Ausgewählte Kapitel aus der Funktionentheorie

339 Pages·1988·16.3 MB·German

by  Wolfgang Fischer

Wolfgang Fischer
Ingo Lieb
Ausgewahlte Kapitel
aus der
Funktionentheorie
vieweg studium
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegeben von Gerd Fischer
Manfredo P. do Carmo
Differentialgeometrie von Kurven und Flachen
Wolfgang Fischer/I ngo Lieb
Funktionentheorie
Wolfgang Fischer / Ingo Lieb
Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionentheorie
Otto Forster
Analysis 3
Ulrich Krengel
Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Alexander Prestel
Einfuhrung in die mathematische Logik und Modelltheorie
Grundkurs MathemaTIk
Gerd Fischer Otto Forster
Lineare Algebra Analysis 2
Gerd Fischer Gerhard Frey
Analytische Geometrie Elementare Zahlentheorie
Otto Forster U. Friedrichsdorf / A. Prestel
Analysis 1 Mengenlehre fur den Mathematiker
VIEWEG MATHEMATIK LEXIKON
Begriffe/ Definitionen/Satze/ Beispiele
fur das Grundstudium
Wolfgang Fischer
Ingo Lieb
Ausgewahlte Kapitel
aus der
Funktionentheorie
Mit 48 Abbildungen
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Fischer, Wolfgang:
Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionen
theorie/Wolfgang Fischer; Ingo Lieb. -
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1988.
(Vieweg-Studium; 48: Aufbaukurs
Mathematik)
ISBN-13: 978-3-528-07248-3 e-ISBN-13: 978-3-322-89857-9
DOl: 10.1007/978-3-322-89857-9
NE: Lieb, Ingo:; GT
Quellenhinweis: Bild VI-27 (Ikosaedernetz) ist entnommen: C. Caratheodory, Funktionentheorie
Bd. 2, Birkhauser, Basel 1950 (Fig. 89, Seite 157).
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© Friedl. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1988
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Satz: Vieweg, Braunschweig und Wiesbaden
v
InhaItsveneichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. VII
Leitfaden ................................................. IX
Kapitel I Hennitische Metriken und nonnale Familien ................... 1
§ 1. Hermitische Metriken .................................... 1
§ 2. Das Lemma von Ahlfors ................ ". . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§ 3. Bedeckung von Kreisscheiben (Satze von Bloch und Landau) .......... 9
§ 4. Normale Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
§ 5. Die Satze von Montel und Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
KapitellI Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flachen . . . . . . . . . . . . .. 23
§ 1. Analytische Fortsetzung und Homotopie ....................... 24
§ 2. Die Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
§ 3. Riemannsche Gebiete und vollstandige analytische Fortsetzung . . . . . . . .. 33
§ 4. Riemannsche Flachen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
§ 5. Differentialformen...................................... 47
§ 6. Die universelle Uberlagerung einer Riemannschen Flache .. . . . . . . . . . .. 52
§ 7. Verzweigungspunkte..................................... 61
Kapitel III Hannonische Funktionen und das Dirichlet-Problem . . . . . . . . . . . .. 67
§ O. Differenzierbare Rander und differenzierbare Funktionen ............ 67
§ 1. Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71
§ 2. Subharmonische Funktionen ............................... 77
§ 3. Das Dirichlet-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83
§ 4. Glatt berandete Gebiete und das Hopf-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
§ 5. Der Hodge-Operator und die Greenschen Formeln ................. 90
§ 6. Die Greensche Funktion eines beschrankten Gebietes ............... 95
§ 7*. Die Fundamenta1l6sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
KapitelJV Der Unifonnisiemngssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
§ 1. Der Satz und die Beweismethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110
§ 2. Die Greensche Funktion einer Riemannschen Flache . . . . . . . . . . . . . . .. 112
§ 3. Der Abbildungssatz ftir positiv berandete Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115
§ 4. Harmonische Funktionen auf nicht positiv berandeten Flachen . . . . . . . .. 116
§ 5. Der Abbildungssatz ftir nullberandete Flachen ... . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
§ 6. Anwendungen des Uniformisierungssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121
VI Inha1tsverzeichnis
Kapitel V Funktionentheorie im Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133
§ O. Integrierbarkeit........................................ 133
§ 1. Das Poisson-Integral ..................................... 138
§ 2. Nichttangentiale Konvergenz ............................... 146
§ 3. HardY-Raume ho1omorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152
§ 4. Die Poisson-Jensen-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158
§ 5. Nullstellen............................................ 162
§ 6. Nullstellen der Randfunktion ............................... 169
