aspectos da história da análise matemática de cauchy a lebesgue

168 Pages·2015·4.85 MB·Portuguese

ASPECTOS
DA HISTÓRIA
DA ANÁLISE
MATEMÁTICA DE
CAUCHY A LEBESGUE
ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI
SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA
A H
spectos dA istóriA
A M
dA nálise AteMáticA
c l
de AucHy A ebesgue
CONSELHO EDITORIAL ACADÊMICO
Responsável pela publicação desta obra
Marcos Vieira Teixeira
Miriam Godoy Penteado
Roger Miarka
Rosana Giaretta Sguerra Miskulin
ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI
SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA
A
spectos dA
H A
istóriA dA nálise
M
AteMáticA de
c l
AucHy A ebesgue
© 2014 Editora Unesp
Cultura Acadêmica
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B245a
Baroni, Rosa Lúcia Sverzut
Aspectos da história da análise matemática de Cauchy a Lebesgue
[recurso eletrônico] / Rosa Lúcia Sverzut Baroni, Sílvio César Otero-Garcia.
São Paulo: Cultura Acadêmica, 2014.
recurso digital
Formato: ePDF
Requisitos do sistema: Adobe Acrobat Reader
Modo de acesso: World Wide Web
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-7983-601-5 (recurso eletrônico)
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática – História. 3. Livros
eletrônicos. I. Otero-Garcia, Sílvio César. II. Título.
14-18667 CDD: 510.9
CDU: 51(09)
Este livro é publicado pelo Programa de Publicações Digitais da Pró-Reitoria de
Pós-Graduação da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp)
Editora afiliada:
S
umário
Introdução 7
1 O conceito de função 15
2 As contribuições de Cauchy 25
3 Gauss, Bolzano e Abel 51
4 Séries de Fourier e o teorema de Cauchy 65
5 Weierstrass e o movimento do rigor 77
6 A moderna teoria da integração 91
Sílvio César Otero-Garcia
7 Construções dos números reais 129
Referências 151

i
ntrodução
A disciplina de análise, oferecida em cursos de graduação em
matemática, é, em geral, tida como geradora de grande ansiedade
nos alunos (Bortoloti, 2003). Concebemos a análise matemática
"não apenas como uma tentativa de fornecer rigor e fundamento ao
Cálculo, mas como um conjunto de objetos histórico-matemáticos
que criaram necessidades que não existiam, e para elas dispensaram
esforços que culminaram em uma crise de fundamentos e no esta-
belecimento de novas concepções’’ (Baroni; Teixeira; Nobre, 2009,
p.181). Seu conteúdo trata primordialmente dos processos infinitos
em cujo centro encontra-se o conjunto dos números reais, sendo
que o formalismo e abstração presentes em sua estrutura causa forte
impacto, e o índice de reprovação costuma ser alto. Vários outros
aspectos referentes à disciplina de análise foram, também, alvo de
investigações por pesquisadores brasileiros, tais como Reis (2001),
Pinto (2001, 2009), Ávila (2002), Bolognezi (2003), Souza (2003),
Moreira, Cury e Vianna (2005), Batarce (2006), Lima (2006), Ciani,
Ribeiro e Junior (2006). A maioria desses trabalhos apresenta resul-
tados que diagnosticam e apontam as dificuldades dos alunos com a
disciplina, mas não se percebem propostas explícitas para enfrentar
os problemas detectados.
8 ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA
Dentro de um estudo abrangente a esse respeito, temos pesqui-
sado alguns aspectos, por exemplo, como a análise se constituiu
como disciplina no Brasil; como a aritmetização da análise tem sido
trabalhada, à luz da história, em cursos de licenciatura; que con-
teúdos podem ser caracterizados como componentes da estrutura
da disciplina; a contribuição de matemáticos para o desenvolvi-
mento da análise, tanto no Brasil como em nível mundial; como
as licenciaturas têm trabalhado com essa disciplina; qual o movi-
mento existente na busca da separação dessa disciplina nos cursos
de licenciatura e de bacharelado; as condições de funcionamento
da aprendizagem no ensino de análise; a formação matemática do
professor enquanto um problema vinculado às políticas cognitivas;
algumas propostas para o trabalho em sala de aula, dentre outros
(Otero-Garcia, 2011; Martinês, 2012; Otero-Garcia; Cammarota,
2013; Gomes, 2013).
Este texto, mais um elemento dessa pesquisa, apresenta alguns
aspectos históricos da análise, de forma a construir subsídios que pos-
sam colaborar com o aluno e o professor para uma compreensão mais
profunda dos conceitos que fazem parte da disciplina de análise. Isso
porque, conforme nos apontam Baroni, Teixeira e Nobre (2009), uti-
lizando argumentos presentes em Fauvel e Maanen (2000), reconhe-
cidos estudiosos das relações entre história e educação matemática, o
desenvolvimento histórico da matemática:
[...] mostra que as ideias, dúvidas e críticas que foram surgindo não
devem ser ignoradas diante de uma organização linear da mate-
mática. Ele revela que esse tipo de organização axiomática surge
apenas após as disciplinas adquirirem maturidade, de forma que
a matemática está em constante reorganização [...] a História pode
evidenciar que a matemática não se limita a um sistema de regras e
verdades rígidas, mas é algo humano e envolvente. (Baroni; Nobre;
Teixeira, 2009, p.166-7)
Nesse contexto, com relação ao ensino de funções, por exemplo,
a respeito de todo esforço para dar uma fundamentação poderosa a
ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA... 9
esse conceito fundamental da matemática (Capítulo 1), Eisenberg
(1991) mostra que até hoje ele é considerado como um dos mais
difíceis de ser ensinado/aprendido:
É um dos conceitos mais difíceis para o professor na sequên-
cia de ensino da matemática escolar. Em parte isso é devido aos
diversos graus de complexidade e às numerosas noções subjacentes
associadas com o conceito, mesmo funções do nível mais elementar
podem ser abordadas em vários contextos, e dependendo da abor-
dagem feita, várias dificuldades emergem desde o início. (p.140)
Já Grugnetti (2000) defende que a rica história das funções pode
fornecer valiosas ideias sobre como introduzir, sob diferentes abor-
dagens, esse conceito na escola básica, levando-se em conta, por
exemplo, os diferentes níveis de representação, as diferentes no-
tações, os diferentes nomes (operação, correspondência, relação,
transformação etc.). Esses aspectos refletem as circunstâncias his-
tóricas nas quais esses objetos apareceram nos campos da matemá-
tica, da física, da lógica.
Enquanto dois séculos atrás funções eram pensadas como fór-
mulas que descreviam relações entre duas variáveis envolvendo
expressões algébricas (na visão de Euler), a definição moderna de
função não é tão limitada... Na educação matemática é frequente
esquecer que o conceito de função foi o resultado de um longo
encadeamento do pensamento matemático desenvolvido vagaro-
samente. Ao contrário, na escola básica esse conceito é em geral
introduzido muito cedo como uma base para a introdução de outros
conceitos. Mas essa base realmente foi bem compreendida? O que
aconteceu durante sua longa história? (Grugnetti, 2000, p.34)
***
Um segundo exemplo está relacionado com o infinito, impor-
tante conceito tanto em filosofia, ciências e matemática. Entretan-
to, dependendo do contexto, o termo infinito assume significados