Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band I Analysis und Lineare Algebra

447 Pages·2002·18.87 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein

Karl Graf Finck von Finckenstein. Jürgen Lehn.
Helmut Schellhaas. Helmut Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik
für Ingenieure
Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn,
Helmut Schellhaas, Helmut Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik
für Ingenieure
Band I Analysis und Lineare Algebra
2., durchgesehene und erweiterte Auflage
Im
Taubnar
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. rer. nato Karl Graf Finck von Finckenstein
Geboren 1933 in SemlowNorpommern. Von 1952 bis 1959 Tätigkeit in der landwirtschaftlichen Praxis. Von 1959 bis 1965
Studium der Mathematik und Physik an der Universität Göttingen. 1965 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion. Von 1967
bis 1974 wiss. Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Plasmaphysik in Garching bei München. Seit 1974 Professor für Ma
thematik an der Technischen Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nato Jürgen Lehn
Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitäten Freiburg und Karlsruhe. Wiss. Assistent an den
Universitäten Karlsruhe und Regensburg. 1968 Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978 Habilitation in
Karlsruhe. 1978 Professor für Mathematik an der Universität Marburg, seit 1979 an der Technischen Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nato Helmut Schellhaas
Geboren 1936 in Zwingenberg/Bergstraße. Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Universität Darmstadt.
Wiss. Mitarbeiter und wiss. Assistent an der Technischen Universität Darmstadt und der Universität Mainz. 1961 Diplom in
Mathematik, 1966 Promotion, 1971 Habilitation in Darmstadt. Von 1972 bis zu seinem Tode im Jahr 2000 Professor für
Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nato Helmut Wegmann
Geboren 1938 in Worms. Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Mainz und Tübingen. Wiss. Assistent
an den Universitäten Mainz und Stuttgart. 1962 Staatsexamen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969 Habilitation in
Stuttgart. Seit 1970 Professor für Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt.
1. Auflage 2000
2., durchgesehene und erweiterte Auflage November 2002
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© B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2002
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-519-12966-0 ISBN 978-3-322-91886-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91886-4
Vorwort zur ersten Auflage
Das Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure richtet sich an Studierende der
ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen an Universitäten. Die Stoffauswahl
ist an den Bedürfnissen der Grundausbildung in Mathematik orientiert, wie sie
üblicherweise in einer viersemestrigen Vorlesungsreihe erfolgt. Der erste Band
behandelt die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer reeller
Veränderlicher. Lineare Algebra, Funktionentheorie, gewöhnliche und partielle Dif
ferentialgleichungen, Laplace-Transformation, numerische Mathematik und Stocha
stik sind der Inhalt des zweiten Bandes.
Das Arbeitsbuch ist so gestaltet, dass zunächst die Fakten, also Definitionen, Sätze
usw. dargestellt werden. Diese werden auch drucktechnisch durch Kästen hervorge
hoben. Die Fakten werden sodann durch zahlreiche Bemerkungen und Ergänzungen
aufbereitet und erläutert. Das Verständnis wird gefördert durch eine große Zahl
von Beispielen, die überwiegend vollständig durchgerechnet werden. Am Ende ei
nes jeden Kapitels finden sich Tests und Übungsaufgaben. Die Tests dienen dem
Leser zur Überprüfung seines Verständnisses für Definitionen und Aussagen. Sie
sind als Multiple-Choice-Aufgaben formuliert. Anhand der Übungsaufgaben kann
sich der Leser mit dem Stoff auseinandersetzen. Die Lösungen zu den Tests und
Übungsaufgaben finden sich in Kurzform am Ende des Buches. Beweise zu mathe
matischen Sätzen sind in der Regel im Arbeitsbuch nicht enthalten. Sollte es als
Textbuch für eine Vorlesung benutzt werden, so wären diese Beweise (teilweise) in
der Vorlesung zu ergänzen. Beweistechniken werden vielfach auch sichtbar an den
durchgerechneten Beispielen.
Das Buch entstand aus einem Vorlesungsskriptum zu den Grundvorlesungen für
Studierende der Elektrotechnik, des Wirtschaftsingenieurwesens Fachrichtung Elek
trotechnik und der Sportinformatik. Die freundliche Aufnahme des Skriptums
durch die Studierenden wie auch durch Kollegen, die es mehrfach ihren Veran
staltungen zugrundelegten, ermunterten die Autoren, das Skriptum aufzuarbeiten
und als Arbeitsbuch mit dem geschilderten Konzept zu publizieren.
