Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.2193
Herausgegeben im Auftrage des Ministerprasidenten Heinz Kuhn
yom Minister fur Wissenschaft und Forschung Johannes Rau
Dipl.-Ing. Herbert Endrefl
Dipl.-Ing. Gerbard Ortb
Elektrowarme-Institut Essen e. V.
Wissenschaftliche Leitung: Dr.-Ing. Kurt Kegel
Aufstellung normierter Programme
flir ein Analogiemodell nach Beuken
WESTDEUTSCHER VERLAG· OPLADEN 1971
ISBN-13: 978-3-531-02193-5 e-ISBN-13: 978-3-322-88318-6
DOl: 10.1007/978-3-322-88318-6
© 1971 by Westdeutscher Verlag, Opladen
Gesamtherstellung: W'estdeutscher Verlag
Inhalt
Rinleitung ............................................................. 5
Teil 1: Nomogramm zur Bestimmung der GraBen und MaBstabfaktoren bei einem
Beukenmodell ................................................... 6
1.1 Einleitung ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Nomographische Skalierung ....................................... 6
1.3 Transformationskoeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Graphische Bestimmung der ModellgraBen und -maBstabe .. . . . . . . . . . . . 8
1.5 Genauigkeit des Nomogrammes .................................... 9
1.6 Nebenbe::lingung fiir den Arbeitsbereich des MoJells . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
1.7 Zusammenfassung ................................................ 13
Tei12: Steuerbare Stromquellen .......................................... 14
2.1 Schaltungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
2.2 Obertragungsverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
2.3 Aussteuerungsgrenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
2.4 Eingangswiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
2.5 EinfluB von Oifsetspannung und -strom ............................. 16
2.6 Dimensionierungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
2.7 Beispiel einer Dimensionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
Teil 3: Steuer bare Spannungsquellen ...................................... 19
3.1 Obertragungsverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3.2 Eingangswiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3.3 Ausgangswiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3.4 Frequenzgang und Stabilitat ....................................... 21
3.5 EinfluB von Biasstrom, Oifsetstrom und -spannung ................... 21
3.6 Dimensionierungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
Tei14: Fotoelektrischer Funktionsgenerator ................................ 23
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
4.2 Aufbau und Wirkungsweise ....................................... 23
4.3 Beschreibung der einzelnen Komponenten ........................... 24
4.3.1 Die Lichtquelle und ihre Speisung .................................. 24
4.3.2 Der Querschnittswandler .......................................... 25
4.3.2.1 Querschnittswan::ller mit direkter optischer Abbildung ................ 25
4.3.2.2 Querschnittswandler aus Plexiglas .................................. 26
4.3.2.3 Querschnittswan::ller mit Lichtleitfasern ............................. 27
4.3.3 Die Linearitat der Abtastsysteme ................................... 31
4.3.3.1 Abtastsystem mit der Fotodiode OAP 12 ............................ 31
4.3.3.2 Abtastsystem mit der Fotodiode MD 2 .............................. 31
4.3.3.3 Abtastsystem mit der Fotodiode LSX 900 ........................... 31
3
4.3.3.4 Abtastsystem mit der Fotodiode PIN L 2 ........................... . 31
4.3.3.5 Vergleich der Linearitat bei verschiedenen F otodiodentypen .......... . 32
4.3.4 EinfluB des bffnungswinkels des Querschnittswandlers ............... . 32
4.3.5 Abtasteinrichtung mit zusatzlicher optischer Abbildung .............. . 32
4.3.6 Die Fotodioden ................................................. . 33
4.3.7 Ausgangseinheit ................................................. . 36
4.3.8 Antrieb und Regelung ........................................... . 36
4.4 Zusammenfassung ............................................... . 37
4.5 Anhang ........................................................ . 38
4.5.1 Krummungsradius des Querschnittswandlers aus Plexiglas ............ . 38
4.5.2 Zeit- und Frequenzverhalten des Querschnittswandlers ............... . 39
4.5.3 Festigkeitsberechnung der Trammel des Funktionsgenerators ......... . 40
