Ausgewählte Kapitel der elementaren Zahlentheorie

121 Pages·2022·5.82 MB·German

by  Lukas Pottmeyer

Ausgewa¨hlte Kapitel der
elementaren Zahlentheorie
Lukas Pottmeyer
18. Januar 2022
ii
Vorwort
Das Geru¨st dieses Skriptes entstand im Laufe meiner Lehramts-Vorlesung
Ausgew¨ahlte Kapitel der elementaren Zahlentheorie anderUniversit¨atDuis-
burg-Essen im WS17/18. Dies ist eine u¨berarbeitete Version fu¨r das Win-
tersemester 20/21. Wer Fehler entdeckt, kann mich gerne per Mail an
[email protected]
darauf hinweisen.
Lukas Pottmeyer
Mathematisches Vokabelheft
Um Zeit und Nerven zu sparen ist es in der Mathematik n¨otig gewisse Sym-
bolezurUnterstu¨tzungheranzuziehen.VerwendenSiediefolgendenSymbole
außschließlich in der angegebenen Bedeutung!
Symbol Bedeutung
= gleich, ist gleich
(cid:54)= ungleich, ist ungleich
⇒ daraus folgt, impliziert
⇐ wird impliziert von
⇔ ist ¨aquivalent zu
∈ ist Element von, ist in
∈/ ist kein Element von, ist nicht in
⊆ ist enthalten in
⊇ enth¨alt
Dies sind nur einige der wichtigsten Vokabeln. Erg¨anzen Sie dieses Voka-
belheft nach belieben. Weiter benutzen wir folgende Bezeichnungen fu¨r die
Zahlbereiche.
N natu¨rliche Zahlen ohne die Null {1,2,3,...}
N natu¨rliche Zahlen mit Null {0,1,2,3,...}
0
Z ganze Zahlen {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
iii
Griechische Buchstaben
In der Mathematik wird viel mit Variablen gearbeitet. Dafu¨r reicht unser
herk¨ommlicheslateinischesAlphabetoftnichtausundeswerdenauchBuch-
staben des griechischen Alaphabets benutzt. In dieser Vorlesung werden
wir wahrscheinlich nur sehr wenige griechische Buchstaben benutzen. Der
Vollst¨andigkeit halber listen wir trotzdem das gesamte griechische Alphabet
auf.
A, α Alpha
B, β Beta
Γ, γ Gamma
∆, δ Delta
E, ε Epsilon
Z, ζ Zeta
H, η Eta
Θ, θ Theta
I, ι Iota
K, κ Kappa
Λ, λ Lambda
M, µ My
N, ν Ny
Ξ, ξ Xi
O, o Omikron
Π, π Pi
P, ρ Rho
Σ, σ Sigma
T, τ Tau
Y, υ Ypsilon
Φ, φ Phi
X, χ Chi
Ψ, ψ Psi
Ω, ω Omega
iv
Inhaltsverzeichnis
1 Modulare Arithmetik 1
1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Kryptographie 35
2.1 Anf¨ange der Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 RSA-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Komplexe Zahlen 49
3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Die Gauß’schen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Gauß’sche Primzahlen & Summe von zwei Quadraten . . . . 62
4 Arithmetik und Geometrie 73
4.1 Pythagor¨aische Zahlentripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A Kettenbru¨che 85
A.1 Endliche Kettenbru¨che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2 Unendliche Kettenbru¨che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B Polarkoordinaten der komplexen Zahlen 103
B.1 Geometrie der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
C Der große Satz von Fermat 109
Das Symbol
v
vi INHALTSVERZEICHNIS
deutet an, dass hier eine geeignete Stelle fu¨r eine Pause ist. Sie k¨onnen aber
natu¨rlich auch einfach weiter arbeiten.
Kapitel 1
Modulare Arithmetik
1.1 Grundbegriffe
HierlernenwirdiewichtigstenBezeichnungenfu¨rdieganzeVorlesung.Alles
was folgt sollte Ihnen bereits bekannt vorkommen. Insbesondere werden Sie
mit S¨atzen wie
Drei ist ein Teiler von Sechs.
oder
Sechs ist ein Vielfaches von drei.
oder
Acht ist nicht durch drei teilbar.
vertraut sein. Das wollen wir nun formalisieren, da wir auch von Teilbarkeit
sprechenwollen,wenndieZahlennichtbereitskonkretvorgegebensind.Wir
mu¨ssen also mit Variablen arbeiten.
Definition 1.1.1. Seien a,b ganze Zahlen (kurz: seien a,b ∈ Z). Dann heißt
a Teiler von b, wenn es eine ganze Zahl k gibt, mit a·k = b. Ist a ein Teiler
von b, so heißt b Vielfaches von a.
Notation 1.1.2. Sind a,b ∈ Z, dann schreiben wir a | b, wenn a ein Teiler
von b ist, und wir schreiben a (cid:45) b, wenn a kein Teiler von b ist. Weiter heißt
a teilt b nichts anderes als, dass a ein Teiler von b ist.
Beispiel 1.1.3. Es ist 3 | 6, da 3 · 2 = 6 und 2 offensichtlich eine ganze
Zahl ist. Es ist 3 (cid:45) 8, da es keine ganze Zahl b gibt, so dass 3·b = 8. Das
1
2 KAPITEL 1. MODULARE ARITHMETIK
ist fu¨r viele von Ihnen sicher offensichtlich. Lassen Sie mich trotzdem noch