Bei Stoffauswahl und Stoffabfolge sind Bedürfnisse berücksichtigt, die von den
ingenieurwissenschaftlichen Fächern kommen. Dies bewirkt gelegentlich, von
bewährten, innermathematisch bedingten Vorgehen abzuweichen. Beispielsweise
müssen die Studierenden im Fach Grundlagen der Elektrotechnik frühzeitig mit
komplexen Zahlen, Eulerscher Formel usw. umgehen können. Dieser Stoff wurde
VI
daher vorgezogen. Andere Abweichungen von der üblichen Stoffabfolge werden vor
genommen, um die Studierenden nicht zu überfordern. Beispielsweise wird das Ler
nen dadurch erleichtert, dass die Gebiete Folgen und Reihen, die erfahrungsgemäß
von den Studierenden als schwer empfunden werden, nicht wie üblich unmittelbar
nacheinander behandelt werden. Statt dessen werden Aussagen über Grenzwert,
Stetigkeit und Differentiation reeller Funktionen dazwischengeschoben. Dadurch
wird den Lernenden eine "Verschnaufpause" gegönnt.
Ich mächte all denen danken, die mich bei der Anfertigung dieses ersten Bandes
unterstützt haben. Frau Magdalene Tabbert und Frau Gudrun Schumm haben
mit viel Engagement und Sachkenntnis aus meinem Manuskript den vorliegenden
'IEX-Text hergestellt. Die aufwendige redaktionelle Schlussarbeit hat Frau Schumm
mit viel Einfühlungsvermögen übernommen. Frau Dr. Claudia Werthenbach hat
mit Zeichnungen zum besseren Verständnis des Textes beigetragen. Mit großer
Sorgfalt und kritischem Urteilsvermögen hat mich Frau Dipl.-Math. Sibylle Strandt
beim Lesen der Korrekturen unterstützt. Ihnen allen sage ich meinen herzlichen
Dank. Schließlich danke ich dem Teubner-Verlag und insbesondere Herrn Dr.
Peter Spuhler für die gute Zusammenarbeit. Ohne sein geduldiges Verständnis für
zwingende Verzögerungen wäre dieser Band nicht zustande gekommen.
Darmstadt, im März 2000 Helmut Schellhaas
Vorwort zur zweiten Auflage
Die erste Auflage dieses Bandes wurde von Helmut Schellhaas verfasst. Er konnte
aus gesundheitlichen Gründen die Lineare Algebra nicht mehr integrieren. In dieser
zweiten Auflage wurde dies nachgeholt und die Kapitel 7 bis 13 über Lineare Al
gebra ergänzt. Außerdem wurden Korrekturen und Verbesserungen vorgenommen.
Hinweise und Änderungsvorschläge erhielten wir von Studierenden, Mitarbeitern
und Kollegen. Ihnen allen und insbesondere Frau Dr. Wanda Morariu (Universi
tatea Politehnica Bukarest) sowie Herrn Prof. Dr. Pete r Burmeister (Technische
Universität Darmstadt) danken wir sehr herzlich.
