Arithmétique des Algèbres de Quaternions

175 Pages·1980·2 MB·French

by  Marie-France Vignéras (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited yb .A Dold and .B Eckmann
Series: Mathematisches Institut der Universit~t Bonn
Adviser: .F Hirzebruch
800
ecnarF-eiraM Vigneras
Arithmetique sed Algebres
ed Quaternions
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New York 1980
Auteur
Marie-France Vigneras
Ecole Normale Superieure
Mathematiques
,1 rue Maurice Arnoux
92120 Montrouge
France
AMS Subject Classifications (1980): 10-02, C 10 05, D 10 05, 21 A 80, H 14 25
ISBN 3-540-09983-2 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-387-09983-2 Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
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© Springer-Verlag by Berlin Heidelberg 1980
Printed in Germany
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012345-0413/1412
INTRODUCTION
Ce livre repr6sente la r6daction d'un cours fait en 1976
l'Universit6 de Paris XI ~ Orsay sur l'arithm6tique des alg6bres de
quaternions. On salt bien qu'une partie de cette th6orie est un cas
particulier des r6sultats connus sur les alg6bres centrales simples. La
raison d'etre de ce livre est d'expliquer en d6tail certains aspects
qui sont sp6ciaux aux alg6bres de quaternions, et qui ont 6t6 d6velopp6s
par Eichler. Le plan de ce livre est le suivant : on commence par un
rappel de la th6orie g6n6rale des alg6bres de quaternions, puis on les
classifie sur les corps locaux et les corps globaux, en utilisant la
th6orie de la fonction z~ta, comme dans le livre de Weil [i]. On
d6veloppe alors la th6orie arithm6tique, et les diff6rentes formes de
formules de trace en utilisant les techniques ad61iques qui permettent
de passer des r6sultats locaux, tr6s simples, aux r6sultats globaux.
Cette th6orie est appliqu6e A l'6tude des sous-groupes arithm6tiques de
SL(2). Une des applications est la construction de surfaces riemanniennes
isospectrales, mais non isom6triques. Ces exemples sont les seuls
exemples connus. Chaque chapitre est suivi d'exercices, ou illustr6
d'exemples.
Je remercie vivement Beck, Michon, Oesterl6, Ribet pour leur aide,
l'Universit6 de Paris XI pour son hospitalit6, et Madame Bonnardel qui
a frapp6 le manuscrit avec une grande comp6tence.
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I. ALGEBRES DE QUATERNIONS SUR UN CORPS
pages
§I Alg~bres de quaternions .................................. 1
Conjugaison, trace r~duite, norme r~duite, M(2,K)
corps neutralisant, M-representation, quaternions de
Hamilton, ~ .
§2 Th~or~me des automorphismes. Corps neutralisants ......... 6
Aut(H) , Aut(H,L) , caract~risation des alg~bres de
matrices, th. de Frobenius, th. de Wedderburn, caract~-
risation des corps neutralisants, produit tensoriel,
corestriction.
§3 G~om~trie ................................................ ii
Quaternions purs, automorphismes et isom~tries, isomor-
phismes classiques, groupe des commutateurs, groupes
finis de rotations de 3 R , groupes finis de quaternions
r~els.
§4 Ordres et id~aux ......................................... 19
Anneau de Dedekind, 61~ment entier, ordre maximal, ordre
d'Eichler, ideal (entier, bilat~re, normal, principal),
propri~t~s des id~aux bilat~res, ordres li&s, groupe des
unit~s, norme r~duite d'un ideal, diff~rente, discrimi-
nant, classes d'id~aux, types d'ordres, ordres maximale-
ment plong~s, classes de conjugaison, unit~s, ~quations
polynSmiales en quaternions.
CHAPITRE II. ALGEBRES DE QUATERNIONS SUR UN CORPS LOCAL
§i Classification ........................................... 31
Corps local, invariant de Hasse, symbole de Hilbert,
ramification, valuation dans les corps de quaternions.
§2 Etude de M(2,K) ......................................... 37
L'arbre des ordres maximaux, ordres d'Eichler, normali-
sateurs.
§3 Ordres maximalement plong~s .............................. 42
Symboles d'Artin et d'Eichler, nombre de plongements
maximaux modulo un groupe, conducteur d'un ordre.
§4 Fonctions z@ta ........................................... 47
Norme, d6finition classique de la fonction z~ta, module,
mesures normalis6es, caract6re et fonction canonique,
fonction z~ta associ6e ~ une fonction de l'espace de
Schwartz-Bruhat et ~ un quasi-caract6re, mesure de
Tamagawa et discriminant, calculs de volumes.
