Table Of ContentRaphael van Riel / Gottfried Vosgerau
Aussagen- und
Prädikatenlogik
Eine Einführung
Mit interaktiver
E-Learning-Plattform
Raphael van Riel/Gottfried Vosgerau
Aussagen- und
Prädikatenlogik
EineEinführung
J.B. Metzler Verlag
DieAutoren
Dr.RaphaelvanRiel,Dilthey-FellowderVolkswagenstiftungmitdemProjekt
»AStudyinExplanatoryPower«anderUniversitätDuisburg-Essen
Prof.Dr.GottfriedVosgerau,seit2014ProfessorfürPhilosophiedesGeistes
undderKognitionanderHeinrich-Heine-UniversitätDüsseldorf
BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikation
inderDeutschenNationalbibliografie;detailliertebibliografische
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ISBN978-3-476-04564-5
ISBN978-3-476-04565-2(eBook)
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Einbandgestaltung:Finken&Bumiller,Stuttgart(Foto:shutterstock)
Satz:primustypeHurlerGmbH,Notzingen
J.B.Metzler,Stuttgart
©Springer-VerlagGmbHDeutschland,einTeilvonSpringerNature,2018
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ................................................................................ IX
1 Einleitung ..................................................................... 1
1.1 DasWort»Logik«inderAlltagssprache.............................. 1
1.2 LogikundSprache.......................................................... 2
1.3 ZumUmgangmitdemBuch............................................. 6
2 Grundbegriffe ................................................................ 9
2.1 WasistLogik?................................................................ 10
2.2 LogikundArgument....................................................... 13
2.3 DeduktiveundinduktiveArgumente ................................. 19
2.4 LogikundPhilosophie..................................................... 20
3 GrundlagenderAussagenlogik.......................................... 23
3.1 SchematischeAusdrücke ................................................. 24
3.2 DieIdeeeinerformalenSprache:
VokabularundSyntax ..................................................... 26
3.3 VokabularundSyntaxvonAL .......................................... 28
4 SemantikderAussagenlogik............................................. 37
4.1 SemantikundWahrheit................................................... 37
4.2 WahrheitsfunktionalitätunddasCharakterisieren
vonFunktionen.............................................................. 39
4.3 WahrheitswerttabellenundAL.......................................... 42
4.4 EineSemantikfürAL...................................................... 45
4.5 KontradiktionundTautologie ........................................... 46
4.6 NatürlicheSpracheundAL .............................................. 48
5 SystematikderJunktoren................................................. 55
5.1 Interdefinierbarkeit......................................................... 55
5.2 Sheffer-StrichundPeirce-Pfeil........................................... 57
5.3 AussagenlogikundWittgensteinsTractatus......................... 60
6 SemantischeBeweise...................................................... 65
6.1 SemantischeFolgerungsbeziehunginAL ............................ 65
6.2 SemantischesBeweisen ................................................... 66
6.3 IndirektesBeweisen ........................................................ 68
6.3.1 BeweisdurchWiderspruch ...................................... 69
6.3.2 EinBeispielfürdenindirektenBeweis:Diedritte
AntinomieausderKritikderreinenVernunftvon
ImmanuelKant...................................................... 70
6.3.3 Reductioadabsurdum............................................. 72
6.3.4 DasBivalenzprinzipundnicht-klassischeLogiken ....... 74
V
Inhaltsverzeichnis
7 SchlussfigurenunddieIdeeeinesKalküls............................ 77
7.1 BeispieleklassischerSchlussfiguren................................... 77
7.2 DasDeduktionstheorem .................................................. 81
7.3 Kalküle......................................................................... 83
8 DerKalküldesnatürlichenSchließens ................................ 89
8.1 DieRegelndesKalküls .................................................... 89
8.2 Beispiele ....................................................................... 98
8.3 Monotonie .................................................................... 99
8.4 Theoreme ..................................................................... 100
8.5 SyntaktischesAnalogonzumDeduktionstheorem
