan IV: Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik.
Didalambabiniakandibicarakanfungsianalitik, suatukonsepyangmemain-
kan peranan cukup penting di dalam analisis kompleks. Untuk itu, terlebih
dahulu disampaikan fungsi variabel kompleks, limit fungsi, kontinuitas, dan deri-
vatif fungsi.
2.1 Fungsi Variabel Kompleks
Di dalam kuliah kalkulus telah disampaikan pengertian fungsi. Misalkan A, dan
B himpunan tak kosong. Relasi f dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap
x ∈ A terdapat dengan tunggal y ∈ B sehingga y = f(x). Di dalam bagian
ini, pengertian fungsi akan diperluas untuk domain definisi (daerah definisi) dan
kodomain di dalam C.
Diberikan himpunan A ⊂ C. Fungsi f yang didefinisikan pada A adalah suatu
aturan yang memasangkan setiap z ∈ A dengan w ∈ C. Dalam hal ini, bilangan
kompleks w disebut nilai fungsi f di titik z, dan ditulis f(z). Jadi,
w = f(z)
Himpunan A disebut domain definisi (daerah definisi). Di dalam fungsi variabel
kompleks, perlu dibedakan antara pengertian domain dan domain definisi. Do-
main definisi suatu fungsi belum tentu merupakan domain. Apabila domain defi-
23
nisi suatu fungsi f tidak disebutkan secara eksplisit, maka disepakati bahwa se-
bagai domain definisi adalah himpunan terbesar sehingga fungsi f terdefinisikan
pada himpunan tersebut. Sebagai contoh, apabila f(z) = 1 , maka domain
z−1
definisi f adalah {z ∈ C : z (cid:54)= 1}. Selanjutnya, domain definisi fungsi f
dinotasikan dengan D .
f
Diberikan fungsi f dan z ∈ D dengan z = x + iy. Misalkan nilai f di z
f
adalah w, yaitu
f(z) = w
Apabila w = u+iv, maka dapat dituliskan
f(x+iy) = u+iv
Tentunya dapat dipahami bahwa ternyata bilangan real u dan v masing-masing
ditentukan oleh pasangan variabel real (x,y). Atau dengan kata lain
u = u(x,y) dan v = v(x,y)
Jadi,
f(z) = u(x,y)+iv(x,y) (2.1)
Dari (2.1) dapat dilihat adanya keterkaitan antara fungsi variabel kompleks dan
fungsi 2 variabel real (x,y). Secara sama, tentunya f(z) dapat pula dikaitkan
dengan fungsi 2 perubah real (r,θ), yaitu
f(z) = f(r(cosθ+isinθ)) = u(r,θ)+iv(r,θ) (2.2)
Contoh 2.1.1 Jika f(z) = z +z +i|z|, maka
(cid:113)
f(z) = 2x+i x2 +y2
√
Jadi, u(x,y) = 2x dan v(x,y) = x2 +y2
Contoh 2.1.2 Tentukan u(r,θ) dan v(r,θ) jika diketahui f(z) = z2−1.
z
24
Penyelesaian: Jika z = r(cosθ+isinθ), maka
(r(cosθ+isinθ))2 −1
f(z) = f(r(cosθ+isinθ)) =
r(cosθ+isinθ)
(r2cos2θ−1)+ir2sin2θ cosθ−isinθ
= ( )( )
r(cosθ+isinθ) cosθ−isinθ
= i2rsinθ
Jadi, u(r,θ) = 0 dan v(r,θ) = 2rsinθ. (cid:50)
Berbedahalnyadenganfungsivariabelrealyangbernilaitunggal, makafungsi
variabel kompleks dapat bernilai tidak tunggal. Tentunya hal ini mudah dipa-
hami, mengingatf(z) = z1 bernilaiempatuntuksetiap0 (cid:54)= z ∈ C. Lihatkembali
4
Bagian 1.5.
Jika n ∈ N dan c ,c ,c ,...,c masing-masing konstanta kompleks dengan
0 1 2 n
c (cid:54)= 0, maka
0
P (z) = c zn +c zn−1 +...+c z +c
n 0 1 n−1 n
disebut fungsi suku banyak (polinomial) berderajat n. Hasil bagi dua fungsi suku
banyak disebut fungsi pecah rasional.