CHAPITRE III. ALGEBRES DE QUATERNIONS SUR NI[ CORPS GLOBAL
§I Addles ................................................... 57
Ramification, th~or~mes fondamentaux.
§2 Fonctions z~ta. Nombres de Tamagawa ...................... 64
D6finition classique, formule mul~iplicative, fonction
z~ta associ6e ~ une fonction de l'espace de Schwartz-
Bruhat et ~ un quasi-caract~re, 6quation fonctionnelle,
nombre de Tamagawa.
§3 Classification ........................................... 74
Caract6risation des alg6bres de matrices, principe de
Hasse-Minkowski pour les formes quadratiques, loi de
r6ciprocit6 du symbole de Hilbert, loi de r~ciprocit6
quadratique, th. des normes dans les extensions quadra-
tiques, caract6risation des corps neutralisants et des
sous-corps commutatifs maximaux. Th. du corps de classe
pour les extensions quadratiques.
§4 Th6or6me des normes et d'approximation forte ............. 79
Condition d'Eichler.
§5 Ordres et id@aux
A. Propri6t6s g6n6rales .................................. 82
Passage local-global pour les r6seaux, propri6t6 locale,
niveau, discriminant, caract6risation des ordres maximaux,
propri6t6s des id6aux normaux.
B. Nombre de classes d'id6aux et types d'ordres .......... 87
Dictionnaire global-ad@lique, finitude du nombre de
classes.
C. Formules de trace pour les plongements maximaux ....... 92
Nombres de classes de conjugaison, symboles d'Artin et
d'Eichler.
VU
CHAPITRE IV. APPLICATIONS AUX GROUPES ARITHMETIQUES
§i Groupes de quaternions ................................... 103
Groupes de congruence, commensurables, arithm~tiques,
volume, groupe modulaire, groupe de Picard, groupe
modulaire de Hilbert.
§2 Surfaces de Riemann. ..................................... iii
Homographies, m~trique, longueur, aire, g~od~siques,
isom~tries, aires des polygones, les diff~rents types
d'homographie ; parabolique, elliptique d'angle @ ,
hyperbolique de norme N , domaine fondamental, cycles,
pointes, genre, mesure d'Euler-Poincar~, rationalit~ de
~K(-i) -
§3 Exemples et applications
A. Groupes de congruence. ................................ 120
B. Normalisateurs ........................................ 121
C. Construction d'un domaine fondamental ................. 123
D. Courbes g~od~siques minimales. ........................ 128
E. Exemples de surfaces riemanniennes isospectrales mais
non isom~triques ...................................... 129
F. Espace hyperbolique de dimension 3 .................... 133
M~trique hyperbolique, fonction de Lobachevski, volume
d'un t~tra~dre, domaine fondamental du groupe de Picard.
CHAPITRE V. ARITHMETIQUE DES QUATERNIONS QUAND LA CONDITION
D'EICHLER N'EST PAS VERIFIEE
§I Unit6s ................................................... 138
Th~or~me de Dirichlet, r~gulateur.
§2 Nombre de classes ........................................ 142
Formule analytique de Dirichlet, masse, trace des matrices
d'Eichler-Brandt, nombre de classes et types d'ordre.
§3 Exemples
A. Alg~bres de quaternions sur @ ....................... 145
B. Graphes arithm~tiques ................................. 146
C. Isomorphismes classiques .............................. 148
D. Construction du r~seau de Leech ....................... 149
E. Tables ................................................. [52
BIBLIOGRAPHIE ................................................ 157
INDEX ........................................................ 165
CHAPITRE I
ALGEBRES DE QUATERNIONS SUR UN CORPS
Dans ce chapitre K est un corps commutatif de caract~ristique quelcon-
que, sauf mention contraire, et K est une clSture s~parable de K .
s
1 ALGEBRES DE QUATERNIONS
DEFINITION. Une alg6bre de quaternions H de centre K est une alg6bre
centrale de dimension 4 sur K , telle qu'il existe une alg6bre
L s6parable de dimension 2 sur K , et un 616ment inversible 8 de
K , avec : H = L+Lu , o~ u6 H v6rifie :
(i) 2 u = 9 , um = mu
pour tout mE L , o~ m ~ m est le K-automorphisme non trivial de L .