Darmstadt, im Oktober 2002
Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut Wegmann
Inhaltsverzeichnis
1 Über reelle Zahlen 1
2 Beweismethoden . 16
3 Mengen und Abbildungen 23
4 Spezielle reelle Funktionen . 36
5 Komplexe Zahlen . . . . . . 61
6 Binomische Formel, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten . 70
7 Vektoren und Geraden im 1R2 • • • • • 82
8 Vektoren, Geraden und Ebenen im 1R3 94
9 Lineare Räume .107
10 Matrizen .... .117
11 Determinanten .126
12 Lineare Gleichungssysteme .133
13 Eigenwert-Theorie und quadratische Formen .144
14 Folgen und Konvergenzbegriff . . . . . . . . . .156
15 Grenzwert und Stetigkeit reeller Funktionen . .170
16 Eigenschaften stetiger Funktionen .184
17 Differentiation .......... . .190
18 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen .199
19 Reihen ................. . .210
20 Exponentialfunktion und Logarithmus .222
21 Das Integral. . . . . . . . . . . . . . . .231
22 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. .241
23 Einige Integrationstechniken . .247
24 U neigentliche Integrale. . . . .259
VIII Inhaltsverzeichnis
25 Folgen und Reihen von Funktionen .267
26 Potenzreihen . . . . .277
27 Der Satz von Taylor .285
28 Fourier-Reihen . . . .296
29 Reelle Funktionen mehrerer Veränderlicher .307
30 Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher .316
31 Richtungsableitung, Satz von Taylor, Extrema ..... .329
32 Implizite Funktionen, Extrema mit Nebenbedingungen . .338
33 Integrale mit Parametern .345
34 Wege im Rn . .348
35 Wegintegrale .358
36 Integrale im Rn .372
37 Vektoranalysis .394
Lösungen ..... .407
Literaturhinweise . .430
Sachverzeichnis . . .431
1. Über reelle Zahlen 1
1 Über reelle Zahlen
Am Anfang des mathematischen Denkens stehen die natürlichen Zahlen
1,2,3,4, ....
Für die Menge der natürlichen Zahlen ist die Bezeichnung
=
N {1,2,3, ... }
üblich. Dabei versteht man unter einer Menge allgemein eine Zusammenfassung
von einzelnen Objekten zu einer Gesamtheit, wobei die Objekte dann Elemente der
Menge heißen. Im obigen Beispiel, der Menge der natürlichen Zahlen, wird die Men
ge beschrieben durch die Aufzählung ihrer Elemente in geschweiften Klammern.
Eine andere Darstellung einer Menge kann durch Angabe einer charakterisierenden
Eigenschaft E der Elemente erfolgen. Man schreibt dann {x : x hat Eigenschaft E}
für die Menge aller Elemente x, die die Eigenschaft E besitzen. Ist ein Objekt x
Element einer Menge M, so schreibt man x E M. Weitere Grundtatsachen über
Mengen werden in Kapitel 3 angegeben.
Die Addition und die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen führen wieder zu
einer natürlichen Zahl, mit a E N und bEN gilt stets a + bEN und a . bEN.
Man sagt: N ist abgeschlossen gegenüber der Addition und der Multiplikation. Für
a E N, bEN muss jedoch die Gleichung
a+x=b
nicht unbedingt eine Lösung x E N haben. Erweitert man N jedoch zur Menge
der ganzen Zahlen
z
= { ... , -2, -1,0, 1,2, ...} ,
so hat die Gleichung (*) für a E Z , b E Z stets eine Lösung x E Z .
Andererseits muss für a E Z , b E Z die Gleichung
a·y = b
nicht unbedingt eine Lösung y E Z haben. Erweitert man Z jedoch zur Menge
der rationalen Zahlen
b
Q = {x: x = -, a E Z, b E Z, a =F O},
a
so haben (*) und im Fall a =F 0 auch (**) für a E Q, b E Q stets eine Lösung x E Q
bzw. y E Q.
K. G. F. von Finckenstein et al., Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure
© B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2002
2 1. Über reelle Zahlen
Die Darstellung einer rationalen Zahl x in der Form eines Quotienten aus gan
zen Zahlen ist nicht eindeutig. Dies zeigt das bekannte Kürzen und Erweitern von
Brüchen. Eine eindeutige Darstellung als Bruch lässt sich für x '" 0 erreichen
durch die Forderung, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind und der Nenner eine
natürliche Zahl ist, d.h. x = ~ mit b E Z , a E N, a und b teilerfremd. Andererseits
führt das übliche Divisionsverfahren auf die Darstellung einer rationalen Zahl als
Dezimalbruch. So ergeben
~ = 1.75 einen abbrechenden Dezimalbruch und
= =
:0 0.0285714285 ... 0.0285714 einen periodischen Dezimalbruch.
Die Periode wird dabei durch Überstreichen der Ziffernfolge, die sich periodisch
wiederholt, gekennzeichnet. Bei der Durchführung des Divisionsverfahrens für ei
ne rationale Zahl ~ mit b E Z, a E N kann als Rest jeweils nur eine der Zahlen
0, 1, ... , a-1 auftreten. Tritt der Rest null auf, so bricht der Dezimalbruch ab. An
dernfalls gibt es höchstens a-1 verschiedene Reste und spätestens nach der Berech
nung von a-1 Ziffern des Dezimalbruches (von voranstehenden Nullen abgesehen)
muss einer der Reste erneut auftreten, so dass der Dezimalbruch periodisch wird.