zwei Argumente dafu¨r geben:
Erstens: Es ist 3 · 2 = 6 < 8 und 3 · 3 = 9 > 8. Da es keine ganze Zahl
zwischen 2 und 3 gibt, erhalten wir nie 3·(ganze Zahl)= 8.
Zweitens: Wenn wir 3·b = 8 aufl¨osen, erhalten wir b = 8 = 2+ 2. Da 2
3 3 3
keine ganze Zahl ist, ist auch b = 8 keine ganze Zahl.
3
Dieses zweite Argument liefert uns eine weitere Beschreibung von Teilbar-
keit. Diese halten wir in einem Lemma (was nichts anderes als Hilfssatz“
”
bedeutet) fest.
Lemma 1.1.4. Seien a,b ∈ Z. Dann gilt a | b genau dann, wenn der Bruch
b eine ganze Zahl ist.
a
HierhabenwireinenBausteinkennengelernt,derunsnochoftu¨berdenWeg
laufen wird: Ein genau dann wenn. Immer wenn Sie diesen Baustein lesen,
werden zwei Aussagen verglichen. In unseremFall istdie erste Aussagea | b,
und die zweite Aussage b ∈ Z. Das genau dann wenn dazwischen sagt uns
a
nun, dass beide Aussagen ¨aquivalent sind; d.h. ist die erste Aussage richtig,
dann ist es auch die zweite Aussage UND ist die zweite Aussage richtig,
dann ist es auch die erste.
Weiter stellen wir fest, dass alles die Null teilt! Denn fu¨r beliebiges a ∈ Z
gilt immer a·0 = 0 und natu¨rlich ist 0 eine ganze Zahl.
Wir sammeln jetzt ein paar weitere Eigenschaften der Teilbarkeit auf den
ganzen Zahlen.
Lemma 1.1.5. Seien a,b,c ∈ Z mit c (cid:54)= 0. Dann gilt:
(a) a | b =⇒ a | b·c
(b) a | b und a | c =⇒ a | b+c
(c) a | b ⇐⇒ a·c | b·c
(d) a | b und b | c =⇒ a | c
(e) 1 | a, −1 | a, a | a und −a | a
(f) a | c =⇒ |a| ≤ |c|
(g) a | b und b | a ⇐⇒ a = b oder a = −b
1.1. GRUNDBEGRIFFE 3
Beweis. Wir beweisen nur die Aussagen (e)-(g). Die anderen Beweise k¨on-
nen Sie als U¨bung selber machen.
Zu (e): Es ist also a irgendeine ganze Zahl. Dann ist a · 1 = 1 · a = a, was
a | a und 1 | a beweist. Genauso zeigt die Gleichung (−1) · (−a) =
(−a)·(−1) = a die Teilbarkeiten −1 | a und −a | a.
Zu (f): Sei also a | c. Die Aussage ist, dass dann der Betrag von a kleiner
oder gleich dem Betrag von c ist. Nach Voraussetzung ist c (cid:54)= 0, also
ist c tats¨achlich ein Vielfaches von a, das verschieden von Null ist.
Insbesondere kann |c| damit nicht kleiner als |a| sein.
Zu (g): Hier muss eine A¨quivalenz (⇐⇒) gezeigt werden. Wir mu¨ssen also
zeigen, dass aus der Aussage links, die Aussage rechts folgt und um-
gekehrt. Wir fangen mal mit der Aussage rechts an.
Dann ist a = b oder a = −b. In beiden F¨allen haben wir a | b und b | a
(siehe (e)).
Jetzt starten wir links. Sei also a | b und b | a. Damit gibt es k,k(cid:48) ∈ Z
so dass a·k = b und b·k(cid:48) = a ist. Setzen wir die zweite Gleichung in
die erste ein, so erhalten wir
(b·k(cid:48))·k = b =⇒ b·(k(cid:48)·k) = b =⇒ k(cid:48)·k = 1.
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
=a
Da k und k(cid:48) ganze Zahlen sind, mu¨ssen beide im Betrag kleiner oder
gleich 1 sein. Es folgt k = k(cid:48) = 1 oder k = k(cid:48) = −1. Unsere Gleichung
mit der wir gestartet sind war a·k = b. Da wir nun wissen dass k nur
1 oder −1 sein kann, erhalten wir wie gewu¨nscht a = b oder a = −b.
4 KAPITEL 1. MODULARE ARITHMETIK
Einschub
Wir haben gesehen, dass die folgenden Aussagen und Bezeichnungen
alle das Gleiche bedeuten. Wie immer sind a und b ganze Zahlen:
(cid:136) a teilt b
(cid:136) a ist ein Teiler von b
(cid:136) b ist ein Vielfaches von a
(cid:136) a | b
(cid:136) es gibt ein k ∈ Z mit a·k = b
(cid:136) der Bruch b ist eine ganze Zahl
a
Als n¨achstes kommen wir zu Primzahlen. Was sind das fu¨r Zahlen? Die
meisten wu¨rden wahrscheinlich antworten: Zahlen, die nur durch die Eins
unddurchsichselbstteilbarsind.Dasistaberleidernichtganzausreichend,
wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 1.1.6. (a) Es ist 1 | 1 (na klar!). Die 1 ist auch nicht durch eine
Zahl ≥ 2 teilbar. Aber trotzdem ist die 1 keine Primzahl!
(b) Die 5 ist eine Primzahl (na klar!). Aber es gilt 1 | 5, 5 | 5 und −1 | 5,
−5 | 5.Die5hatalsovierundnichtnurzweiTeiler.Wirmu¨ssenalsodie
negativen Zahlen bei der Definition von Primzahlen mitberu¨cksichtigen.
Definition 1.1.7. Eine positive ganze Zahl p heißt Primzahl, wenn gilt
(i) p (cid:54)= 1, und
(ii) die einzigen Teiler von p sind 1,−1,p,−p.