§ 7. Der RaumH1 .•......•••.•.....•.••..••......•..•..... 171
§ 8. Das Corona-Theorem .................................... 175
Kapitel VI Spiegelungsprinzip und Dreiecksfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187
§ 1. Stetige Fortsetzung konformer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188
§ 2. Analytische Rander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 193
§ 3. Das Modulnetz und die Picardschen Satze ... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200
§ 4. Abbildungen von Kreisbogenpolygonen ........................ 204
§ 5. Die hypergeometrische Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213
§ 6. Kreisbogendreiecke und die B10chsche Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . .. 224
§ 7. Modulfunktionen und Dreiecksgruppen ........................ 228
§ 8. Modulfunktionen und elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 236
§ 9. Abbildungen durch elliptische Funktionen ...................... 242
§ 10. Polyeder-Funktionen..................................... 247
Kapitel VII Hilbertriiume und konfonne Abbildungen ................... 253
§ 1. Hilbertsche Funktionenraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254
§ 2. Holomorphe quadratintegrable Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 257
§ 3*. Orthonormalbasen im Bergman-Raum ......................... 262
§ 4. Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
§ S. Der Satz von Bell ....................................... 272
§ 6. Regularitatssatze ffir den Kreis .............................. 278
§ 7. Der Satz von Painleve-Warschawski ........................... 283
§ 8. Potentialtheoretische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 287
§ 9*. Eine asymptotische Darstellung ffir die Bergman-Projektion ........... 289
§ 10*. Der Szego-Kern ........................................ 294
§ 11 *. Die Cauchy-Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 301
§ 12*. Plemeljsche Formeln ..................................... 30S
§ 13*. Cauchy-Kern, Szego-Kern und Riemannsche Abbildungsfunktion ....... 313
Literaturverzeichnis .......................................... 318
Wichtige Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321
Namen-und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 322
VII
Vorwort
Das vorliegende Buch ist einigen Ergebnissen und Methoden der geometrischen Funk
tionentheorie gewidmet: Holomorphe Funktionen werden also als spezielle Abbildungen
ebener Gebiete angesehen und unter diesem Blickwinkel untersucht. Die Stoffauswahl ist
(au~er durch den pers6nlichen Geschmack der Autoren) durch folgende Uberlegungen
bestimmt:
1. Da Gebiete durch ihren Rand gegeben werden, ist das Randverhalten konformer
Abbildungen ein Hauptthema der Darstellung. Es wird in Kapitel VI bei reell-analytisch
berandeten einfach zusammenhangenden Gebieten untersucht; die hier erzielten Ergebnisse
erOffnen einen Zugang zu einer gro~en Klasse nichtelementarer analytischer Funktionen
(den elliptischen Modulfunktionen und Schwarzschen Dreiecksfunktionen), die ihrerseits
mit der klassischen hypergeometrischen Differentialgleichung (VI. § 5) zusammenhangen.
1m siebten Kapitel beweisen wir die Existenz differenzierbarer Fortsetzungen konformer
Abbildungen auf den Rand im FaIle glatt berandeter Gebiete beliebigen Zusammenhangs.
Der Beweis beruht auf dem Transformationsverhalten des Bergmanschen Projektions
operators und ist der komplexen Analysis mehrerer Variablen entlehnt. Das Ergebnis
kann dann zum Aufbau einer Theorie der Hardy-Raume auf glatt berandeten Gebieten
herangezogen werden - siehe 4 - und ftihrt gleichzeitig zu Regularitatssatzen der Poten
tialtheorie - siehe 3.
2. Die Konstruktion der universellen Uberlagerung eines ebenen Gebietes liefert oft
entscheidende Informationen tiber das Gebiet selbst; daflir geben wir in Kapitel IV, § 6
typische Beispiele. Wir widmen daher zwei Kapitel (II und IV) der elementaren Theorie
Riemannscher Flachen und dem Beweis des Uniformisierungssatzes; der Beweis wird
durch Konstruktion der Greenschen Funktion geftihrt, also mit potentialtheoretischen
Hilfsmitteln.
3. Methoden der reellen Analysis und der Funktionalanalysis (Integrationstheorie,
Hilbertraume, Integraltransformationen) sind flir die hier behandelten Fragen von beson
derem Wert; insbesondere wird der enge Zusammenhang zwischen holomorphen und
harmonischen Funktionen an mehr Stellen ausgenutzt, als wir aufzahlen k6nnen. AIle
ben6tigten Hilfsmittel aus der Theorie harmonischer Funktionen werden im dritten
Kapitel (gleich fUr Riemannsche Flachen) bereitgestellt. In Kapitel VII, § 8 k6nnen wir
gleichzeitig mit der Randregularitat konformer Abbildungen die Randregularitat des
Dirichlet-Problems beweisen (die also hier ein Ergebnis, nicht ein Hilfsrnittel der Funk
tionentheorie ist); hier kommt die enge Verzahnung von Funktionentheorie und Poten
tialtheorie besonders deutlich zum Ausdruck.