undandereArtenvonKalkülen ........................................ 101
8.6 SyntaktischeFolgerung.................................................... 102
9 GrundlagenderPrädikatenlogik........................................ 103
9.1 EinführungindiePrädikatenlogik(PL) .............................. 103
9.1.1 SinguläreTermeundPrädikate ................................. 105
9.1.2 Schemata.............................................................. 106
9.1.3 Quantoren ............................................................ 109
9.2 VokabularundSyntaxvonPL........................................... 110
10 PrädikatenlogikundnatürlicheSprache.............................. 117
10.1 ÜberführungvonnatürlichsprachlichenAusdrücken
inPL-Formeln................................................................ 117
10.2 InterdefinierbarkeitvonQuantoren.................................... 123
10.3 LeereBegriffeundQuantifikationen .................................. 124
11 SemantikderPrädikatenlogik ........................................... 127
11.1 Grundidee..................................................................... 127
11.1.1 Nicht-quantifizierteSätze ....................................... 127
11.1.2 QuantifizierteSätze............................................... 130
11.2 VollständigeSemantikvonPL........................................... 131
11.3 Begriffe......................................................................... 138
11.4 AusblickaufeineSemantikmöglicherWelten ..................... 140
11.5 HöherstufigeLogiken ...................................................... 142
12 EinKalkülderPrädikatenlogik........................................... 147
12.1 BeweisregelnfürQuantoren ............................................. 147
12.2 AusführlicheBeispiele..................................................... 152
13 IdentitätvonIndividuen .................................................. 159
13.1 PrädikatenlogikmitIdentität ............................................ 159
13.1.1 SyntaxvonPLI..................................................... 160
13.1.2 SemantikfürPLI .................................................. 160
13.2 RussellüberbestimmteKennzeichnungen .......................... 161
13.3 QuineundExistenz ........................................................ 162
13.4 FregeüberinformativeIdentitätsaussagen .......................... 165
VI
Inhaltsverzeichnis
14 AristotelischeSyllogistik .................................................. 169
14.1 MittelalterlicheLogik ...................................................... 169
14.1.1 DaslogischeQuadrat ............................................ 171
14.1.2 FigurenundModi................................................. 174
14.2 MengentheoretischeFundierungvonSyllogismen ................ 175
14.3 DieGrenzenderAristotelischenSyllogistikund
dieStärkenvonPL ......................................................... 177
15 Anhang ........................................................................ 181
15.1 VerzeichnisderDefinitionen............................................. 181
15.2 VerzeichnisderBeweisregeln............................................ 182
VII
Vorwort
Der vorliegende Band ist das Resultat einer nunmehr zehnjährigen Ko-
operation zwischen den Autoren. Vor zehn Jahren haben wir, zunächst
gemeinsam mit Albert Newen und dann auch Frank Zenker, damit be-
gonnen, einen Logikkurs zu konzipieren, der ab 2008 wechselweise an
denUniversitätenBochumundDortmundunterrichtetwurde.Andersals
klassische Logikvorlesungen sollte dieser Kurs auch online verfügbar
sein, um Studierenden der jeweils anderen Universität eine Teilnahme
ohne Anwesenheit an der Nachbaruniversität zu ermöglichen. Dazu
mussteeinumfangreichesSkriptverfasstwerden,umdasSelbststudium
zuermöglichen.DiesesSkriptstelltdieGrundlagedesvorliegendenBan-
desdar.DarüberhinauswurdendieVorlesungenaufgezeichnet,die,zu-
sammenmitSkriptundumfangreichemÜbungsmaterial,onlinezurVer-
fügunggestelltwurden.
DamitwurdederGrundsteinfürdenvorliegendenBandunddieparal-
lelonlinezurVerfügungstehendePlattformgelegt.Beidewurdeninden
darauffolgenden Jahren kontinuierlich weiterentwickelt. Der Band und
die frei zugängliche Plattform ermöglichen es Studierenden der Philoso-
phie und anderen Interessierten, einen ersten Zugang zur Logik zu er-
halten, Logikkenntnisse aufzufrischen oder ergänzend logische Kom-
petenzzutrainieren.
Weder der Band noch die Plattform sind im Alleingang entstanden.
