Arbres pour l’Algorithmique

533 Pages·2018·11.49 MB·French

by  Brigitte Chauvin

Mathématiques et Applications 83
Brigitte Chauvin
Julien Clément
Danièle Gardy
Arbres pour
l’Algorithmique
Mathématiques
et
Applications
Directeursdelacollection:
M.HoffmannetV.Perrier
83
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MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS
ComitédeLecture2018–2021/EditorialBoard2018–2021
RémiABGRALL MarcHOFFMANN
Inst.f.Math.,UniversityofZurich,CH CEREMADE,UniversitéParis-Dauphine,FR
[email protected] [email protected]
GrégoireALLAIRE ClaudeLEBRIS
CMAP,ÉcolePolytechnique,Palaiseau,FR CERMICS,EcoledesPontsParisTech,
[email protected] MarnelaVallée,FR
[email protected]
KarineBEAUCHARD
ENSRennes,Bruz,FR SylvieMÉLÉARD
[email protected] CMAP,ÉcolePolytechnique,Palaiseau,FR
[email protected]
MichelBENAÏM
Inst.Math.,Univ.deNeuchâtel,CH FelixOTTO
[email protected] MPIMISLeipzig,GE
[email protected]
GérardBIAU
LPSM,UMR8001,SorbonneUniversité, ValériePERRIER
Paris,FR Lab.Jean-Kuntzmann,Univ.Grenoble-Alpes,FR
[email protected] [email protected]
ArnakDALALYAN GabrielPEYRÉ
ENSAE/CREST,Malakoff,FR DMA,ENSParis,FR
[email protected] [email protected]
ArnaudDEBUSSCHE PierreROUCHON
ENSCachan,Bruz,FR CAS,MinesParisTech,Paris,FR
[email protected] [email protected]
SourourELLOUMI AnnickSARTENAER
UMA,ENSTAPalaiseau,FR Dépt.Mathématiques,Univ.Namur,
[email protected] Namur,BE
[email protected]
IsabelleGALLAGHER
DMA,ENSParis,FR EricSONNENDRÜCKER
[email protected] MPIfürPlasmaphysik,Garching,GE
[email protected]
JosselinGARNIER
CMAP,ÉcolePolytechnique,Palaiseau,FR AlainTROUVÉ
[email protected] CMLA,ENSCachan,FR
[email protected]
StéphaneGAUBERT
INRIA,ÉcolePolytechnique,Palaiseau,FR CédricVILLANI
[email protected] IHP,Paris,FR
[email protected]
EmmanuelGOBET
CMAP,ÉcolePolytechnique,Palaiseau,FR EnriqueZUAZUA
[email protected] UAM,Madrid,ES
[email protected]
RaphaeleHERBIN
CMILATP,I2M,Universitéd’Aix-Marseille,FR
[email protected]
Directeursdelacollection
M.HOFFMANNetV.PERRIER
`
Brigitte Chauvin (cid:129) Julien Clément (cid:129) Daniele Gardy
Arbres pour l’Algorithmique
123
BrigitteChauvin JulienClément
LaboratoiredeMathématiques GREYC,CNRSUMR6072
UniversitéVersailles NormandieUniversité
Saint-Quentin-en-Yvelines CaenCedex,France
VersaillesCedex,France
Danie`leGardy
LaboratoireDAVID
UniversitéVersailles
Saint-Quentin-en-Yvelines
VersaillesCedex,France
ISSN1154-483X ISSN2198-3275 (electronic)
MathématiquesetApplications
ISBN978-3-319-93724-3 ISBN978-3-319-93725-0 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-319-93725-0
LibraryofCongressControlNumber:2018949724
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ÀPhilippeFlajolet,
sansqui celivren’auraitpasexisté
Préface
Trees are a fundamental object in graph theory and combinatorics as well as a
basicobjectfordatastructuresandalgorithmsincomputerscience.Duringthelast
few decades, research related to trees has been constantly increasing and several
algorithmic,asymptoticandprobabilistictechniqueshavebeendevelopedinorderto
studyandtodescribecharacteristicsofinterestrelatedtotreesindifferentsettings.
TheFrenchSchoolwas(andstillis)certainlyadrivingforceinthisdevelopment.
Thisisalsoreflectedinaconsiderablenumberofresearchgroupsthatdevotetheir
researchmainlytotreestructuresandrelatedquestions.InthiscontextIwouldlike
tomentionPhilippeFlajolet(1948–2011)whowasnotonlytheinitiatorofresearch
activitiesrelatedtovarioustreemodelsbutwasalsoamentorformanyresearchersin
Franceandabroad,inparticularfortheauthorsofthepresentbookandalsoformyself.
ThisbookisaveryvaluableoutcomeofthisfruitfuldevelopmentinFrance,where
thethreeauthorshavetakena veryactivepart.Theyhavesucceededinwritingan
advancedtextbookthatcanserveasanintroductiontotreesforstudentsinmathematics
and/or computer science as well as a reference book for scientists of other fields
likebiology.Whatisreallynewisthattheauthorspresentdifferentapproachesto
problems on trees that range from algorithms to combinatoricsand to probability
theory.Theyhaveinvestedaconsiderableefforttodemonstratetheconnectionsand
relationsbetweenthesepointsofview.Thisisaveryimportantaddedvaluewhich
cannotbefoundsomewhereelseinsuchatransparentandconsistentway.