Nous noterons parfois H par (L,@) , mais H ne d6termine pas le cou-
ple (L,e) de fagon unique. Par exemple, il est clair que l'on peut
remplacer @ par @mm , si m est un 616ment de L tel que mm/ 0 .
L'61~ment u n'est pas d~termin6 par (i). Si mE L est un ~16ment
v6rifiant mm= 1 , on peut remplacer u par mu . Cette d~finition est
valable en toute caract~ristique. On peut v6rifier facilement que H/K
est une alq~bre centrale simple, i.e. une alg~bre de centre K ne pos-
s6dant pas d'id6al bilat~re non trivial. Inversement, on peut montrer
que toute alg~bre centrale simple de dimension 4 sur K est une alg~bre
de quaternions. La loi de multiplication dans H se d6duit de (i). Si
m C L , pour iI il 4 , on a :
1
(2) (ml+m2u)(m3+m4 u) = (mlm3+m2m4 @) + (mlm4+m2m3)u .
DEFINITION. La conjuqaison est le K-endomorphisme : h ~ h de H pro-
longeant le K-automorphisme non trivial de L , d~fini par u = -u .
On v6rifie facilement que c'est un anti-automorphisme involutif de H .
Ceci s'exprime par les relations suivantes : si h,k E H et a,b K E ,
on a
ah+bk = ah+bk , ~ = h , hk = kh .
DEFINITION. Soit h H E . La trace r@duite de h est t(h) = h+h . La
norme r6duite de h est n(h) = hh .
Si h~ K , son polynSme minimal sur K est :
(X-h)(X-h) = 2 - X t(h)X+ n(h)
L'alg~bre K(h) engendr6e par h sur K est quadratique sur K . La
trace r~duite et la norme r~duite de h sont simplement les images de
h par la trace et la norme de K(h)/K . La conjugaison et l'identit~
sont les K-automorphismes de K(h) . Avec les d~finitions usuelles de
la trace et de la norme d'une K-alg~bre (Bourbaki[l~ la trace de H/K
2
est T= 2t , la norme de H/K est N= n
On note X" le groupe des unit6s d'un anneau X .
LEMME i.i. Les ~l~ments inversibles de H sont les ~l~ments de norme
r~duite non nulle. La norme r6duite d6finit un homomorphisme multipli-
catif de H" dans K" . La trace r6duite est K-lin6aire, et l'applica-
tion (h,k) ~ t(hk) est une forme bilin~aire non d6q~n~r~e sur H .
PREUVE : On laisse en exercice le soin de v~rifier les propri~t~s tr~s
faciles suivantes :
n(hk) = n(h) n(k) ,
n(h) ~ O est ~quivalent ~ h inversible, et dans ce cas
h -I = h n(h) -I ,
t(ah+bk) : at(h) +bt(k) , t(hk) : t(kh) ,
si a,bE K et h,k H E . Le fait que l'application (h,k) ~ t(hk) soit
non d6g6n6r6e provient de l'hypoth6se que L/K est s6parable. En effet,
si t(hk) = O quel que soit k~ H , on a pour tout mE L , t(mlm) = O
si h=ml+m2u , donc m I= O . De m6me t(m2m) = O pour tout mE L ,
donc 2 = O m et h= O .
On notera un des avantages de la trace r6duite : en caract6ristique 2 ,
la trace T = 2t est nulle, alors que la trace r6duite est non d6g6n6r6eo
En caract6ristique diff6rente de 2 , on retrouve les d6finitions classi-
ques des alg6bres de quaternions. La donn6e du couple (L,8) est 6qui-
valente ~ celle d'un couple (a,b) form6 de deux 616ments a,b non
nuls de K et les relations (i) d6finissent H comme la K-alg6bre de
base l,i,j,ij , o~ les 616ments i,j 6H v6rifient :
(3) 2 i 2
= a , ] :b , ij =-ji .
Le passage entre (i) et (3) s'op6re par exemple en posant L=K(i) ,
8=b , u= j . En posant k: ij , on peut 6crire la table de multiplica-
tion de i,j,k qui montre que ces trois 616ments jouent des r61es
sym6triques. Les termes int6rieurs au tableau sont les produits hh' :
i j k
-k b i
i I a k -j
j -i -ab
La conjugaison, la trace r~duite et la norme r~duite ont pour expres-
sions : si h=x+yi +zj +tk , alors
= x- yi - zj - tk , t(h) = 2x , et n(h) = x 2- ay 2 -bz 2 +abt 2
le coefficient de k dans h ne doit pas ~tre confondu avec la trace
r~duite° On remarque une autre propri~t~ importante : la norme r~duite
d~finit une forme quadratique sur le K-espace vectoriel V sous-jacent
& H .