DankenmöchtenwirnebenehemaligenLehrernundLehrerinnensowie
KolleginnenundKollegen,mitdenenwirunsüberFragenderKonzeption
von Logikkursen ausgetauscht haben, und Studierenden, die uns im
Laufe der Jahre hilfreiches Feedback gegeben haben, insbesondere bei
denMitstreiterndererstenJahre:allenvoranAlbertNewen,ohnedessen
formellewieideelleUnterstützungdasProjektnieüberdieKinderschuhe
hinausgekommenwäre;FrankZenker,derdieersteGenerationeinerOn-
lineplattformentwickelthatundankonzeptionellenDiskussionenimmer
beteiligtwar;DavidNeugebauer,deralsHilfskraftdieArbeitständigbe-
gleitet hat, und schließlich Florian Braun, der den Kurs in Dortmund in
denerstenSemesternunterrichtethat.
Die Plattform in ihrer gegenwärtigen Form ist von Sara Ipakchi, Till
Gallasch und Julian Pöhling unter Regie von Gottfried Vosgerau ent-
wickeltworden–ihnenallengebührtunsergroßerDank–nichtnurfür
die Entwicklung und Implementierung der Plattform, sondern auch für
dievielenHinweise,DiskussionenundKorrekturenzudemvorliegenden
Buch. Wie ihnen danken wir auch Stefan Kämper, Leon de Bruin und
Salome van Riel für kritische Anmerkungen zum Manuskript. Darüber
hinaus haben uns Meric Uzun und Benjamin Voermann viel technische
Arbeit bei der Endredaktion des Buches abgenommen. Und schließlich
möchtenwirunsbeiFranziskaRemeikavomMetzler-Verlagfürdiehilf-
reiche Unterstützung bedanken – sie hat das Projekt formell wie auch
inhaltlichintensivbegleitet.
Berlin/DüsseldorfimFebruar2018
RaphaelvanRielundGottfriedVosgerau
IX
1
1 Einleitung
1.1 DasWort»Logik«inderAlltagssprache
1.2 LogikundSprache
1.3 ZumUmgangmitdemBuch
1.1|DasWort»Logik«inderAlltagssprache
InderAlltagssprachehatderAusdruck»Logik«unteranderemdieFunk-
tion, Denkprozesse als irgendwie geglückt auszuzeichnen. Werfen wir
unserem Gegenüber vor, etwas Unlogisches behauptet zu haben, so un-
terstellen wir ihm, dass kognitiv irgendetwas schief gegangen ist. Wenn
das Bett der Hundebesitzerin voller Hundehaare ist und der Hund mit
hängenden Ohren und eingeklemmtem Schwanz sich schnell aus dem
Schlafzimmerentfernt,dannistderSchluss,derHundhabeaufdemBett
gelegen,logisch–eineQualität,diedemSchlussaufdieThese,derHund
habeseineHundedeckeüberdemBettausgeschüttelt,nichtzukommt.
DieseVerwendungdesAusdrucks»Logik«weistaufeineRollehin,die Logikund
der Logik oft zugedacht wurde, und die auch in dieser Einführung eine Argumentieren
wichtige Rolle spielen wird: Die Logik hat irgendetwas mit Schlüssen
odermitArgumentenzutun.MancheSchlüsseoderArgumentesindlo-
gisch,anderesindesnicht.UnteranderemkannLogikalsWissenschaft
verstehenhelfen,wasguteArgumentevonschlechtenArgumentenunter-
scheidet. Zumindest ein Teilbereich der Logik ist damit vorläufig umris-
sen: Es geht in der Logik unter anderem darum zu verstehen, warum
manche Schlüsse oder Argumente logisch sind und andere nicht. Ent-
sprechend müssen in der Logik zwei Fragen beantwortet werden. Zum
einenbrauchenwireinenklarenBegriffdessen,waseinArgumentoder
Schluss ist. Zweitens muss geklärt werden, welcher Mechanismus, im
übertragendenSinnedesAusdrucks,dafürverantwortlichist,dassman-
cheArgumentelogischsindundanderenicht.