Demnach gilt:
Jede rationale Zahl lässt sich durch einen abbrechenden oder periodischen Dezi
malbruch darstellen.
Umgekehrt lässt sich jeder abbrechende oder periodische Dezimalbruch als Bruch
~ mit bE Z, a E N darstellen. Die Grundidee der Umwandlung periodischer
Dezimalbrüche in Brüche zeigt das folgende Beispiel: Ist x = 0.d1 ••• dk mit den
Ziffern di E {O, 1, ... ,9} für i = 1, ... , k der Dezimalbruch, so gilt mit der Potenz
lOk = 10 . 10 ..... 10 (k Faktoren)
also
d1•· .dk
X -- -lO-k, ---1- .
Die Umwandlung eines beliebigen periodischen Dezimalbruchs lässt sich darauf
zurückführen.
1. Über reelle Zahlen 3
Beispiele:
478
(1) 0.478 = 1000
- 478
(2) 0.478 = 999
- 1 - 1 ( 478) 5318155
(3) 53.23478 = 100 (5323 + 0.478) = 100 5323 + 999 = 99900 .
Bemerkungen und Ergänzungen:
(4) Eine rationale Zahl ~ (bzw. - ~ ) mit m, n E N lässt sich auf der Zahlengeraden
wie folgt veranschaulichen: Man trägt eine Strecke der Länge ~, die man durch
Unterteilung einer Strecke der Länge m in n gleiche Teile erhält, vom Nullpunkt
ausgehend auf der Zahlengeraden nach rechts (bzw. links) ab.
(5) Mit a E Q, b E Q liegt die rationale Zahl c = ~ zwischen a und b. Führt
man diese Überlegung sukzessive fort (für a, c usw.), so sieht man: Zwischen zwei
rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen.
Durch rationale Zahlen lassen sich nicht alle Punkte der Zahlengeraden erfassen.
Dies zeigt schon folgendes Beispiel: Es ist 0.10 100 1000 10000 1 ... ein Dezimal
bruch, der weder abbricht noch periodisch ist. Er kann nach obiger Überlegung
keine rationale Zahl darstellen. Die Existenz von "Lücken" zwischen den rationa
len Zahlen auf der Zahlengeraden zeigt auch folgende Aussage, deren Beweis wir
in Kapitel 2 führen: Es gibt keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert
=
die Zahl 2 ergibt. Die Gleichung x2 2 besitzt also keine Lösung x E Q. Dies
legt nahe, neben den rationalen Zahlen noch weitere Zahlen zu betrachten. Eine
geeignete Erweiterung von Q führt zur Menge der reellen Zahlen IR.. Reelle
Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrational. Hilfreich ist die Vorstellung,
dass die irrationalen Zahlen darstellbar sind als nichtperiodische Dezimalbrüche,
wobei abbrechende Dezimalbrüche als periodisch mit der Periode null angesehen
werden.
Die reellen Zahlen lassen sich durch die im folgenden angegebenen Axiome (Al) bis
(AI5) einführen. Die Axiome beschreiben den Bereich der reellen Zahlen, die nichts
anderes als die uns vertrauten Dezimalzahlen sind, in eindeutiger Weise. Wer sich
für eine ausführliche Darstellung dieser hier nicht beabsichtigten axiomatischen
Einführung der reellen Zahlen interessiert, sei auf EndljLuh [4] oder Heuser [6]
verwiesen. Wir geben die Axiome an und leiten beispielhaft einige Folgerungen
daraus ab. Andere Folgerungen teilen wir nur mit, um dem Leser ein Gefühl dafür
zu vermitteln, wie eine solche axiomatische Einführung der reellen Zahlen erfolgen
kann.
Auf der Menge IR. ist eine Addition + und eine Multiplikation· erklärt, so dass für
a E IR., bE IR. auch a + bE IR. und a· bE IR., wobei mit cE IR. folgende Axiome (Al)
bis (A9) als Rechengesetze gelten.