Aula 17 Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos

26 Pages·2015·0.19 MB·Portuguese

by  Marcos Eduardo Valle

Aula 17
Ajuste de Curvas pelo
Método dos Quadrados
Mínimos – Caso Discreto
MS211 - Cálculo Numérico
Marcos Eduardo Valle
DepartamentodeMatemáticaAplicada
InstitutodeMatemática,EstatísticaeComputaçãoCientífica
UniversidadeEstadualdeCampinas
Problema de Quadrados Mínimos – Caso Discreto
Suponha que temos uma tabela
x x x ... x
1 2 m
y y y ... y
1 2 m
com x ,x ,...,x em um intervalo [a,b]. Escolhidas funções
1 2 m
g ,g ,...,g , contínuas em [a,b], nosso objetivo será
1 2 n
encontrar coeficientes α ,α ,...,α de modo que a função
1 2 n
ϕ(x) = α g (x)+α g (x)+...+α g (x),
1 1 2 2 n n
satisfaça
ϕ(x ) ≈ y , ∀k = 1,...,m.
k k
As funções g ,g ,...,g podem ser escolhidas observando o
1 2 n
gráfico dos pontos tabelados ou baseando-se em conceitos
teóricos do experimento que forneceu a tabela.
Podemos pensar que
y = f(x ), ∀k = 1,...,m,
k k
para alguma função desconhecida f. Nesse caso, a função ϕ
fornece uma aproximação para f com base nos pontos
amostrados (x ,y ),(x ,y ),...,(x ,y ).
1 1 2 2 m m
O modelo matemático
ϕ(x) = α g (x)+α g (x)+...+α g (x),
1 1 2 2 n n
é chamado linear porque os coeficientes α ,...,α aparecem
1 n
linearmente. As funções g ,...,g , porém, não precisam ser
1 n
funções lineares; elas podem ser polinômios, funções
trigonométricas, exponenciais, logaritmos, etc.
Exemplo 1
Considere a tabela
x -1.00 -0.75 -0.60 -0.50 -0.30 0.00 0.20 0.40 0.50 0.70 1.00
y 2.05 1.15 0.45 0.40 0.50 0.00 0.20 0.60 0.51 1.20 2.05
Podemos colocar os pontos tabelados (x ,y ),...,(x ,y )
1 1 11 11
emumgráficocartesianochamadodiagramadedispersão.
Exemplo 1
2.5
2
1.5
)
x
(
f
=
y
1
0.5
0
-1 -0.5 0 0.5 1
x
Exemplo 1
Esse gráfico sugere escolher escolhermos
g (x) = x2, g (x) = x e g (x) = 1.
1 2 3
Dessa forma,
ϕ(x) = α g (x)+α g (x)+α g (x)
1 1 2 2 3 3
= α x2+α x +α ,
1 2 3
que é uma parábola.
Formulação Matemática
Escolhidas as funções g ,...,g , no problema de quadrados
1 n
mínimos, a notação
ϕ(x ) ≈ y , ∀k = 1,...,m,
k k
significa que a soma dos quadrados dos desvios ϕ(x )−y é
k k
mínima, ou seja,
m
(cid:88)(cid:16) (cid:17)2
J(α ,...,α ) = ϕ(x )−y ,
1 n k k
k=1
é mínimo.
Observe que J será zero se, e somente se,
ϕ(x ) = y , ∀k = 1,...,m.
k k
Nesse caso, ϕ ajusta exatamente os dados tabelados.
No curso de Cálculo II, vimos que o mínimo de J(α ,...,α )
1 n
deve satisfazer
∂J
= 0, ∀j = 1,...,n.
∂α
j
Pela regra da cadeia, a derivada parcial é
m
∂J (cid:88)(cid:16) (cid:17)
= 2 α g (x )+...+α g (x )−y g(x ).
1 1 k n n k k j k
∂α
j
k=1
Dessa forma, devemos ter
m
(cid:88)(cid:16) (cid:17)
α g (x )+...+α g (x )−y g(x ) = 0, ∀j = 1,...,n.
1 1 k n n k k j k
k=1
Equações Normais
Alternativamente, podemos escrever
(cid:32) m (cid:33) (cid:32) m (cid:33) m
(cid:32)(cid:88)(cid:88)km=1gg11((xxkk))gg12((xxkk))(cid:33)αα11++......++(cid:32)(cid:88)(cid:88)km=1ggnn((xxkk))gg12((xxkk))(cid:33)ααnn ==(cid:88)(cid:88)km=1yykkgg12((xxkk)),,
k=1 k=1 k=1
(cid:32)(cid:88)m g1(xk)gn(xk)(cid:33)α1+...+(cid:32)(cid:88)m gn(xk)gn(xk)(cid:33)αn ...=(cid:88)m ykgn(xk),
k=1 k=1 k=1
que é um sistema linear com n equações e incógnitas
α ,...,α .
1 n
Esse sistema linear acima é chamado equações normais.
Em termos matriciais, as equações normais podem ser
escritas como
Aα = b,
em que A = (a ) ∈ Rn×n, α = (α) ∈ Rn e b = (b) ∈ Rn, com
ij j i
m m
(cid:88) (cid:88)
a = g(x )g(x ) e b = y g(x ), ∀i,j = 1,...,n.
ij i k j k i k i k
k=1 k=1