LogikundDenken:NacheinerklassischenAuffassung,dieauchinder
alltagssprachlichen Verwendung des Ausdrucks »logisch« fortlebt, sind
SchlüsseoderArgumenteengankognitiveoderpsychischePhänomene
gekoppelt. Schließlich ziehen wir Schlüsse, und das tun wir oft, indem
wir von bestimmten Überzeugungen – etwa den Überzeugungen, dass
sichHaareaufdemBettbefindenunddassderHundeinbestimmtesVer-
halten zeigt – zu anderen Überzeugungen übergehen – etwa, dass der
Hund auf dem Bett gelegen hat. Was dann das logische Schließen vom
nicht-logischen Schließen unterscheidet, so könnte man meinen, sei in
Gesetzen des Denkens zu finden, in psychologischen Gesetzen. Und die
Aufgabe der Logik bestünde dann ganz folgerichtig darin, diese Gesetze
zu beschreiben. Diese zunächst plausibel erscheinende Annahme hat
prominente Vorläufer in der Philosophiegeschichte (für einen Überblick
vgl.Jacquette2003;prominenteKritikerderAuffassungsindFrege1884/
1934undHusserl1900/1975).
1
1
Einleitung
Aus moderner Perspektive hat sich diese Vorstellung von Logik als
schlicht falsch erwiesen – wir denken de facto nicht logisch, oder zu-
mindest nicht immer. Den folgenden Schluss bekommen die meisten
Menschen ohne große Schwierigkeiten hin: Es regnet, und wenn es reg-
net, dann wird die Straße nass. Also (und wenig überraschend): Die
Straßewirdnass!
AndersverhältessichbeidemfolgendenSchluss,der,wiesichzeigen
lässt, nicht minder logisch ist: Wenn die Hausnummer gerade ist, dann
befindet sich das Haus auf der rechten Straßenseite. Das Haus befindet
sich auf der linken Straßenseite. Also hat das Haus keine gerade Haus-
nummer.Dahingegensindvielebereit,denfolgendenSchlusszuakzep-
tieren,dertatsächlichnichtlogischist:WenndieHausnummergeradeist,
dann befindet sich das Haus auf der rechten Straßenseite. Das Haus be-
findet sich auf der rechten Straßenseite. Also hat das Haus eine gerade
Hausnummer.(DerGrundist,dassunsereRegelnuretwasaussagtüber
Häuser mit geraden Hausnummern – sie sagt aber nicht etwas über alle
HäuseraufderrechtenStraßenseiteaus.)
WennnunaberdieLogikkeinenkognitivenMechanismusbzw.keine
Denkgesetzebeschreibt,wasbeschreibtsiedann?UndwassindSchlüsse
oderArgumente,wenneskeinepsychischenEreignissesind?
1.2|LogikundSprache
SchlüsseundArgumente:DiegrundlegendeEinsichtdermodernenLogik
ist,dasseseineKlassevonlogischenGesetzengibt,diealleinaufgrund
sprachlicherStrukturenbestehen.Kommenwirnocheinmalzurückzu
demBeispieldesSchlussesderregennassenStraße.Eshandeltsichdabei
umeinenparadigmatischlogischenSchluss:Esregnet,undwennesreg-
net, dann wird die Straße nass. Also: Die Straße wird nass. Wir können
die grundlegende Idee, dass sprachliche Strukturen für den Zusammen-
hang verantwortlich sind, so illustrieren. Wir ersetzen den Satz »Es reg-
net«durcheinenBuchstaben,»A«;undwirersetzendenSatz»dieStraße
wirdnass«durcheinenanderenBuchstaben,»B«.Miteinerkleinengram-
matikalischen Anpassung erhalten wir das folgende Schema: A, und
wennA,dannB.Also:B.Eskannnunleichtgesehenwerden,dass,ganz
gleich, was wir für »A« oder »B« einsetzen, der entsprechende Schluss
immerlogischbleibenwird.Dasliegtebennichtdaran,wiewirdefacto
denken,undesliegtnochnichteinmaldaran,wiewirdenkensollen;es
liegt vielmehr daran, wie die Wörter »und« und »wenn ..., dann ...« in
unserer Sprache funktionieren. Kommen wir damit zu den zwei Fragen
zurück:WassindSchlüssebzw.Argumente,undwasmachteinenSchluss
odereinArgumentlogisch?
Die moderne Antwort lautet: Wir können Schlüsse oder Argumente
alssprachlicheGegenständerekonstruieren,unddieFrage,obeinArgu-
ment logisch ist, hängt von sprachlichen Eigenschaften dieser Gegen-
ständeab.
LogikalsModellderSprache:WiestudierenwirnunaberinderLogik
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