On notera l'alg~bre de quaternions H d~finie par les relations (i) ou
(3) sous la forme {L,8} ou {a,b} quand le contexte le permettra. On
consid~rera aussi les notations u , i , j , t(h) , n(h) , h comme des
notations standards.
L'exemple fondamental d'une alg~bre de quaternions sur K est donn~ par
l'alg~bre M(2,K) des matrices carries d'ordre 2 ~ coefficients dans
K . La trace r~duite et la norme r~duite sont dans M(2,K) la trace et
le d~terminant au sens usuel. On identifie K ~ son image dans M(2,K)
par le K-homomorphisme qui envoie l'unit~ de K sur la matrice identitY.
De faqon explicite :
d -b)
si h= (a c ) d b E M(2,K) h= ' (-c a ' t(h) : a+d , n(h) = ad-bc .
On d6montre que M(2,K) v6rifie la d6finition d'une alg6bre de quater-
nions de la faqon suivante : on choisit une matrice m de valeurs pro-
pres distinctes et on pose L=K(m) . Comme m ales m~mes valeurs pro-
pres que m , elle est semblable ~ m : il existe donc u E GL(2,K) tel
-i
que umu =~ . On v~rifie que t(u) = 0 , car t(um) = t(u)m6 K pour
tout m E L , d'ou l'on d~duit que 2 = ~ E u K" . Nous allons en quelque
sorte justifier que M(2,K) est l'exemple fondamental par les remar-
ques suivantes :
Sur un corps s~parablement clos, M(2,K) est la seule alq6bre de quater-
nions ~ isomorphisme pr~s. En effet, toute alg~bre s6parable de dimen-
sion 2 sur K ne pouvant pas ~tre un corps s'envoie surjectivement par
la norme sur K" , et se plonge dans M(2,K) (un plonqement est un
K-homomorphisme injectif). On d6duit de ceci, qu'elle est isomorphe
{K+K,I} ~M(2,K) , gr[ce ~ la r6alisation de M(2,K) comme alg6bre de
quaternicns, faite pr6c6demment.
Produits tensoriels. Soit F un corps commutatif contenant K . On
v6rifie directement sur la d6finition que le produit tensoriel sur K
d'une alg6bre de quaternions H/K avec F est une alg6bre de quater-
nions sur F , et que :
F® {L,e} : {F®L,8}
On notera l'alg6bre de quaternions obtenue ainsi F H . L'alg6bre H se
plonge naturellement dans F H . En prenant pour F la cl6ture s6parable
s K de K nous voyons que H se plonge dans M(2,Ks).
DEFINITION. Les corps F/K tels que F H soit isomorphe ~ M(2,F)
s'appellent des corps neutralisants de H . Les plongements de H dans
M(2,F) s'appellent des F-repr6sentations.
EXEMPLES :
(i) Une alg~bre de quaternions sur K n'admet pas de K-repr6sentation,
si elle n'est pas isomorphe ~ M(2,K).
(2) On d~finit les matrices
i 0 01 01)
I = (0 -i ) ' J = (i ) 0 ' IJ = (-i 0
Ces matrices v6rifient les relations (3) avec a =b = i . On en d6duit
qu'en caract6ristique diff6rente de 2 , une alg6bre de quaternions
{a,b} est isomorphe ~ :
X+l~ y ~(Z +l~a t)
{{~(z-~a t) x-~a y ]' x,y,z,t dans K}
o~ ~ et ~ sont deux racines carr6es de a et b dans K
s
(3) Le corps des quaternions de Hamilton. Historiquement, la premi6re
alg6bre de quaternions (diff6rente d'une alg6bre de matrices) fut intro-
duite par Hamilton. On la notera H , c'est le corps de quaternions
d6fini sur ~ par a=b=-l, appel6 le corps des quaternions de
Hamilton. Ii admet une repr6sentation complexe :
H= ( { z z'), z,z'dans C}
-Z' Z
Le groupe des quaternions de norme r6duite 1 est isomorphe ~ SU(2,C)
et fut introduit pour des raisons g6om6triques (voir le paragraphe 3
g6om6trie). On appelle parfois les quaternions des quaternions q6n6ra-
lis6s (par r6f6rence ~ ceux de Hamilton), ou nombres hypercomplexes