Arithmétique pour amateurs (par un autodidacte). Vol. 1: Pythagore, Euclide et toute la clique

193 Pages·1996·11.48 MB·French

by  Marc Guinot

CHEZLEM!MEÉDITEUR
1. Marie-France DORAY , tango des cancres las.
Le
2. Marc LEGRAND, crise de l'enseignemenJ, problème qualité.
La un de
3. Claude LOBRY, Et pourtant ... ils ne remplissenJ pas N !
4. Marie-Claude MARGUIN-LORTIC, Si les jours m'étaient comptés ...
5.
Margot BRUYERE, Dis-moi qui tu aimes. ..
6. Arthur ENGEL, Les certitudes du hasard -adapté de l'allemand par D: Reisz.
7. Henri BASSIS, Dialogues sur/' égalité.
8. Jérome DORIVAL, Dominique DUBREUIL et Daniel GAUDET, Approches
multiples : partition, histoire et art.
9. Marc GUINOT, paradoxe de Banach-Tarski.
Le
10. A. PAVÉ et G. C. VA NSTEENKISTE, Artificial intelligence in numerical and
symbolic simulation.
11. Serge DANEY, DevanJ la recrudescence des vols de sacs main.
à
12. Benedetto MARCELLO, Le théâtre à la mode - introduction de
J. P. Montanier
Catherine LECHNER, Mémoires d'un prince.
13.
14. Nathalie CASTINEL, Aube d'une vie musicale sous la Révolution.
15. Claude LUCAS L'hypothèse de M. Baltimore
:
16. Jean-Paul MONTA GNIER La vie et l'œuvre de Louis-Claude Daquin
:
17. Paul VECCHIALI Quand meurt le fantastique ...
:
18. Paul VECCHIALI: Poussières
20. Marc GUINOT: Pythagore Euclide et toute la clique
21. Jean-Claude GUIGET Lueur secrète
:
22. Margot BRUYERE: Au diable, les yeux verts ...
Directeur de Publication : Maurice GLAY MANN
Marc GUINOT
ARITHMÉTIQUPEO UR
AMATEURS
(par autodidacte)
un
jLI VRE I 1
PYTHAGORE, EUCLIDE et
CLIQUE
TOUTE LA
IREM
Éditeur
Aléas
LYOI\
A Edouard
ISBN 2-908016-21-4
ALÉAS
© EDITEUR, octobre 1992
Siège social
Aléas tdùeur, 15 Quai Lassagne-69001 LYON
lII
A V ANT PROPOS
La théorie des nombres (ou arithmétique, comme d'aucuns se plaisent
à l'appeler) n'est, à proprement parler, que la partie des mathématiques qui
étudie les nombres entiers, ceux qui servent à compter et à dénombrer, ceux
qui entrent dans les multiples opérations de codage de la vie courante, du
numéro de téléphone à celui de la sécurité sociale, ceux enfin dont la liste
apparemment illimitée fournit une première idée de la notion d'infini. Sur ce
thème, à première vue incroyablement restreint, les mathématicièns ont
développé une histoire qui s'étend sur plus de deux millénaires. Les noms qui
jalonnent ce parcours figurent parmi les plus grands : Pythagore et Euclide,
Fermat et Euler, Lagrange et Gauss, Hilbert et Weil, ainsi que des dizaines
d'autres parmi lesquels d'authentiques amateurs, tous attirés par la simplicité
des problèmes posés et la difficulté de leur résolution.
Il est difficile de se faire une idée correcte du foisonnement et du degré
d'abstraction qui marquent de nos jours la théorie des nombres. Le
mathématicien André Weil a écrit en 1967 un livre modestement intitulé
Basic Number Theory dans lequel il est fait appel à des théories aussi variées
et abstruses que l'intégration dans les groupes topologiques, la
transformation de Laplace, la théorie de Galois et la notion d'algèbre semi­
simple. Ce ne sont là d'ailleurs que des aspects de la théorie des nombres,
vue par un mathématicien de renommée internationale, qui porta Bourbaki
sur les fonds baptismaux et qui ne s'offusquerait pas d'utiliser l'axiome de
l
choix dans la théorie des nombres . En fait, un recensement assez complet de
ce qui s'est fait de 1973 à 1983 dans cette seule partie des mathématiques a
été publié récemment par l'American Mathematical Society : l'ouvrage
obtenu2 comporte six volumes.