4. Ein Hilfsmittel fUr die konforme Abbildung und gleichzeitig von selbstandigem
Interesse ist die Funktionentheorie im Einheitskreis als Beispiel fUr Funktionentheorie
auf beschrankten Gebieten. Kapitel V ist einer Einftihrung in diese Theorie gewidmet,
VIII Vorwort
die bis zum Beweis des Corona-Theorems ftihrt. Diese Oberlegungen konnen mit den
Mitteln des siebten Kapitels auf beliebige glatt berandete Gebiete iibertragen werden -
wir beschranken uns auf den Fall einfachen Zusammenhangs und begniigen uns dabei
mit einer Diskussion des Hardy-Raumes H2 und des zugehorigen Szegoschen Projektions
operators. In diesen Rahmen fligt sich auch die genaue Untersuchung der Cauchyschen
Integralformel (L 2-Beschranktheit und Plemeljsche Formeln) ein.
5. Die Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veranderlicher wird zwar in diesem
Buch nirgends entwickelt, sie motiviert aber an vielen Stellen Stoffauswahl und Darstel
lung: eine gauze Reihe der hier behandelten Fragen fiihrt irn hoherdirnensionalen Fall
auf tiefliegende und erst teilweise geloste Probleme, und einige unserer Methoden sind
in der Theorie sowohl einer als auch mehrerer Variablen anwendbar. Das gilt insbesondere
fiir die Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas in Kapitel lund flir die Hilbertraum
Methoden im letzten Kapitel. Die Entwicklung der komplexen Analysis mehrerer Variabler
in den letzten zwanzig lahren laBt vermuten, daB sie mehr Beziige zur klassischen Funk
tionentheorie besitzt, als sich bisher gezeigt haben.
Aus dem reichen Gebiet der Funktionentheorie einer Veranderlichen eine ausgewogene
Auswahl zu treffen, ist iiberaus schwierig; wir haben es noch nicht einmal angestrebt.
Unsere Darstellung kann am ehesten als ein Blick auf die Theorie einer Veranderlichen
yom Standpunkt der mehrdirnensionalen komplexen Analysis verstanden werden - die
Auswahl sowohl der Ergebnisse als auch der Methoden sind hierdurch bestirnmt. Dem
entsprechend haben einige Fragen, die in der Lehrbuchliteratur bisher seltener behandelt
worden sind, bei uns einen breiten Raum gefunden; das gilt besonders flir Kapitel VII,
aber auch fiir Teile von Kapitel lund V. Zum Ausgleich blieben wichtige Fragenkreise
der klassischen Funktionentheorie - auch der geometrischen - vollig unberiicksichtigt.
An vielen Stellen konnten wir friiheren Darstellungen der Funktionentheorie folgen.
So stiitzen wir uns Mters auf Golusin [Go], in Kapitel VI auch auf die Lehrbiicher von
Caratheodory [Cal und Rudin [Ru]; Kapitel V schlieBt eng an Koosis [Ko] an, und fiir
die Kapitel I und IV war uns die Darstellung von Ahlfors [Ah] besonders wertvoll. Ober
den Inhalt des Buches haben wir mehrfach Vorlesungen (in Bonn, Bremen, Miinster und
Princeton) fiir Studenten yom S. Semester an gehalten; die Reaktion der Horer war uns
ebenso niitzlich wie die Ratschlage und Hinweise zahlreicher Kollegen.
Dipl.-Math. H. Kriete, Dr. K. Leschinger und Prof. Dr. M. Range haben das Manuskript
irn ganzen oder in Teilen gelesen und kritisch kommentiert. Unterstiitzt wurde unsere
Arbeit durch die Universitaten Bremen und Bonn, die vorlesungsfreie Semester gewiihrten,
sowie durch Reisestipendien der Deutschen Forschungsgemeinschaft. Frau B. Leutloff,
Frau E. Hiisemann, Frau H. Eckl und Frau H. Pirk haben zahlreiche Varianten des
Manuskriptes getippt; Dipl. Mathematikerin I. Michels und Dr. A. StrauB haben uns beirn
Korrekturlesen unterstiitzt. - Wir danken sehr herzlich flir all diese Hilfe. Unser be
sonderer Dank gilt dem Vieweg-Verlag und vor allem Frau Dipl.-Math. U. Schmickler
Hirzebruch flir die sorgfaltige und fachkundige Betreuung des Manuskripts wahrend der
Drucklegung.
