Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band I Analysis

364 Pages·2000·11.75 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein

v. Finckenstein / lehn / Schellhaas /Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik .
für Ingenieure
Band I Analysis
Von Prof. Dr. rer. nat. Helmut Schellhaas
Technische Universität Darmstadt
Et;
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig . Wiesbaden 2000
Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein
Geboren 1933 in SemlowlVo rpommern. Von 1952 bis 1959 Tätigkeit in der land
wirtschaftlichen Praxis. Von 1959 bis 1965 Studium der Mathematik und Physik an
der Universität Göttingen. 1965 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion. Von 1967
bis 1974 wiss. Mitarbeiter am Max-Planck-Institut flir Plasmaphysik in Garching bei
München. Seit 1974 Professor fijr Mathematik an der Technischen Universität Dann
stadt.
Prof. Or. rer. nat. Jürgen Lehn
Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitäten Freiburg
und Karlsruhe. Wiss. Assistent an den Universitäten Karlsruhe und Regensburg.
1968 Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978 Habilitation in Karls
ruhe. 1978 Professor fijr Mathematik an der Universität Marburg, seit 1979 an der
Technischen Universität Dannstadt.
Prof. Or. rer. nat. Helmut Scheil haas
Geboren 1936 in Zwingenberg/Bergstra/3e. Studium der Mathematik und Physik an
der Technischen Universität Dannstadt. Wiss. Mitarbeiter und wiss. Assistent an der
Technischen Universität Dannstadt und der Universität Mainz. 1961 Diplom in
Mathematik, 1966 Promotion, 1971 Habilitation in Dannstadt. Seit 1972 Professor
fijr Mathematik an der Technischen Universität Dannstadt.
Prof. Or. rer. nat. Helmut Wegmann
Geboren 1938 in Wonns. Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten
Mainz und Tübingen. Wiss. Assistent an den Universitäten Mainz und Stuttgart.
1962 Staatsexamen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969 Habilitation in Stutt
gart. Seit 1970 Professor fijr Mathematik an der Technischen Universität Dannstadt.
ISBN 978-3-519-02966-3 ISBN 978-3-663-01211-5 (eBook)
DOI
10.1007/978-3-663-01211-5
1. Auflage 2000
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titelsatz fUr diese Publikation ist bei
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© B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig . Wiesbaden 2000
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strafbar. Das gilt besonders mr Vervielfältigungen, Übersetzungen,
Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elek
tronischen Systemen.
Konzeption und Layout des Einbands: Peter Pfitz, Stuttgart
Vorwort
Das Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure richtet sich an Studierende der
ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen an Universitäten. Die Stoffauswahl ist
an den Bedürfnissen der Grundausbildung in Mathematik orientiert, wie sie übli
cherweise in einer viersemestrigen Vorlesungsreihe erfolgt. Der erste Band behan
delt die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer reelIer Veränderli
cher. Lineare Algebra, Funktionentheorie, gewöhnliche und partielIe Differential
gleichungen, Laplace-Transformation, numerische Mathematik und Stochastik sind
der Inhalt des zweiten Bandes.
Das Arbeitsbuch ist so gestaltet, dass zunächst die Fakten, also Definitionen, Sätze
usw. dargestellt werden. Diese werden auch drucktechnisch durch Kästen hervorge
hoben. Die Fakten werden sodann durch zahlreiche Bemerkungen und Ergänzungen
aufbereitet und erläutert. Das Verständnis wird gefórdert durch ei ne groBe Zahl von
Beispielen, die überwiegend vollständig durchgerechnet werden. Am Ende eines je
den Kapitels finden sich Tests und Übungsaufgaben. Die Tests dienen dem Leser
zur Überprüfung seines Verständnisses für Definitionen und Aussagen. Sie sind als
Multiple-Choice-Aufgaben formuliert. Anhand der Übungsaufgaben kann sich der
Leser mit dem Stoff auseinandersetzen. Die Lösungen zu den Tests und Übungsauf
gaben finden sich in Kurzform am Ende des Buches. Beweise zu mathematischen
Sätzen sind in der Regel im Arbeitsbuch nicht enthalten. SolI te es als Textbuch für
ei ne Vorlesung benutzt werden, so wären diese Beweise (teilweise) in der Vorlesung
zu ergänzen. Beweistechniken werden vielfach auch sichtbar an den durchgerechne
ten Beispielen.