Il est bien évident que tout cela n'a qu'un lointain rapport
(heureusement !) avec ce que nous nous proposons d'exposer ici, en nous
adressant avant tout à des amateurs éclairés (c'est-à-dire ayant fait une ou deux
années d'études mathématiques après le baccalauréat). Il ne s'agit que d'une
initiation à la théorie des nombres au cours de laquelle nous comptons
aborder (mais avec tous les détails souhaitables et sans rien admettre qui ne
soit assuré) quelques-unes des grandes questions qui ont agité et qui agitent
enèore les arithméticiens : les nombres premiers et leur diversité, les divers
aspects de la notion de divisibilité, les sommes de carrés, le problème de
Fermat et celui de Waring et jusqu'au théorème plus récent de Mordell-Weil.
1 Voir les Œuvres scientifiques de Weil, volume III (cité [WEI 1] dans notre
bibliographie), p.454.
Cité [GUY 2] dans notre bibliographie.
2
IV
Pour examiner ces questions d'une manière progressive et sans
douleur, nous avons choisi de suivre grosso modo une chronologie
historique. Cette manière de faire ne constitue en fait qu'un conducteur
fil
commode (des esprits chagrins parleront même d'un prétexte), mais c'est cette
idée qui nous a permis de diviser cet exposé en sept grandes parties,
s'échelonnant de !'Antiquité au siècle, parties que nous avons appelées
xxe
des Livres sur le modèle d'Euclide et de Bourbaki ...) et qui constitueront
autant de fascicules séparés. Malgré cela, il ne faudrait pas croire qu'il s'agiç
d'un ouvrage consacré à l'histoire de la théorie des nombres (ce qui dépasserait
largement nos capacités limitées d'autodidacte) et nous n'hésiterons pas, par
exemple, à décrire des résultats remontant !'Antiquité, dans un langage
à
moderne, faisant appel entre autres aux ressources de l'algèbre élémentaire
dont la mise au point, on le sait, date essentiellement de l'époque de
Descartes.
Moyennant quoi, il ne fait pas de doute que la liste des sujets traités,
telle qu'elle figure dans la table des matières ci-après, devrait mettre l'eau à la
bouche de n'importe quel amateur potentiel de théorie des nombres
normalement constitué ...
V
PLAN GÉNÉRAL
(sous réserve de modification)
LIVREI P-ythagoEruec,l iedtte o utleac lique
A Nombres premiers et théorème fondamental de l'arithmétique
B Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple
C Grandeurs incommensurables et nombres irrationnels
É
D quation de Pythagore et problèmes apparentés
LIVREII -Fermat
A Le petit théorème de Fermat
B La descente�.
C Fermat et les sommes de carrés
LIVREII I -Euler
A Entiers inversibles modulo m, indicateur d'Euler et théorème
d'Euler-Fermat
B Euler et les sommes de carrés
C Sommes diverses et variées
LIVREI V- LagranegtLe e gendre
A Fractions continues
B L'équation de Pell
C Résidus et non résidus quadratiques
LIVRE VG a-uss
A Le théorème fondamental de l'algèbre
B Nombres algébriques
C Théorie élémentaire des corps finis
D Des entiers de Gauss aux anneaux "pseudo-bezoutiens"
E Formes quadratiques binaires
Vl
LIVRE "Le stupide siècle"
VI - XIXe
A Kummer el les nombres idéaux
B Le théorème de la progression arithmétique de
Dirichlet
C Des nombres de Liouville à la transcendance de
n:
D Les idéaux de Dedekind
E Théorème de Tchebychef et postulat de Bertrand
F Le théorème des nombres premiers
G La géométrie des nombres de Minkowski
H Le problème de Waring
LIVRE VII -Et le XXe siècle ?