Tei15: Nichtlineares Kettenglied ................ . . . . ............ . . . ..... .. 41
5.1 Der Feldeffekttransistor ........................................... 41
5.2 Die Steuerfunktion ............................................... 41
5.3 Versuchsschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
5.4 Versuchsergebnisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
5.5 AbschlieBende Oberlegungen ...................................... 43
5.6 Ein anderes Verfahren zur Berucksichtigung temperaturabhangiger Stoff-
werte ........................................................... 43
Teil 6: Einrichtung zum periodischen Entladen der Modellkondensatoren . . . . . .. 45
6.1 Einleitung ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
6.2 Schaltungsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
6.3 Anforderungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
6.4 Praktische Ausfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
6.5 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
6.6 SchluBbemerkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
Teil 7: Nachbildung von Warmevorgangen, bei denen das Erwarmungsgut Teil
einer Regelstrecke ist ............................................. 48
7.1 Beschreibung der Anordnung ...................................... 48
7.2 Abmessungen und Nachbildung .................................... 48
7.3 Thermische und elektrische GraBen, MaBstabe ....................... 48
7.4 Randbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
7.5 Modellschaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
7.6 Versuchsergebnisse. ..... . .. . . . . . . . . . ... . . . . ... ... . . . . . . . .... .. . .. 50
7.7 SchluBfolgerung ... , ........................................... " 51
Literaturverzeichnis ..................................................... 52
Anhang ................................................................ 54
a) Arbeitsbliitter 54
b) Abbildungen 58
4
Einleitung
Ziel und Zweck der Untersuchungen zu dem vorgegebenen Thema werden im folgenden
umrissen und anschlienend ein kurzer Oberblick uber die einzelnen Teile des Berichtes
gegeben.
Vom Thema her stellt sich die Aufgabe, Unterlagen und Hilfsmittel fUr eine rationelle
Arbeitsweise mit dem Beukenmodell zu schaffen. Das Modell ist an die wechselnden
Aufgabenstellungen anpassungsfahig zu machen und die Modelltechnik zu verbessern,
damit auch solche Aufgaben. bearbeitet werden konnen, die bisher wegen fehlender
Nachbildungselemente ausgeklammert wurden. Fur after wiederkehrende ahnliche
Probleme sind Rechenschemata vorzubereiten. Folgende Aufgabenstellungen wurden
prazisiert: Es sind Unterlagen in der Form von Arbeitsblattern, kurzen Anweisungen
und Tabellen fUr die geistige Obersetzungsarbeit zu schaffe n, die bei der Transformation
des warmetechnischen Original systems in das elektrische Modellsystem anfallt. Unter
lagen der genannten Art sind auch fur die rasche Realisierung der Modellschaltung
anzufertigen, insbesondere im Hinblick auf die Speisegerate. Weiterhin sind grund
legende Untersuchungen zu einer Erweiterung des Anwendungsbereiches fur das Modell
durchzufuhren; hierzu gehort das Gebiet der Funktionserzeugung und die Nachbildung
temperaturabhangiger Stoffwerte. Schlief31ich solI als praktisches Beispiel ein Regel
vorgang modelliert werden.
Entsprechend der Gliederung der Forschungsaufgabe in Teilaufgaben wurde auch der
Forschungsbericht in Teile gegliedert.
Der Teil1 ist als Beitrag zur normierten Programmierung gedacht. Nach einer Ober
sicht uber aIle Systemkenngronen bei der warmetechnischen Analogiedarstellung werden
die einzelnen Schritte bei einer Transformation gezeigt und dann ein graphisches Ver
fahren zur Bestimmung der Transformationskoeffizienten abgeleitet. Als weitere Arbeits
hilfe fur die Transformation wurden drei Arbeitsblatter erstellt. Mit ihrer Hilfe lafit sich
der Rechengang der Transformation ubersichtlich und methodisch durchfUhren.
Die Teile 2 und 3 befassen sich mit Untersuchungen an Operationsverstarkern, die als
steuerbare Speisegerate (Strom- und SpannungsqueIlen) in der Modelltechnik ein
gesetzt werden. Zunachst werden die grundsatzlichen Eigenschaften und Kenndaten
bei der Schaltung als Strom- oder Spannungsquelle behandelt und Fehlereinflusse ab
geschatzt. Es folgen Dimensionierungsregeln fur die Anpassung an eine vorgegebene
Aufgabenstellung.
