Arbeitsbuch Höhere Mathematik in Rezepten

632 Pages·2018·3.76 MB·German

by  Christian Karpfinger (auth.)

Christian Karpfi nger
Arbeitsbuch
Höhere
Mathematik
in Rezepten
3. Aufl age
Arbeitsbuch Höhere Mathematik in Rezepten
Christian Karpfinger
Arbeitsbuch Höhere
Mathematik in Rezepten
3. Auflage
ChristianKarpfinger
TechnischeUniversitätMünchen
ZentrumMathematik
Garching,Deutschland
ISBN978-3-662-54810-3 ISBN978-3-662-54811-0(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54811-0
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Vorwort zur dritten Auflage
Wir haben sämtliche unsbekanntgewordeneFehler ausgebessert undweitere Aufgaben
mit ausführlichen und verständlichen Lösungen ergänzt. Die behandelten Aufgaben de-
ckensämtlicheAufgabender3.AuflagedesHauptwerkesHöhereMathematikinRezepten
vomgleichenAutorab.
SämtlicheVerweiseimTextaufSeiten,Rezepte,Boxen,BeispieleoderKapitelbeziehen
sichaufdie3.AuflagedesgenanntenRezeptebuches.
München,imApril2017 ChristianKarpfinger
V
Vorwort zur zweiten Auflage
Erfreulicherweise hat das Buch einen großen Gefallen unter der Leserschaft gefunden,
sodassesnunzügigzudieserneuenzweitenAuflagegekommenist.
WirhabenbeidieserneuenAuflagediereicheundbeliebteSammlungvonProblemstel-
lungen um etliche weitere Aufgabenergänztund kommen nun auf die stattliche Anzahl
von 536 Aufgaben.Natürlich haben wir auch die bekanntgewordenenFehler ausgebes-
sert.UmdenNutzendieserSammlungfürdieStudierendenweiterzuerhöhen,habenwir
anmanchenStellendieLösungsfindungnochmehrmotiviert.
Die behandelten Aufgabendecken sämtliche Aufgabender 2. Auflagedes Hauptwerkes
HöhereMathematikinRezeptenvomgleichenAutorab.
SämtlicheVerweiseimTextaufSeiten,Rezepte,Boxen,BeispieleoderKapitelbeziehen
sichaufdie2.AuflagedesgenanntenRezeptebuches.
München,imJuli2016 ChristianKarpfinger
VII
Vorwort zur ersten Auflage
DieLösungendiesesBuchessindauchinFormvonpdf-DateienaufderInternetseitezu
demBuchHöhereMathematikinRezeptendesgleichenAutorsunter
http://www.springer-spektrum.de/
erhältlich.
Wir stellen in diesem Text neben den Aufgaben des Rezeptebuches auch ausführliche
LösungsvorschlägezuallenAufgabenzurVerfügung.
DamitkommenwirdemoftgeäußertenWunschderStudierendennach,zusätzlicheAuf-
gabenzumLösentypischerProblemstellungenbzw.zurFörderungdestieferenVerständ-
nissesderTheoriezurVerfügungzustellen.
Sämtliche Verweise im Text auf Rezepte, Boxen oder Kapitel beziehen sich auf das ge-
nannteRezeptebuch.
DieAufgabenhabensichimLaufevielerJahreinmeinemFundusangesammeltundstam-
men nichtallesamt aus meiner Feder. Viele Aufgaben,Lösungen oder MATLAB-Codes
sind von Kollegen, denen ich hiermit herzlich dafür danke, dass sie mir diese überlas-
sen haben. Gleichzeitig entschuldige ich mich bei allen Kollegen, deren Aufgaben oder
Lösungenichangebe,ohneeszuwissen.
Trotz sorgfältigem und mehrfachen Lesen des Skriptes sind sicherlich einige Fehler im
Textverblieben.Hinweisedaraufsindjederzeitherzlichwillkommen.
München,imSeptember2013 ChristianKarpfinger
IX
Inhaltsverzeichnis
1 Sprechweisen,SymboleundMengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Dienatürlichen,ganzenundrationalenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 DiereellenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Maschinenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 TrigonometrischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
XI
XII Inhaltsverzeichnis
7 KomplexeZahlen–KartesischeKoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8 KomplexeZahlen–Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10 RechnenmitMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
10.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
10.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11 LR-ZerlegungeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
12 DieDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
12.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
12.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
13 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14 Erzeugendensystemeundlineare(Un-)Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . 81
14.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Inhaltsverzeichnis XIII
15 BasenvonVektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
15.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
15.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
16 OrthogonalitätI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
16.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
16.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
17 OrthogonalitätII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
17.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
17.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
18 DaslineareAusgleichsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
18.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
18.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
19 DieQR-ZerlegungeinerMatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
19.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
19.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
20 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
20.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
20.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
21 BerechnungvonGrenzwertenvonFolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
21.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
21.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
22 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
22.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
22.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144