Thechoiceoftopicsisalsodonewithcare.Themodelsareverywellmotivatedand
rangefromtreesthatarerelatedtobranchingprocesses,tobinarysearchtrees,totries
andtournmodels.Therearealsoseveralveryusefulappendicesandaverycarefully
chosenlistofexerciseswhichmakethebookevenmoreuseful—alsoforclasses.It
wouldbeverygoodifanEnglishversioncouldbeavailableinthenearfuture.
Iwanttoexpressmycongratulationstotheauthorsforthisexcellentlywrittenbook.
Iamsureitwilldevelopintoastandardtextandreferencebookinthefield.
Vienna,Austria MichaelDrmota
November2016
vii
Avant-propos
Les recherches sur les structures arborescentes relèvent historiquement de deux
domaines initialement disjoints : les mathématiques, notamment les mathéma-
tiques discrètes et les probabilités, et l’informatique fondamentale,avec l’analyse
d’algorithmes.Nousavonscherchéàprésentersimultanémentcesdeuxapproches,
quenousestimonsêtrecomplémentairesplutôtqueconcurrentes;celivreenestle
résultat.Ilestenpartieissud’uncoursdetroisièmecycle,enseignéilyaplusieurs
années par deux des auteurs pour un diplôme de Mathématiques-Informatique,et
qui visait déjà à présenter conjointement les méthodes issues de la combinatoire
analytiqueetdesprobabilités.
Àquis’adressecetouvrage? Notrelivres’adressetypiquementauxétudiantsde
niveaumaster scientifique ou en dernièreannée d’écoled’ingénieurs,quiauraient
auparavant suivi un cursus en informatique ou en mathématiques et qui aspirent
à explorer davantage les contrées intermédiaires entre ces deux disciplines ; les
étudiantsvisantunedoublecompétenceenmathématiquesetinformatiquepourront
ainsiytrouverunintérêt.Ils’adresseenoutreàtoutepersonnedotéed’unbagage
scientifique « minimal », qui serait amenée à utiliser des structures arborescentes
liéesàdesalgorithmes,etquisouhaiteraitavoirunemeilleureconnaissancedeces
structures et une idée des performancesdes algorithmesassociés, sans se plonger
dansles travauxoriginaux.Il peutainsi constituerune introductionà la recherche
sur ces sujets, sans prétendre davantage et notamment sans prétendre se situer à
l’état de l’art. En effet, il ne s’agit pas d’un livre sur les arbres en général, mais
d’unlivresurlesarbrespourl’algorithmique.Nousespéronsquelesspécialistesy
trouveronteuxaussiunintérêt.Lesprobabilistespourrontytrouverdesindications
surl’utilisationdesarbresaléatoireseninformatique,notammentdanslechampde
l’analyse d’algorithmes; de leur côté, les informaticienspourrontbénéficier d’un
éclairageprobabilistesurcertainsdeleursobjetsdebase.
Nous ne prétendons en aucun cas à l’exhaustivité, mais plus raisonnablement
à rendre compte, selon des critères éminemment subjectifs (il a fallu faire des
choix !), des résultats qui nous paraissent à la fois importants et suffisamment
simples à exposer. Nous avons aussi souhaité mettre en avant des méthodes
ix
x Avant-propos
devenuesclassiquespourétablircesrésultats.Certainesparties,qualifiéesparfoisde
«folklore»,etcertainsthéorèmessontconnusdepuisdesdécenniesetsetrouvent
éparpillés dans divers ouvrages ; quelques-uns de ces ouvrages sont indiqués
dans le chapitre d’introduction et un plus grand nombre sont présentés dans une
perspectivehistorique dansl’annexeD. D’autresparties de ce livre onttrait à des
développements plus récents qui sont encore peu (ou pas) diffusés sous forme
de livre. Enfin quelques résultats importants sont seulement mentionnés car leur
expositiondétailléeavecpreuve«sortiraitducadredecelivre».Poursignalerau
lecteur ces parties, nous les avons écrites sur fond grisé et nous avons distingué
plusieurscas:
indique qu’il faut prendre un papier et un crayon mais cette partie est
élémentaire,iln’yapasdedifficulté,nitechniqueniautre;
indiquequecettepartieestplustechnique;
indiquequepourcettepartieilestnécessaired’avoirrecoursàdesnotions
quinesontpasdanscelivre.
Enoutre,nousavonssouventproposéenexercicesdespartiesdepreuves.