2.2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Seringkalifungsivariabelrealdanbernilairealdisajikandengansuatugrafikpada
suatubidangdatar. Halinitidakdapatdilakukanuntukfungsivariabelkompleks
dengan rumus w = f(z), mengingat w dan z keduanya berada di dalam bidang
datar (bukan garis). Namun demikian, w = f(z) dapat digambarkan dengan
cara memasangkan setiap z = (x,y) dengan suatu titik f(z) = (u,v). Untuk
lebih mempermudah penyajian, pada umumnya diperlukan 2 bidang kompleks,
yang pertama disebut bidang-z dan yang kedua dinamakan bidang-w, meskipun
untukfungsi-fungsiyangcukupsederhanadapatdigunakansatubidangkompleks
saja. Apabila fungsi f disajikan dengan gambar, dengan cara seperti diterangkan
di atas, maka f seringkali disebut sebagai pemetaan (mapping) atau transformasi.
Contoh 2.2.1 Diketahui f(z) = z +z¯+izz¯. Gambarkan f(L) jika
25
(a) L = {z : |z| = 1}.
(b) L = {z : |z| = 2}.
Penyelesaian: Karena f(z) = z +z¯+izz¯= 2x+i(x2 +y2), maka
f(z) = u(x,y)+iv(x,y),
dengan
u(x,y) = 2x dan v(x,y) = x2 +y2
(a) Oleh f, titik-titik A(1,0), B(0,1), C(−1,0), dan D(0,−1) berturut-turut
dipetakan ke A(cid:48)(2,1), B(cid:48)(0,1), C(cid:48)(−2,1), dan D(cid:48)(0,1). Secara umum, se-
barang titik P(x,y) ∈ L oleh f dipetakan ke P(cid:48)(2x,1). Apabila L dan
f(L) masing-masing digambarkan ke dalam bidang-z dan bidang-w , maka
diperoleh
Gambar 2.1
(b) Oleh f, titik-titik A(2,0), B(0,2), C(−2,0), dan D(0,−2) berturut-turut
dipetakan ke A(cid:48)(4,4), B(cid:48)(0,4), C(cid:48)(−4,4), dan D(cid:48)(0,4). Secara umum, se-
barang titik P(x,y) ∈ L oleh f dipetakan ke P(cid:48)(2x,4). Apabila digam-
barkan, maka diperoleh
26
Gambar 2.2
2.3 Limit Fungsi
Diberikan fungsi f dengan domain definisi D dan z titik limit D . Fungsi f
f 0 f
dikatakan mempunyai limit L untuk z mendekati z , ditulis
0
lim f(z) = L
z→z0
jika untuk setiap z yang cukup dekat dengan z tetapi z (cid:54)= z berakibat f(z)
0 0
cukup dekat dengan L. Dalam bahasa matematika, lim f(z) = L jika untuk
z→z0
setiap bilangan real (cid:15) > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ D
f
dengan 0 < |z −z | < δ berakibat
0
|f(z)−L| < (cid:15)
Apabila z = x +iy , maka dengan mengingat pengertian nilai mutlak, definisi
0 0 0
di atas dapat pula dinyatakan sebagai berikut: lim f(z) = L jika untuk setiap
z→z0
bilanganreal(cid:15) > 0terdapatbilanganδ > 0sehinggauntuksetiapz = x+iy ∈ D
f
(cid:113)
dengan 0 < (x−x )2 +(y −y )2 < δ berakibat
0 0
|f(z)−L| < (cid:15)
Secara geometris, pengertian ini dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 2.3
27
Contoh 2.3.1 Tunjukkan bahwa lim (2z +1) = 3+2i.
z→1+i
Bukti:
|(2z +1)−(3+2i)| = |2z −2−2i| = 2|z −(1+i)|
Diberikan (cid:15) > 0 sebarang. Diambil δ = (cid:15), maka δ > 0. Selanjutnya, untuk setiap
3
z dengan 0 < |z −(1+i)| < δ, berlaku
(cid:15)
|(2z +1)−(3+2i)| = 2|z −(1+i)| < 2. < (cid:15)
3
Dengan demikian, bukti selesai. (cid:50)
Contoh 2.3.2 Tunjukkan bahwa lim (2x−iy) = 4+i.