Das Buch entstand aus einem Vorlesungsskriptum zu den Grundvorlesungen für
Studierende der Elektrotechnik, des Wirtschaftsingenieurwesens Fachrichtung Elek
trotechnik und der Sportinformatik. Die freundliche Aufnahme des Skriptums durch
die Studierenden wie auch durch Kollegen, die es mehrfach ihren Veranstaltungen
zugrundelegten, ermunterten die Autoren, das Skriptum aufzuarbeiten und als Ar
beitsbuch mit dem geschilderten Konzept zu publizieren.
Bei Stoffauswahl und Stoffabfolge sind Bedürfnisse berücksichtigt, die von den
ingenieurwissenschaftlichen Fächern kommen. Dies bewirkt gelegentlich, von
bewährten, innermathematisch bedingten Vorgehen abzuweichen. Beispielsweise
müssen die Studierenden im Fach Grundlagen der Elektrotechnik frühzeitig mit
4
komplexen Zahlen, Eulerscher Formel usw. umgehen können. Dieser Stoff wurde
daher vorgezogen. Andere Abweichungen von der üblichen Stoffabfolge werden vor
genommen, um die Studierenden nicht zu überfordern. Beispielsweise wird das Ler
nen dadurch erleichtert, dass die Gebiete Folgen und Reihen, die erfahrungsgemäB
von den Studierenden als schwer empfunden werden, nicht wie üblich unmittelbar
nacheinander behandelt werden. Statt dessen werden Aussagen über Grenzwert,
Stetigkeit und Differentiation reelIer Funktionen dazwischengeschoben. Dadurch
wird den Lernenden ei ne "Verschnaufpause" gegönnt.
Ich möchte all denen danken, die mich bei der Anfertigung dieses ersten Bandes
unterstützt haben. Frau Magdalene Tabbert und Frau Gudrun Schumm haben mit
viel Engagement und Sachkenntnis aus meinem Manuskript den vorliegenden 'IEX
Text hergestellt. Die aufwendige redaktionelle Schlussarbeit hat Frau Schumm mit
viel Einfühlungsvermögen übernommen. Frau Dr. Claudia Werthenbach hat mit
Zeichnungen zum besseren Verständnis des Textes beigetragen. Mit groBer Sorgfalt
und kritischem Urteilsvermögen hat mich Frau Dipl.-Math. SibylIe Strandt beim
Lesen der Korrekturen unterstützt. Ihnen allen sage ich meinen herzlichen Dank.
SchlieBlich danke ich dem Teubner-Verlag und insbesondere Herrn Dr. Peter Spuh
Ier für die gute Zusammenarbeit. Ohne sein geduldiges Verständnis für zwingende
Verzögerungen wäre dieser Band nicht zustande gekommen.
Darmstadt, im März 2000 Helmut Schellhaas
Inhalt
1 Über reelIe Zahlen 7
2 Beweismethoden . 22
3 Mengen und Abbildungen 29
4 SpezielIe reelIe Funktionen . 42
5 Komplexe Zahlen . . . . .. 67
6 Binomische Formel, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten 76
7 Folgen und Konvergenzbegriff . . . . . . . .. 88
8 Grenzwert und Stetigkeit ree lier Funktionen . 102
9 Eigenschaften stetiger Funktionen 116
10 Differentiation 122
11 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 131
12 Reihen ... .... ..... ... .. . 142
13 Exponentialfunktion und Logarithmus 154
14 Das Integral . . . . . . . . . . . . . . . 163
15 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . 173
16 Einige Integrationstechniken . 179
17 Uneigentliche Integrale. . . . 191
18 Folgen und Reihen von Funktionen 199
19 Potenzreihen . .. . 209
20 Der Satz von Taylor 217
21 Fourier-Reihen . . . 228
22 ReelIe Funktionen mehrerer Veränderlicher 239
23 Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher 249
24 Richtungsableitung, Satz von Taylor, Extrema .. . .. 262
6 Inhalt
25 Implizite Funktionen, Extrema mit Nebenbedingungen 270
26 Integrale mit Parametern 277
27 Wege im IRn . 281
28 Wegintegrale 291
29 Integrale im IR n 305
30 Vektoranalysis 327
31 Lösungen . .. 340
1. Über reelIe Zahlen 7
1 Über reelIe Zahlen
Am Anfang des mathematischen Denkens stehen die natürlichen Zahlen
1,2,3,4, ....