In den Teilen 4, 5 und 6 geht es urn die Anpassung des Modells an schwierigere Auf
gabenstellungen, also urn eine Erweiterung des Anwendungsbereiches des Modells. Ein
breiter Raum wurde hier der Funktionserzeugung gewidmet. Ein Verfahren zur Er
zeugung mehrerer synchronisierter Funktionen auf dem Wege der fotoelektrischen Ab
tastung eines bewegten Lichtbandes mit Modulation der Lichtbandbreite wird in Tei14
eingehend untersucht.
Das Problem der Einbeziehung temperaturabhangiger Stoffwerte in die modellmanige
Nachbildung ist bisher noch nicht befriedigend gelost. In Teil 5 wird das Verhalten
eines neuen Halbleiterbauelementes, des Feldeffekttransistors, im Hinblick auf seine
Verwendung als steuerbarer Wider stand in nichtlinearen Kettengliedern untersucht.
Weiterhin werden Oberlegungen zu einem anderen Verfahren angesteIlt, mit dem
temperaturabhangige Stoffwerte bei der Nachbildung durch Einteilung der Temperatur
funktion in Abschnitte berucksichtigt werden konnen.
5
Der Teil 6 behandelt eine Einrichtung zum periodischen KurzschlieGen der Modell
kapazitaten. Diese ermaglicht, mit dem ,',lodell nicht nur periodische, sondern auch ein
malige V organge darzustellen.
Der Bericht schlieGt mit der Modelluntersuchung eines Regelvorganges bei einge
betteten Heizkarpern in Teil7 abo Die Beziehungen zwischen dem zeitlichen Verlauf
der Heizleistung und dem Verlauf der verschiedenen Temperaturen in Abhangigkeit
von den Regelparametern werden veranschaulicht.
Teill: Nomogramm zur Bestimmung der GraBen und
:MaBstabfaktoren bei einem Beukenmodell
1.1 Einleitung
Bei der modellmaGigen Darstellung von Problemen der Warmeiibertragung nach
Beuken handelt es sich vorwiegend urn die Lasung der Differentialgleichung der
Warmediffusion in diskretisierter Form. Diese mathematische Grundlage erfordert die
Betrachtung des Beukenmodells als modifiziertes Analog-Rechengerat. Das Simu
lationsverfahren beruht auf einer linear en Transformation des warmetechnischen physi
kalischen Systems in das rein elektrische physikalische System. Zur Vereinfachung kann
die Skalierung der Modellnachbildung in diese Transformation mit einbezogen werden.
Die GraGe der im Analogienetzwerk verwendeten Bauelemente begrenzt die freie Wahl
des Betrages der Transformationskoeffizienten, so daG eine Oberpriifung ihrer Brauch
barkeit fiir jedes nachzubildende Teilsystem unerlaI3lich ist. Da es sich bei der Bestim
mung der Koeffizienten urn eine stets wiederkehrende einfache Multiplikation bzw.
Division handelt, liegt es nahe, diese Operationen mit Hilfe eines Nomogrammes
graphisch durchzufiihren.
1.2 Nomographische Skalierung
Solche N::>mogramcne sin:l fiir jeJes Beukenmo:lell speziell nach dessen Dimensio
nierung festzulegen. Es wird ein Beispiel fiir ein schnelles Beukenmodell behandelt, und
die Grenzen der Anwen:lung werden dargelegt.
In der Tab. 1.1 sind alle GraGen angegeben, die fiir die Nachbildung der Warmediffusion
durch ein Analogiemodell erforderlich sind. Es handelt sich hierbei urn drei Gruppen
von GraGen:
1. StammgraGen (Temperatur {}; Spannung U)
2. SystemkenngraGen
a) System:lichte (Warmeleithhigkeit J.; elektrische Leitfahigkeit x)
b) Feldveranderlichkeit (spez. Warme pro Volumeneinheit em . c;
elektrische Kapazitat C)
c) Systembeschaffenheit (warmeleistungsdichte pw = ~; ;
dI)
elektrische Stromdichte i =
dV
6
1.3 Transformationskoeffizienten
Die allgemeine Zusammenstellung der Tabelle beinhaltet bereits die wichtigsten Ver
knupfungsgleichungen zwischen den einze1nen GroBen. Fiir die praktische Durch
fiihrung der Skalierung des Analogiemodells eignet sich jedoch besser eine weitere
tabe1larische Zusammenstellung in der Form eines Berechnungsblattes (Arbeitsblatt 1.4).