Dans notre souci de présenter simultanément des approches a priori distinctes
(probabiliste, combinatoire et algorithmique),nous avons tenté d’unifier les nota-
tions et définitions employées par les deux communautés différentes que sont
les mathématiciens et les informaticiens. Il a fallu faire des compromis ; parfois
l’unificationétaithorsd’atteinte.Ainsidesnotationspourrontsemblerlourdes,des
définitionsparaîtrontinutilementformelles;inversement,despassagesserontplus
intuitifs et moins formels, reposant sur l’exemple. Dans l’ensemble, nous avons
été guidés par un souci de cohérence et de (relative) simplicité. Nous avons ainsi
simplifiécertainspassagesmathématiquementtouffus,aunomdel’accessibilitéet
delapédagogie,enespérantnepasavoirsacrifiélarigueur.
Plan du livre Dans les chapitres 1 à 3 sont posées les bases, sont définis les
modèles : ce qu’est un arbre, ce qu’il modélise et quels sont ses emplois les plus
courantseninformatique,cequesignifielanotiond’«arbrealéatoire».Nousavons
faitlechoixdeséparerdrastiquementl’aléadanscetteprésentation,afindemieux
distinguerensuitedanslesanalysescequiressortplutôtdeméthodescombinatoires
ouplutôtdeméthodesprobabilistes.
– Au chapitre 1 sont définies de multiples variétés d’arbres, planaires ou non,
marqués ou non, ainsi que les paramètres les plus classiques sur ces arbres. Il
esttoutàfaitpossibledenepaslirecechapitred’unetraite,maisdes’yréférer
seulementencasdebesoin.
– Le chapitre2enrichitlesdéfinitions,enintroduisantlestypesd’aléa,différents
suivantlesvariétésd’arbres.Demêmequelechapitre1,c’estessentiellementun
chapitrederéférence,àlireselonlebesoin.
– Le chapitre 3 contient plusieurs exemples de modélisations par des structures
arborescentes, soit pour les problèmes classiques que sont le traitement de
Avant-propos xi
chaînesdecaractères,larecherched’unélémentdansunensemble,etletrid’un
ensemble,soitpourdessituationsplusélaborées;c’estcechapitrequijustifieun
éventuelintérêtpratiquedulivre.
Dans les chapitres 4 à 9 sont analysées de nombreuses familles d’arbres, qui
diffèrentnotammentparletyped’aléa.
– Auchapitre4sontétudiésd’abordlesarbresbinairesplanaires,puisdifférentes
familles d’arbresplanaires(familles simples d’arbres,tas, arbreséquilibrés),et
ensuitelesarbresnonplanaires,letoutsousunmodèleprobabilisteoùlesarbres
de même taille (parfois de même hauteur) sont équiprobables. Nous sommes
ainsidansledomainedelacombinatoire.
– Auchapitre5sontprésentéslesprocessusdebranchement,notammentlesarbres
de Galton-Watson et les marchesaléatoiresbranchantes.Un lien est également
établientreles arbresdeGalton-Watsonetlesarbres« combinatoires»étudiés
au chapitre précédent. Le point de vue est largement probabiliste, même si la
récursivité partout présente n’est pas sans rappeler les raisonnements du type
«diviserpourrégner»utilisésauxchapitres2et4.
– Le chapitre 6 concerne les arbres binaires de recherche et plusieurs de leurs
extensions, venues soit des probabilités (arbres biaisés), soit de l’informatique
(arbresrécursifs,arbresbinairesderechercherandomisés,lienavecletrirapide).
Nous utilisons les deux points de vue probabiliste ou combinatoire de façon
complémentaire.
– Lestries,quisontlastructuredigitaledebase,sontanalysésdanslechapitre7,
essentiellementavecdesoutilsdecombinatoireanalytique.
– Deux types d’arbres de recherche, étendant les classiques arbres binaires de
recherche, sont analysés en détail dans le chapitre 8 : les arbres m-aires, dans
lesquelsilestpossibled’avoirplusieursclésdansunmêmenœud,puislesarbres
quadrants,quipermettentdeprendreencomptedesclésmulti-dimensionnelles.
– Enfin,auchapitre9sontapprofondislesrésultatssurlesarbresderecherche,en
voyantcertainsdeleursparamètrescommeuneurnedePólya;lesanalysesfont
intervenirsuccessivementcombinatoireanalytiqueetprobabilités.
Lesannexesquiterminentcelivredevraientpermettreànoslecteursdetrouverles
basesnécessairespoursuivrenosmodélisationsetanalyses.
– Àl’annexeAsontprésentéslesalgorithmeslesplusclassiquessurlaplupartdes
structuresarborescentesquenousrencontronsdansleschapitresprécédents.
– Les annexes B et C, quant à elles, sont des compendiums des notions mathé-
matiques, respectivement combinatoires et probabilistes, nécessaires à la com-
préhensiondesmodèlesetdesanalysesprésentésdansleschapitres1à9.
– Enfin, l’annexeD présente unehistoire, partielleet partiale,de l’utilisation des
arbresenanalysed’algorithmes.
Prérequis Une familiarité avec les outils mathématiques de base (niveau L2)
est souhaitable. Une connaissance de tout ou partie des outils que nous utilisons
(combinatoireanalytique,probabilités),oudesimplémentationsinformatiquesdes