z→2−i
Bukti:
|(2x−iy)−(4+i)| = |2(x−2)−i(y +1)| ≤ 2(|x−2|+|y +1|)
Diberikan bilangan (cid:15) > 0 sebarang. Diambil δ = (cid:15), maka δ > 0. Selanjutnya,
5
jika 0 < |z −(2−i)| < δ, yang berakibat 0 < |x−2| < δ dan 0 < |y +1| < δ,
maka berlaku
(cid:15) (cid:15)
|(2x−iy)−(4+i)| ≤ 2(|x−2|+|y +1|) < 2( + ) < (cid:15). (cid:50)
5 5
Dengan mencermati dan memahami pengertian limit, maka akan segera dike-
tahui bahwa di dalam menunjukkan lim f(z) = L, sesungguhnya yang perlu
z→z0
diperhatikan hanyalah titik-titik z yang cukup dekat dengan z , tidak perlu se-
0
mua z ∈ C. Dengan demikian, untuk mempermudah pembuktian perlu dilakukan
lokalisasi titik-titik z di sekitar z . Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut
0
ini.
Contoh 2.3.3 Tunjukkan lim z2 = −1.
z→i
28
Bukti:
|z2 −(−1)| = |(z −i)(z +i| = |z −i||z +i|
Ditinjau titik-titik z sehingga |z −i| < 1, maka
|z +i| = |z −i+2i| ≤ |z −i|+2|i| = 1+2 = 3
Jadi, untuk semua z dengan |z −i| < 1 berlaku
|z2 −(−1)| = |z −i||z +i| ≤ 3|z −i|
Diberikan bilangan (cid:15) > 0 sebarang. Diambil δ = min{1, (cid:15)}, maka δ > 0. Selan-
4
jutnya, untuk semua z dengan 0 < |z − i| < δ, yang berakibat 0 < |z − i| < 1
dan 0 < |z −i| < (cid:15), berlaku
5
(cid:15)
|z2 −(−1)| ≤ 3|z −i| < 3( ) < (cid:15). (cid:50)
5
Selanjutnya, akan ditunjukkan sifat-sifat limit.
Teorema 2.3.4 Jika lim f(z) ada, maka nilainya tunggal.
z→z0
Bukti: Misalkan
lim f(z) = L dan lim f(z) = K
z→z0 z→z0
Akan ditunjukkan L = K. Mengingat definisi limit, maka untuk setiap bilangan
real (cid:15) > 0 yang diberikan, terdapat bilangan δ ,δ > 0 sehingga
1 2
(cid:15)
|f(z)−L| < , untuk 0 < |z −z < δ , dan (2.3)
0 1
3
(cid:15)
|f(z)−K| < , untuk 0 < |z −z < δ (2.4)
0 2
3
Jika diambil δ = min{δ ,δ }, maka berdasarkan (2.3) dan (2.4) untuk
1 2
0 < |z −z | < δ berlaku
0
(cid:15) (cid:15)
|L−K| = |L−f(x)+f(x)−K| ≤ |f(x)−L|+|f(x)−K| < + < (cid:15)
3 3
29
yang artinya L = K. (cid:50)
Sebagai akibat langsung Teorema 2.3.4, jika nilai lim f(z) tidak tunggal,
z→z0
maka lim f(z) tidak ada.
z→z0
Seperti telah diterangkan dalam kuliah Kalkulus, dalam hitung limit fungsi
real hanya ada satu limit kiri dan satu limit kanan. Hal ini mudah dimengerti,
karena persekitaran titik x hanyalah berupa suatu penggal garis (selang). Aki-
0
batnya, apabila lim f(x) tidak ada (dan bukan limit semu), maka untuk
x→x0
menunjukkannya cukup mudah dan sederhana, yaitu dengan cara menunjukkan
limit kiri tidak sama dengan limit kanan, yang artinya nilai lim f(x) tidak
x→x0
tunggal. Sementara, di dalam bidang kompleks persekitaran suatu titik z tidak
0
lagi berupa penggal garis, tetapi berupa suatu lingkaran. Akibatnya, konsep
limit kiri dan limit kanan menjadi tidak sesederhana konsep tersebut di dalam
kalkulus fungsi real. Namun demikian, berangkat dari konsep limit satu arah,
kontraposisi Teorema 2.3.4 dapat diklarifikasi dengan menggunakan pengertian
limit fungsi sepanjang suatu kurva.