Fiir Aufgabenstellungen, die gemaB verschiedener Parameteranderungen eine sehr
detaillierte Unterteilung in Einzelelemente, d. h. eine groBe Zahl von Schichten bzw. T
oder :rr;-Gliedern, verlangen, ist die Verwendung der drei Arbeitsblatter: 1.1 Bezeich
nungen, 1.2 ModellgroBen, 1.3 MaBstabe und Randbedingungen am vorteilhaftesten.
Ais Parameteranderungen konnen hier der geometrische Aufbau (z. B. die Flachen
anderung bei Zylindersymmetrie), die ortlichen Anderungen der Warmeleitfahigkeit
und der Warmeiibergangszahl genannt werden. In diesen wird auch die Aufteilung
jedes physikalischen Systems bzw. Teilsystems in Untersysteme berucksichtigt. Die
Behandlung von Problemen der Warmeiibertragung unter Benutzung des nomogra
phischen Skalierungsverfahrens erfolgt in einzelnen Schritten:
1. Idealisierung des Problems durch Schaffung einer Modellvorstellung (Block-
diagramm, FluBdiagramm);
2. Beschreibung des Modells durch einen mathematischen Ansatz;
3. Auswahl eines konstruktiven Losungsverfahrens (Modelldarstellung);
4. Quantitative Losung durch
a) numerische Methoden,
b) analoge Methoden (z. B. Beukenmodell),
c) graphische Verfahren.
Unter 4.b) sind nach der Ermittlung der SystemkenngroBen und ihrer Eintragung im
Berechnungsblatt mit Hilfe des Nomogrammes die MaBstabfaktoren fur die Trans
formation festzulegen. Es ergeben sich daraus spezielle Werte fiir das analoge e1ektrische
System un.:J. die Unterteilung des Systems in einzelne T- oder :rr;-Glieder (R-C-Kombi
nation) bzw. fiir die entsprechenden Halbglieder. Bei der Festlegung des Betrages der
Transformationskoeffizienten sind der zur Verfiigung stehende Bereich der Werte der
e1ektrischen Bauelemente (Widerstands- und Kapazitatsdekaden) zu beriicksichtigen,
sowie der von dem Grad der Unterteilung in Einzelglieder auftretende Modellierfehler.
Bei der Modelldarstellung von Systemen mit stark unterschiedlichen Systemkenn
groBen kann bei der zunachst willkurlichen Wahl der Transformationskoeffizienten der
Fall eintreten, daB die kleinsten oder groBten Widerstands- oder Kapazitatswerte sich
nicht realisieren lassen; es ist dann die Transformation durch eine geeignetere Wahl
der Koeffizienten, als betragsmaBig yom physikalischen System unabhangige GroBen,
erneut festzulegen, wobei zu beachten ist, daB diese untereinander bestimmten Bedin
gungen genugen miissen. Diese sind:
o
e·'fJ
'fJ = (!. fJ 0=- e=-
fJ (!
Es sind immer nur drei Koeffizienten frei wahlbar, deren Kombination im Nomogramm
eine bestimmte Konfiguration ergibt. Durch die SystemkenngroBen ist die Variations
breite im physikalischen System als vorgegeben anzusehen. Die Werte fiir die graphisch
gefundenen Losungen im e1ektrischen System mussen im realisierbaren Bereich liegen,
d. h. innerhalb der durch die Endpunkte der Achsen des Nomogrammes festgelegten
7
Grenzen. Das Beispiel einer solchen Konfiguration ist im Nomogramm (Abb. 1.1)
eingezeichnet.
1m Berechnungsblatt kannen mit den gefundenen Koeffizienten aIle ModeIlgraBen er
mittelt werden und die modeIlmaBigen Lasungen meBtechnisch erfaBt werden. Eine
Riicktransformation liefert die gesuchten Lasungen im urspriinglichen warmetech
nischen System.
1.4 Graphische Bestimmung der ModellgroBen und -maBstabe
Die Verwendung des Nomogrammes zur Skalierung eines Beukenmodelles wird an
einem zahlenmaBigen Beispiel erlautert.
Ais AusgangsgroBen seien der Warmewi2erstand W, die Warmekapazitat K und die
Warmeleistung Pw bekannt. Der elektrische Widerstand R, die elektrische Kapazitat C
sowie aIle vorkommenden MaBstabe sind zu bestimmen. Die Lasung der Aufgabe
erfolgt in einzelnen Schritten.
