Arbitrage-free market models for liquid options

187 Pages·2008·8.8 MB·English

ETH Library
Arbitrage-free market models for
liquid options
Doctoral Thesis
Author(s):
Wissel, Johannes Stefan
Publication date:
2008
Permanent link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-005559619
Rights / license:
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Diss. ETH No. 17538
Arbitrage-free Market Models
for Liquid Options
JOHANNES STEFAN WISSEL

Diss. ETH No. 17538
Arbitrage-free Market Models
for Liquid Options
A dissertation submitted to
ETH ZURICH
for the degree of
Doctor of Sciences
presented by
JOHANNES STEFAN WISSEL
Dipl. Math., University of Munich
born 24 October 1979
citizen of Germany
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Martin Schweizer, examiner
Prof. Dr. René Carmona, co-examiner
Prof. Dr. Philipp Schönbucher, co-examiner
2008

to my parents

Abstract
Consider a financial market consisting of a bank account paying no interest,
a stock S, and a collection of European call options CK'T on S with var¬
ious strikes K and maturities T. Assume that all these assets are traded
liquidly. Our goal is to construct an arbitrage-free model of this market by
specifying the joint dynamics of all traded assets explicitly via an SDE sys¬
tem. If the option collection consists of a single call C = CK'T, it is natural
to define the price process via its implied volatility a. In an arbitrage-free
framework, the process (S, à) may then assume any value in (0, oo)2, and the
corresponding option price automatically satisfies the static arbitrage bounds
(St — K)+ < Ct < St and the terminal condition Ct = (St — K)+. But for
more than one traded option, the prices CK'T have to satisfy additional sta¬
tic arbitrage conditions across different strikes K and maturities T. These
conditions take complex forms when expressed in implied volatilities, mak¬
ing it very difficult to specify arbitrage-free dynamics of the processes aK'T
explicitly. We therefore propose to replace implied volatilities by new parame-
trizations of option prices. We consider three cases for our tradable options:
• calls with one fixed strike K and all maturities T > 0.
• calls with one fixed maturity T and all strikes K > 0.
• finitely many calls with different strikes and maturities.
For the first case we (re-)introduce forward implied volatilities, and for the
last two cases local implied volatilities as new fundamental quantities. Each of
them are deterministic functions of the corresponding CK'T and parametrize
in a natural and simple way the prices which are consistent with the static ar¬
bitrage conditions across maturities and/or strikes, respectively. We can then
characterize absence of arbitrage in the model in terms of drift restrictions,
i.e., conditions on the dynamics of the forward and local implied volatili¬
ties. For the resulting system of SDEs, we study the question of solvability
and obtain sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution.
We provide explicit classes of coefficients satisfying the required assumptions,
v
vi
and hence construct concrete examples ofarbitrage-free option market models
with a prespecified volatility structure.
Kurzfassung
Wir betrachten einen Finanzmarkt, in dem ein unverzinstes Bankkonto, eine
Aktie S sowie eine Anzahl von europäischen Call-Optionen CK'T auf die
Aktie mit verschiedenen Ausübungspreisen K und Fälligkeiten T liquide
gehandelt werden. Wir wollen ein arbitragefreies Modell für diesen Markt
konstruieren, indem wir die gemeinsame Dynamik aller gehandelten Instru¬
mente explizit durch ein System von stochastischen Differentialgleichungen
beschreiben. Falls nur eine einzelne Option C = CK'T gehandelt wird, kann
man ihren Preisprozess über ihre implizite Volatilität a definieren. In einem
arbitragefreien Markt kann der Prozess (S,<r) dann jeden Wert in (0,oo)2
annehmen, und der zugehörige Optionspreis erfüllt automatisch die stati¬
schen Arbitragebedingungen (St K)+ < Ct < St sowie die Endbedingung
—
Ct = (St — K)+. Werden jedoch mehrere Optionen gehandelt, dann müssen
zwischen den Preisen CK,T für verschiedene K und T zusätzliche statische
Arbitragebedingungen erfüllt sein. In impliziten Volatilitäten ausgedrückt
haben diese Bedingungen eine sehr komplizierte Gestalt, und es ist aus diesem
Grund schwierig, eine arbitragefreie Dynamik für die Prozesse oK,T explizit
anzugeben. Wir schlagen daher neue Parametrisierungen von Optionspreisen
anstelle von impliziten Volatilitäten vor. Wir unterscheiden die Fälle, in de¬
nen Calls gehandelt werden mit
• einem festen Ausübungspreis K und allen Fälligkeiten T > 0.
• einer festen Fälligkeit T und allen Ausübungspreisen K > 0.
• endlich vielen verschiedenen Ausübungspreisen K und Fälligkeiten T.
Im ersten Fall führen wir forward implied volatilities und in den letzten bei¬
den Fällen local implied volatilities als neue Fundamentalgrössen ein. Diese
sind jeweils deterministische Funktionen der zugehörigen CK'T und para-
metrisieren in einfacher und natürlicher Weise die statischen Arbitragebedin¬
gungen zwischen Preisen von Calls mit verschiedenen Fälligkeiten und/oder
Ausübungspreisen. Die Arbitragefreiheit des Modells wird dann durch Bedin¬
gungen an die Dynamik der Fundamentalgrössen beschrieben, nämlich durch
Restriktionen an deren Drifts. Wir behandeln die Frage der Lösbarkeit des
vn