Arbeitsbuch höhere Mathematik: Aufgaben mit vollständig durchgerechneten Lösungen

521 Pages·2013·3.36 MB·German

by  Professor Dr. rer. nat. Dr.-Ing. Georg Hoever (auth.)

Springer-Lehrbuch
Georg Hoever
Arbeitsbuch
höhere Mathematik
Aufgaben mit vollständig durchgerechneten
Lösungen
Professor Dr. rer. nat. Dr.-Ing. Georg Hoever
Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
Fachhochschule Aachen
Aachen
Deutschland
[email protected]
ISBN 978-3-642-30335-7 ISBN 978-3-642-30336-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-30336-4
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Mathematics Subject Classification (2010): 97U40
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort ........................................................ xi
Teil I: Aufgaben
1 Funktionen ................................................. 3
1.1 Elementare Funktionen.................................... 3
1.1.1 Lineare Funktionen ................................. 3
1.1.2 Quadratische Funktionen............................ 5
1.1.3 Polynome ......................................... 7
1.1.4 Gebrochen rationale Funktionen...................... 8
1.1.5 Trigonometrische Funktionen ........................ 8
1.1.6 Potenzregeln und Exponentialfunktionen .............. 10
1.1.7 Betrags-Funktion................................... 11
1.2 Einige Eigenschaften von Funktionen........................ 12
1.3 Umkehrfunktionen........................................ 13
1.3.1 Wurzelfunktionen .................................. 13
1.3.2 Arcus-Funktionen .................................. 14
1.3.3 Logarithmus ....................................... 15
1.4 Modifikation von Funktionen............................... 18
2 Komplexe Zahlen........................................... 21
2.1 Grundlagen.............................................. 21
2.2 Eigenschaften ............................................ 22
2.3 Polardarstellung.......................................... 24
3 Folgen und Reihen.......................................... 27
3.1 Folgen .................................................. 27
v
vi Inhaltsverzeichnis
3.2 Reihen .................................................. 29
3.3 Potenzreihen............................................. 32
4 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit ................. 35
4.1 Grenzwerte .............................................. 35
4.2 Stetigkeit................................................ 36
5 Differenzialrechnung........................................ 39
5.1 Differenzierbare Funktionen................................ 39
5.2 Rechenregeln ............................................ 41
5.3 Anwendungen............................................ 44
5.3.1 Kurvendiskussion................................... 44
5.3.2 Regel von de L’Hospital ............................. 45
5.3.3 Newton-Verfahren .................................. 46
5.3.4 Taylorpolynome und -reihen ......................... 47
6 Integralrechnung ........................................... 51
6.1 Definition und elementare Eigenschaften..................... 51
6.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ............. 54
6.3 Integrationstechniken ..................................... 55
6.3.1 Einfache Integrationstechniken ....................... 55
6.3.2 Partielle Integration ................................ 57
6.3.3 Substitution ....................................... 59
6.3.4 Partialbruch-Zerlegung.............................. 60
7 Vektorrechnung............................................. 61
7.1 Vektoren und Vektorraum ................................. 61
7.2 Linearkombination........................................ 62
7.3 Skalarprodukt............................................ 63
7.4 Vektorprodukt ........................................... 67
7.5 Geraden und Ebenen ..................................... 69
8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen ................... 73
8.1 Grundlagen.............................................. 73
8.2 Gaußsches Eliminationsverfahren ........................... 75
8.3 Matrizen ................................................ 78
Inhaltsverzeichnis vii
8.4 Quadratische Matrizen .................................... 81
8.5 Determinanten ........................................... 83
8.6 Eigenwerte und -vektoren.................................. 84
8.7 Quadratische Formen ..................................... 85
9 Funktionen mit mehreren Ver¨anderlichen................... 87
10 Differenzialrechnung bei mehreren Ver¨anderlichen .......... 91
10.1 Partielle Ableitung und Gradient ........................... 91
10.2 Anwendungen............................................ 93
10.2.1 Lokale Extremstellen bei Funktionen mit mehreren
Variablen.......................................... 93
10.2.2 Jacobi-Matrix und lineare Approximation ............. 94
10.3 Weiterfu¨hrende Themen................................... 95
10.3.1 Kurven ........................................... 95
10.3.2 Kettenregel........................................ 96
10.3.3 Richtungsableitung ................................. 96
10.3.4 Hesse-Matrix ...................................... 97
11 Integration bei mehreren Ver¨anderlichen ................... 99
11.1 Satz von Fubini .......................................... 99
11.2 Integration in anderen Koordinatensystemen.................101
Teil II: L¨osungen
1 Funktionen .................................................105