Für die Menge der natürlichen Zahlen ist die Bezeichnung
N={1,2,3, ... }
üblich. Dabei versteht man unter einer Menge allgemein eine Zusammenfassung
von einzelnen Objekten zu einer Gesamtheit, wobei die Objekte dann Elemente
der Menge heiEen. Im obigen Beispiel, der Menge der natürlichen Zahlen, wird die
Menge beschrieben durch die Aufzählung ihrer Elemente in geschweiften Klammern.
Eine andere Darstellung einer Menge kann durch Angabe einer charakterisierenden
Eigenschaft Eder Elemente erfolgen. Man schreibt dann {x : x hat Eigenschaft E}
für die Menge aller Elemente x , die die Eigenschaft E besitzen. Ist ein Objekt x
Element einer Menge M, so schreibt man x EM. Weitere Grundtatsachen über
Mengen werden in Kapitel 3 angegeben.
Die Addition und die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen führen wieder zu
einer natürlichen Zahl, mit a E N und bEN gilt stets a + bEN und a . bEN.
Man sagt: N ist abgeschlossen gegenüber der Addition und der Multiplikation. Für
a EN, bEN muE jedoch die Gleichung
a+x=b
nicht unbedingt ei ne Lösung x E N haben. Erweitert man N jedoch zur Menge
der ganzen Zahlen
:2::: = { ... , -2, -1, 0,1,2, ...} ,
so hat die Gleichung (*) für a E :2::: , b E :2::: stets eine Lösung x E :2::: .
Andererseits muE für a E :2::: , b E :2::: die Gleichung
=
a· y b
nicht unbedingt eine Lösung y E :2::: haben. Erweitert man :2:::jedoch zur Menge der
rationalen Zahlen
Q = {x : x = -b , a E :2:::, b E :2:::, a "# a},
a
K. G. F. von Finckenstein et al., Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure
© B. G. Teubner Stuttgart · Leipzig · Wiesbaden 2000
8 1. Über reelIe Zahlen
so haben (*) und im Fall a =f 0 auch (**) für a E Q ,b E Q stets ei ne Lösung x E Q
bzw. y E Q.
Die Darstellung einer rationalen Zahl x in der Form eines Quotienten aus gan
zen Zahlen ist nicht eindeutig. Dies zeigt das bekannte Kürzen und Erweitern von
Brüchen. Eine eindeutige Darstellung als Bruch läBt sich erreichen durch die
Forderung, daB Zähler und Nenner teilerfremd sind und der Nenner eine natürliche
=
Zahl ist, d.h. x ~ mit b E ;Z, a E f'I, a und b teilerfremd. Andererseits führt
das übliche Divisionsverfahren auf die Darstellung einer rationalen Zahl als De
zimalbruch. So ergibt
~ = l.75 einen abbrechenden Dezimalbruch,
:0 = 0.0285714285 ... = 0.0285714 einen periodischen Dezimalbruch.
Die Periode wird dabei durch Überstreichen der Ziffernfolge, die sich periodisch
wiederholt, gekennzeichnet. Bei der Durchführung des Divisionsverfahrens für ei
ne rationale Zahl ~ mit b E ;Z , a E f'I kann als Rest jeweils nur eine der Zahlen
0,1, ... , a-I auftreten. Tritt der Rest null auf, so bricht der Dezimalbruch ab. An
dernfalls gibt es höchstens a-I verschiedene Reste und spätestens nach der Berech
nung von a-I Ziffern des Dezimalbruches (von voranstehenden Nullen abgesehen)
muB einer der Reste erneut auftreten, so daB der Dezimalbruch periodisch wird.
Demnach gilt:
Jede rationale Zahl läBt sich durch einen abbrechenden oder periodischen Dezi
malbruch darstellen.
Umgekehrt läBt sich jeder abbrechende oder periodische Dezimalbruch als Bruch
~ mit bE ;Z, a E f'I darstellen. Die Grundidee der Umwandlung periodischer
Dezimalbrüche in Brüche zeigt das folgende Beispiel: Ist x = O.dl .. . dk mit den
=
Ziffern di E {O, 1, ... , 9} für i 1, ... , k, der Dezimalbruch, so gilt mit der Potenz
=
10k 10·10· . ···10 (k Faktoren)
also
Die Umwandlung eines beliebigen periodischen Dezimalbruchs läBt sich darauf zu
rückführen.
1. Über reelle Zahlen 9
BeispieIe:
478
(1) 0.478 = 1000
- 478
(2) 0.478 = 999
(3) 53.23-478 = 101 0 (5323 + 0.-478) = 101 0 ( 5323 + 949798 ) = 593919801055 .