A Le principe de Hasse-Minkowski
B Le théorème de Mordell-Weil
VII
AVERTISSEMENT
Au lecteur de bonne volonté quelque peu effrayé par l'ampleur de notre
programme nous voudrions dire ici que les connaissances préalables requises
pour la lecture de cet ouvrage ne sont pas aussi considérables que son
·
imagination pourrait le lui faire accroire.
Il est bien évident, toutefois, qu'il convient de connaître un minimum
de règles et de propriétés concernant les nombres, entiers ou autres, et les
fonctions. En fait, le livre s'adresse à des personnes qui auraient suivi les
cours de mathématiques d'un premier cycle universitaire et. .. qui auraient
presque tout oublié. Pour les connaissance sur lesquelles nous n'avons pas
jugé utile de revenir, nous prendrons comme ouvrage de référence le Cours de
mathématiques de premier cycle de Jacques Dixmier (Gauthier-Villars, 1976-
1977) plus accessible à notre avis que certains livres plus récents qui
développent trop souvent un jargon à la limite du supportable. En fait, sur
les deux volumes de ce cours, seul le premier sera vraiment utilisé : nous ne
ferons une incursion dans le deuxième volume que pour faire appel à la
notion de série. De toute façon, nous n'hésiterons pas à revenir expressément
sur une définition ou sur une démonstration si le besoin s'en fait sentir.
Pour ce qui concerne plus particulièrement les entiers naturels, qui
vont être évidemment à l'honneur dans tout ce qui va suivre, rappelons pour
mémoire l'existence du principe de récurrence et de ce que l'on pourrait
appeler le «principe du minimum» qui permet d'affirmer l'existence d'un plus
petit élément dans tout ensemble d'entiers naturels donné, pourvu que cet
ensemble ne soit pas vide.
L'ouvrage tout entier est divisé en Livres, numérotés de à VII, et qui
1
correspondent, en principe, à autant de fascicules. Chaque Livre est subdivisé
en Sections désignées par des majuscules A, B, C, etc., elles-mêmes
partagées en paragraphes numérotées 1, 2, 3 et ainsi de suite. Un renvoi du
type 11.B.5 signifie qu'il faut se reporter au Livre II, Section B, paragraphe 5.
Le lecteur retrouvera ces mentions en haut de chaque page.

L'<
ARITHMÉTIQUE POUR AMATEURS
Livre I
PYTHAGORE, EUCLIDE ET TOUTE LA CLIQUE
Sommaire
A Nombres premiers et théorème fondamental de l'arithmétique . . . . . 3
- .
1. Divisibilité des nombres entiers
... ..... .. ..... .. ... .... .. .. . .. .. .. . 3
Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. .
3. Nombres premiers entre eux
. . .. . . . . . . . .. . . . .. .. .. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . 29
4. Le théorème fondamental de l'arithmétique .. .. . ..... .. .. . ..... 35
..
5. Applications
............................................................. 52
Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple . . . . 65
B - . .
1. Plus grand commun diviseur de deux entiers ........ 66
............
Plus petit commun multiple de deux entiers
2. . . .. .. . .. .. . .. .. . .. . 79
3. PGCD et PPCM d'un nombre quelconque d'entiers . .. . .. . .. . . 85
C Grandeurs incommensurables et nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . 91
- ..
1. Irrationalité des radicaux
. . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . .. .. . . ... . . . . .. . . .. . 92
Grandeurs incommensurables ..... .. .. ... .. . .. .. ... .. ... .. ... .. . 98
2. .....
3. Autres exemples de nombres irrationnels . .. . . . . . .. .. . .. . . . . . . . . 106
.
4. Développement décimal et nombres irrationnels . . . . . .. . . . . . . . 107
.
D Équation de Pythagore et problèmes apparentés .. 137
- .. ...................
1. Résolution de l'équation de Pythagore . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . 138
.
Points rationnels d'une courbe du second degré . 144
2. ................
3. Carrés en progression arithmétique 155
................................