1. Die gegebenen GraBen werden auf den Skalen des Nomogrammes (Reihe 2,5, 10)
eingetragen (W, K, Pw).
2. Der Speisestrom list frei wahlbar und in Reihe 11 einzutragen. Die Verlangerung
der Verbindungslinie der beiden Punkte in den Reihen 10 und 11 gibt mit ihrem
Schnittpunkt in Reihe 9 den StrommaBstab e an. Die Gerade 12 realisiert die
Gleichung
Pw = e·f
3. Ais zweite GroBe wird der TemperaturmaBstab b frei gewahlt (Reihe 7). Es ist zweck
maBig, den Betrag des TemperaturmaBstabes b als Zehnerpotenz festzulegen, urn bei
der Potentialfeldausmessung eine moglichst einfache Riicktransformation in Form
einer Zehnerpotenz zu erhalten. Die Verbindungsgerade 13 zwischen dem Strom
maBstab e und dem TemperaturmaBstab b liefert durch den Schnitt ihrer Verlange
rung bis zur WiderstandsmaBstabskala in Reihe 4 den Wert fur e. Hiermit ist der
algebraische Zusammenhang
b=e'e
realisiert.
4. Die Verbindungsgerade 14 von WiderstandsmaBstab e und Warmewiderstand W
legt den elektrischen Wicerstand R in Reihe 1 fest.
W=e· R
Falls sich fur die kleinsten oder groBten Zahlenwerte von Welektrische Widerstande
ergeben, die auBerhalb des Bereiches des Nomogrammes liegen, muB der Vorgang
von Punkt 3 ab durch eine neue geeignete Wahl des TemperaturmaBstabes b wieder
holt werden, urn am Modell einstellbare Widerstande zu erhalten.
5. Ais dritte GroBe kann der ZeitmaBstab 'YJ frei gewahlt werden. Hinsichtlich der
spateren Auswertung ist es angebracht, ihn als das 3,6fache einer Zehnerpotenz zu
definieren. Nach der Beziehung
= e' P
'YJ
ergibt sich aus der Geraden 15 durch den Schnittpunkt mit der KapazitatsmaBstab
skala in Reihe 8 der Wert flir p.
8
6. Den Wert fUr die elektrische Kapazitat C erhalt man durch den Schnittpunkt der
Verlangerung der Verbindungsgeraden 16 zwischen dem KapazitatsmaBstab und der
Warmekapazitat (Reihen 5 und 8) mit der Kapazitatsskala C in Reihe 3.
K={3'C
Lassen sich nicht aIle im abzubildenden System vorkommenden Kapazitatswerte ein
steIlen, d. h., wird der Bereich der Kapazitatswerte des Nomogrammes uberschritten,
so muB der Vorgang durch erneute Wahl des ZeitmaBstabes 'rj ab Punkt 5 wieder
holt werden.
Es empfiehlt sich, zunachst fur den Warmewiderstand und die Warmekapazitat Werte
mittlerer GroBe einzusetzen und anschlieBend mit den vorkommenden Extremwerten
von W und K die Einhaltung des durch das Nomogramm vorgegebenen Bereiches von
R und C nachzupriifen, urn gegebenenfaIls die Skalierung nach Punkt 4 bzw. 6 korri
gieren zu konnen.
Das skizzierte Verfahren ist als Beispiel anzusehen, das durch eine andere Kombination
in der Reihenfolge der frei wahlb ar en GraBen, entsprechend den vorgegebenen Daten,
variiert werden kann, da die mathematischen Zusammenhange durch das Nomogramm
eindeutig bestimmt sind.
l.S Genauigkeit des Nomogrammes
Die sich aus dem Nomogramm erg eben den Werte sind fehlerbehaftet. Eine Fehler
queIle ist die unvermeidliche Zeichenungenauigkeit, die sich bei der ErsteIlung der
Konfiguration der MaBstabsachsen und der Achsen der warmetechnischen sowie elek
trischen GraBen ergibt. Die zweite Fehlerursache ist durch die Ungenauigkeiten bei der
Eintragung der vorgegebenen Werte und bei der graphischen Ermittlung der gesuchten
GraBen bedingt.