Bemerkungen und Ergänzungen:
(4) Eine rationale Zahl ~ (bzw. - ~ ) mit m, n E N läBt sich auf der Zahlengeraden
wie folgt veranschaulichen: Man trägt ei ne Strecke der Länge ~, die man durch
Unterteilung einer Strecke der Länge m in n gleiche Teile erhält, vom Nullpunkt
ausgehend auf der Zahlengeraden nach rechts (bzw. links) ab.
=
(5) Mit a E (()), b E (()) liegt die rationale Zahl c ~ zwischen a und b. Führt
man diese Überlegung sukzessive fort (für a, c usw.), so sieht man: Zwischen zwei
rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen.
Durch rationale Zahlen lassen sich nicht alle Punkte der Zahlengeraden erfassen.
Dies zeigt schon folgendes Beispiel: Es ist 0.10 100 1000 10000 1 ... ein Dezimal
bruch, der weder abbricht noch periodisch ist. Er kann nach obiger Überlegung
keine rationale Zahl darstellen. Die Existenz von "Lücken" zwischen den rationa
len Zahlen auf der Zahlengeraden zeigt auch folgende Aussage, deren Beweis wir
in Kapitel 2 führen: Es gibt keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert
die Zahl 2 ergibt. Die Gleichung x2 = 2 besitzt also keine Lösung x E Q>. Dies
legt nahe, neben den rationalen Zahlen noch weitere Zahlen zu betrachten. Eine
geeignete Erweiterung von Q> führt zur Menge der reellen Zahlen ~. Reelle
Zahlen, die nicht rational sind, hei Ben irrational. Hilfreich ist die Vorstellung, daB
die irrationalen Zahlen darstel!bar sind als nichtperiodische Dezimalbrüche, wobei
abbrechende Dezimalbrüche als periodisch mit der Periode nul! angesehen werden.
Die reellen Zahlen lassen sich durch die im folgenden angegebenen Axiome (Al) bis
(A15) einführen. Die Axiome beschreiben den Bereich der reel!en Zahlen, die nichts
anderes als die uns vertrauten Dezimalzahlen sind, in eindeutiger Weise. Wer sich
für eine ausführliche Darstellung dieser hier nicht beabsichtigten axiomatischen
Einführung der reel!en Zahlen interessiert, sei auf Endl/Luh [3] oder Heuser [5]
verwiesen. Wir geben die Axiome an und leiten beispielhaft einige Folgerungen
daraus ab. Andere Folgerungen teilen wir nur mit, urn dem Leser ein Gefühl dafür
zu vermitteln, wie ei ne solche axiomatische Einführung der reellen Zahlen erfolgen
kann.
10 1. Über reelIe Zahlen
Auf der Menge IR ist eine Addition + und eine Multiplikation . erklärt, so daB für
a E IR , bE IR auch a + bE IR und a· bE IR , wobei mit c E IR folgende Axiome (Al)
bis (Ag) als Rechengesetze geiten.
Körperaxiome
(Al) a + b = b + a Kommutativgesetz
(A2) a + (b+c) = (a+b) + c Assoziativgesetz
(A3) Es gibt ein Element 0 E IR , das Nullelement,
mit a + 0 = a für alle a E IR .
(A4) Zu jedem Element a E IR gibt es ein Element (-a) E IR
mita+(-a)=O.
(A5) a·b=b·a Kommutativgesetz
(A6) a . (b·c) = (a·b) . c Assoziativgesetz
(A7) Es gibt ein vom Nullelement verschiedenes Element I E IR , das
Einselement, mit a· I = a für alle a E IR .
(A8) Zu jedem Element a E IR mit a "# 0 gibt es ein Element a-I E IR
mit a . a-I = I .
(A9) a . (b+c) = a·b + a·c Distributivgesetz
Durch Folgerungen aus den Axiomen lassen sich weitere Rechenregeln für reelIe
Zahlen herleiten. Das grundsätzliche formale Vorgehen zeigt Beispiel (6). Die rest
lichen Resultate (7) bis (9) lassen sich analog gewinnen.
Bemerkungen und Ergänzungen:
(6) Wir zei gen die Anwendung der Axiome bei der Untersuchung der Gleichung
a + x = b, xEIR
mit a, b E IR im Hinblick auf ihre Lösbarkeit.
Nach (A4) existiert (-a) und für x = b + (-a) ist
a+x=a+(b+(-a))
b)
= a + (( -a) + (Al)
(a -a))
= + ( + b (A2)
=O+b (A4)
=b+O (Al)
= b. (A3)