Diberikan fungsi f dengan domain definisi D , z titik limit D , dan kurva K
f 0 f
yangmelaluiz . Limitf(z)untukz mendekatiz disepanjangkurvaK dikatakan
0 0
sama dengan L, ditulis
lim f(z) = L
z→z0, z∈K
jika untuk setiap bilangan real (cid:15) > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk
setiap z ∈ K dengan 0 < |z −z | < δ berakibat
0
|f(z)−L| < (cid:15)
Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi ini dan Teorema 2.3.4 diperoleh
pernyataan sebagai berikut.
Teorema 2.3.5 Jikalim f(z)ada, makauntuksetiappasangkurvaK ,K ⊂
z→z0 1 2
D yang melalui z , lim f(z) dan lim f(z) keduanya ada dan
f 0 z→z0, z∈K1 z→z0, z∈K2
lim f(z) = lim f(z)
z→z0, z∈K1 z→z0, z∈K2
30
Akibat 2.3.6 Jika ada kurva K ,K ⊂ D yang melalui z sehingga
1 2 f 0
lim f(z) (cid:54)= lim f(z)
z→z0, z∈K1 z→z0, z∈K2
maka lim f(z) tidak ada.
z→z0
Contoh 2.3.7 Jikaf(z) = 2xy +i(y2−1)(x+1), makatunjukkanbahwalim f(z)
x2+2y2 (x2−2)(y+2 z→0
tidak ada.
Bukti: Jika K dan K masing-masing adalah kurva dengan persamaan y = 0
1 2
dan y = x, maka berturut-turut diperoleh:
i. lim f(z) = lim −(x+1) = 1.
z→0, z∈K1 x→0 2(x−2) 4
ii. lim f(z) = lim ( 2x2 )+((x2−1)(x+1) = 1) = 2 +i1.
z→0, z∈K2 x→0 x2+2x2 (x−2)(x+2) 4 3 4
Selanjutnya, dari (i) dan (ii), terbukti bahwa lim f(z) tidak ada. (cid:50)
z→0
Teorema berikut ini menerangkan hubungan antara limit fungsi kompleks de-
ngan limit fungsi real dua perubah.
Teorema 2.3.8 Jika diketahui f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z = x + iy , dan
0 0 0
L = A+iB, maka
lim f(z) = L (2.5)
z→z0
jika dan hanya jika
lim u(x,y) = A dan lim v(x,y) = B (2.6)
(x,y)→(x0,y0) (x,y)→(x0,y0)
.
Bukti: Diketahui persamaan (2.5), akan dibuktikan persamaan (2.6) benar.
Diberikan (cid:15) > 0 sebarang, maka terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ D
f
dengan
0 < |z −z | < δ (2.7)
0
31
berlaku
|f(z)−L| < (cid:15)
Karena
|u(x,y)−A| ≤ |f(z)−L| dan |v(x,y)−B| ≤ |f(z)−L|
maka apabila (2.7) dipenuhi berakibat
|u(x,y)−A| < (cid:15) dan |v(x,y)−B| < (cid:15)
Selanjutnya, dengan mengingat definisi modulus, maka (2.7) ekuivalen dengan
(cid:113)
0 < (x−x )2 +(y −y )2 < δ
0 0
Jadi, untuk setiap (x,y) di dalam domain definisi u dan v dengan
(cid:113)
0 < (x−x )2 +(y −y )2 < δ berakibat
0 0
|u(x,y)−A| < (cid:15) dan |v(x,y)−B| < (cid:15)
sehingga persamaan (2.6) benar.
Sebaliknya, apabila (2.6) berlaku, maka untuk setiap (cid:15) > 0 terdapat δ ,δ > 0
1 2
sehingga
(cid:15) (cid:113)
|u(x,y)−A| < , untuk 0 < (x−x )2 +(y −y )2 < δ , dan (2.8)
0 0 1
3
(cid:15) (cid:113)
|v(x,y)−B| < , untuk 0 < (x−x )2 +(y −y )2 < δ (2.9)
0 0 2
3
Selanjutnya, apabila diambil δ = min{δ ,δ }, maka untuk setiap z ∈ D dengan
1 2 f
0 < |z − z | < δ (yang artinya (x,y) di dalam domain definisi u dan v dengan
0
(cid:113)
0 < (x−x )2 +(y −y )2 < δ) berakibat
0 0
(cid:15) (cid:15)
|f(z)−L| ≤ |u(x,y)−A|+|v(x,y)−B| < + < (cid:15)
3 3
Jadi, persamaan (2.5) benar. (cid:50)
Contoh 2.3.9 Tentukan lim (z2 + 1).
z→1+i z
32