Derartige Fehler begrenzen die Verwendungsmoglichkeiten des Nomogrammes auf die
einfache uberschlagige Berechnung der analogen Transformation des warmetechnischen
in das elektrische System mit der Option einer sehr einfachen Abschatzung der Ein
haltung des Modellbereiches. Es ist schwierig, eine abgegrenzte quantitative Aussage
uber den Betrag des maximalen Fehlers bei der Verwendung des Nomogrammes zu
geben. Durch statistische Ermittlung bei einer Serie von Transformationen wurde
ein maximaler Bereich des Betrages des Fehlers von 0 bis 25% ermittelt. Der mittlere
Fehler war stets < 8%. Diese Angaben gelten fUr aIle im Nomogramm zu ermittelnden
GraBen, wenn als BezugsgroBen die exakte algebraische Berechnung zu Grunde gelegt
wird.
Als wichtigste EinfluBgroBen auf die Genauigkeit der nomographischen Behandlung
sind einerseits die GroBe des Nomogrammes selbst, d. h. die spezifische Auflosung der
Achsenteilungen und andererseits die auf den logarithmischen Teilungen des Nomo
grammes benutzten Betrage der Mantissenwerte anzusehen. Durch ein groBer ge
zeichnetes Nomogramm konnen sich aber auch die Ungenauigkeiten der Eintragungen
vergroBern, so daB die Genauigkeitsverbesserung durch die VergroBerung nur zum
Teil zur Geltung kommt. Ein Anwachsen des Fehlers, falls im Losungsweg groBe
Mantissenwerte benutzt werden, ist unvermeidlich.
9
1.6 Nebenbedingung fur den Arbeitsbereich des Modells
Neben den Fehlern des ~om:)grammes mussen die Modellfehler Berucksichtigung
hnden. Hierzu ist besonders der Einf1uB der parasitaren Induktivitaten zu nennen. LaBt
man einen ~fodellfehler von 3% zu, so gilt nach BRODfEIER [1] die Beziehung
R2·C
L<:::,--
- 16
fur eine R-C-Kette. Aus Messungen ergibt sich fur das als Beispiel behandelte Beuken
modell fur eine siebenglidrige Kette eine Induktivitat von 6,25 fLH (""" 1 f1-H pro Glied),
so daB die Beziehung vereinfacht werden kann zu
10-4
R2·C~ --Qs
n
wobei n die Gliderzahl innerhalb jeweils einer Kette darstellt. Die Ungleichung muB
bei der Benutzung des Nomogrammes eingehalten werden und ist fUr die Extremwerte
von Widerstand R und Kapazitat C jeweils nachzuprUfen.
Der Wert fur It ist dabei nach den Gesichtspunkten der Toleranzen der Bauelemente und
nach der Fourier-Zahl Fo festzulegen. Die Toleranzen der Bauelemente verursachen
Fehler in der Modelldarstellung, die sich mit wachsender Gliederzahl n vergroBern. Die
Fourier-Zahl Fo
a'l
Fo=
s2
ist dimensions los und eine charakteristische GroBe fur das Zeitverhalten von instatio
naren Vorgangen. a bedeutet hierbei die Temperaturleitfahigkeit und s die halbe Wand
starke (s = dI2). Wenn alle GroBen eingesetzt werden, ergibt sich mit
A
a =--
em' C
t.
I
Fo=-- '-
em' C s2
Die Fourier-Zahl ist also fur einen bestimmten Leitungsvorgang eine gleichbleibende
GroBe, unabhangig davon, ob es sich urn das warmetechnische System handelt oder ob
sein elektrisches Analogiemodell betrachtet wird. Sie ist notwendige und hinreichende
Bedingung fur die Identitat zweier Temperaturfelder und fur die Ahnlichkeit der modell
maGigen Nachbildung. Nach der angegebenen Formel mussen die Fourier-Zahl des
warmetechnischen Systems und des elektrischen Modells gleich sein. Bei der raumlichen
Diskretisierung im Modell durch n einzelne Glieder andert sich das zeitliche Verhalten.
TelgeS =R·C Twges W·K
R C W K
Teln Twn
n n n n
R·C W·K
Tel n ges = ---=- T w n ges = -----=-
In In
Diese Beziehungen konnen nach [9] abgeleitet werden, \Venn immer em GauBsches
Obertragungsverhalten vorausgesetzt wird.
10