W. Fischer, I. Lieb
IX
Leitfaden
Die Grundlagen der Funktionentheorie, wie sie etwa in Fischer / Lie b [FL]
dargestellt sind, werden vorausgesetzt. Die ersten beiden Kapitel erganzen
und vervollstandigen den Inhalt von [FL]. Dber die Abhangigkeit der
einzelnen Abschnitte voneinander gibt das untenstehende Schema
Auskunft. Mit einem Stern" *" markierte Paragraphen sind im Vergleich
zu den anderen Abschnitten weniger wichtig (und oft schwieriger);
markierte Dbungen sind i. a. besonders schwierig oder umfangreich.
Oft sollen solche Dbungsaufgaben den Leser einfach zu eigenem Literatur
studium oder selbstandigen Untersuchungen anregen.
Die unmarkierten Paragraphen von vier oder fi.inf Kapiteln lassen sich
unserer Erfahrung nach in einer einsemestrigen Vorlesung behandeln -
im librigen k6nnen die einzelnen Teile des Buches in sehr verschieden
artige Vorlesungen eingearbeitet werden oder als Grundlage von Serninaren
dienen.
Beispiele fUr Auswahlen aus dem Stoff:
a) I, II, III. 1-3,5,6, IV
b) I, V.1,2, VI
c) III, V, VII.
GrundJagen der Funktionentheorie, z.B. [FL]
I I
I
Ill. 1-3 II. 1-6 I\ ;1_5~ V.1-2
~/ ~
Ill. 5-7 II. 7
\
Ill. 4 VI. 6
I
VII. 1-7 IV. 1-5
~ I
VII. 8-9 IV.6
~-- VII. 10-13 V.8
1
Kapitel I
Hermitische Metriken und normale Familien
Die nichteuklidische Metrik im Einheitskreis ist Beispiel einer hermitischen Metrik negativer Krummung;
sie llilit sich unter allen derartigen Metriken durch eine Extremaleigenschaft der Krtimmung charakteri
sieren (§§ 1,2). Diese Information, die als Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas angesehen
werden kann, liilit sich zum Studium holomorpher Funktionen im Einheitskreis verwenden (Satze von
Bloch und Landau in § 3); man erhii.lt dartiber hinaus eine wesentliche Verallgemeinerung des Montel
schen Satzes liber beschrankte Funktionenfamilien und damit einen Beweis des Satzes von Picard
(§§ 4, 5).
Das technische Hauptergebnis dieses Kapitels, Satz 2.2, wurde von L. Ahlfors 1938 verOffentlicht; die
Anwendungen in § 3 stammen ebenfalls von ihm. Unsere Darstellung folgt Golusin. Die Satze von
Bloch und Landau wurden (mit schwacheren Abschatzungen) von A. Bloch 1925 und E. Landau 1929
bewiesen. § 4 geht auf H. Grauert und H. Reckziegel (1965) zurlick, die Satz 4.1 in allgemeinerer Form
aufstellen - vgl. auch Kap. IV, § 6. Die elementare Konstruktion der Metrik in Satz 5.2 stammt eben
falls von diesen Autoren; Satz 5.1 wurde ursprlinglich von P. Montel1912 mittels der Theorie der
elliptischen Modulfunktionen bewiesen - diesen und weitere Beweise bringen wir im Veriauf des
Buches. Der Beweis des Picardschen Satzes geht in dieser Form ebenfalls auf Montel (1912) zuruck;
den Satz selbst hat E. Picard 1879 aufgestellt.
§ 1. Hermitische Metriken
Das Schwarzsche Lemma ([FL], IX, Satz 4.1) fand eine besonders anschauliche Interpreta
tion in den Begriffen der nichteuklidischen Geometrie: jede holomorphe Abbildung f des
Einheitskreises D in sich ist abstandsverktirzend (fiir die nichteuklidische Distanz!), und
geht auch nur ein Punktepaar in ein aquidistantes iiber, so ist f ein Automorphismus
von D und damit abstandserhaltend. Wir wollen nun, urn das Schwarzsche Lemma zu
verallgemeinern und auf tiefliegende Probleme der Funktionentheorie anzuwenden, den
geometrischen Begriffsapparat ausbauen.
Definition 1.1. i) Eine hermitische Metrik auf einem Gebiet Gist eine stetige Funktion A
auf G, die mit Ausnahme isolierter Nullstellen positiv ist.
ii) Die Lange eines stilckweise stetig differenzierbaren Weges C in G mit Parametrisie
rung r: [a, b] G bezilglich einer hermitischen Metrik A ist die Zahl
-7
b
SA Sir' A
LACC) = (z) Idzl = (t)1 ('y(t)) dt .
C a
Urn darauf hinzuweisen, d~ hermitische Metriken zur Langendefinition dienen, bezeich
nen wir Metriken in der Regel nicht mit A, /J., ... , sondern mit
ds = A (z) Idzl