1.1 Elementare Funktionen....................................105
1.1.1 Lineare Funktionen .................................105
1.1.2 Quadratische Funktionen............................115
1.1.3 Polynome .........................................124
1.1.4 Gebrochen rationale Funktionen......................128
1.1.5 Trigonometrische Funktionen ........................133
1.1.6 Potenzregeln und Exponentialfunktionen ..............140
1.1.7 Betrags-Funktion...................................146
1.2 Einige Eigenschaften von Funktionen........................148
1.3 Umkehrfunktionen........................................153
1.3.1 Wurzelfunktionen ..................................153
viii Inhaltsverzeichnis
1.3.2 Arcus-Funktionen ..................................155
1.3.3 Logarithmus .......................................160
1.4 Modifikation von Funktionen...............................172
2 Komplexe Zahlen...........................................181
2.1 Grundlagen..............................................181
2.2 Eigenschaften ............................................185
2.3 Polardarstellung..........................................194
3 Folgen und Reihen..........................................205
3.1 Folgen ..................................................205
3.2 Reihen ..................................................213
3.3 Potenzreihen.............................................225
4 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit .................235
4.1 Grenzwerte ..............................................235
4.2 Stetigkeit................................................239
5 Differenzialrechnung........................................245
5.1 Differenzierbare Funktionen................................245
5.2 Rechenregeln ............................................252
5.3 Anwendungen............................................269
5.3.1 Kurvendiskussion...................................269
5.3.2 Regel von de L’Hospital .............................275
5.3.3 Newton-Verfahren ..................................278
5.3.4 Taylorpolynome und -reihen .........................282
6 Integralrechnung ...........................................295
6.1 Definition und elementare Eigenschaften.....................295
6.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung .............304
6.3 Integrationstechniken .....................................307
6.3.1 Einfache Integrationstechniken .......................307
6.3.2 Partielle Integration ................................318
6.3.3 Substitution .......................................328
6.3.4 Partialbruch-Zerlegung..............................337
Inhaltsverzeichnis ix
7 Vektorrechnung.............................................341
7.1 Vektoren und Vektorraum .................................341
7.2 Linearkombination........................................345
7.3 Skalarprodukt............................................353
7.4 Vektorprodukt ...........................................370
7.5 Geraden und Ebenen .....................................379
8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen ...................401
8.1 Grundlagen..............................................401
8.2 Gaußsches Eliminationsverfahren ...........................410
8.3 Matrizen ................................................425
8.4 Quadratische Matrizen ....................................439
8.5 Determinanten ...........................................446
8.6 Eigenwerte und -vektoren..................................453
8.7 Quadratische Formen .....................................458
9 Funktionen mit mehreren Ver¨anderlichen...................463
10 Differenzialrechnung bei mehreren Ver¨anderlichen ..........477
10.1 Partielle Ableitung und Gradient ...........................477
10.2 Anwendungen............................................486
10.2.1 Lokale Extremstellen bei Funktionen mit mehreren
Variablen..........................................486
10.2.2 Jacobi-Matrix und lineare Approximation .............490
10.3 Weiterfu¨hrende Themen...................................495
10.3.1 Kurven ...........................................495
10.3.2 Kettenregel........................................500
10.3.3 Richtungsableitung .................................501
10.3.4 Hesse-Matrix ......................................503
11 Integration bei mehreren Ver¨anderlichen ...................509
11.1 Satz von Fubini ..........................................509
11.2 Integration in anderen Koordinatensystemen.................515
Vorwort
So wie man Fußballspielen nicht durch Mitverfolgen der Weltmeisterschaft
lernt, so lernt man Mathematik nicht dadurch, dass man Vorlesungen be-
sucht oder Bu¨cher durchliest. Man muss es selbst ausprobieren. Aufgaben
eigenst¨andig zu bearbeiten, sich zu u¨berlegen, mit welchen mathematischen
Werkzeugen man gegebene Probleme angehen kann, eine Problemstellung so
zumodellieren,dassmansieineineFormelspracheu¨bersetzenkann–dasalles
ist unverzichtbar, wenn man sich die Mathematik zu eigen machen will. Dieses
Buch will dabei helfen.
Das Arbeitsbuch enth¨alt Aufgaben samt vollst¨andig durchgerechneten L¨osun-
gen zu den Standardthemen der h¨oheren Mathematik fu¨r Ingenieure und Na-
turwissenschaftler.DabeiliegtderFokusaufdemVerst¨andnisderMathematik
als Werkzeug zur L¨osung von Problemen.
Inhaltlich orientieren sich die Aufgaben an den Themen, wie sie in einer Vorle-
sung zur h¨oheren Mathematik der Reihe nach behandelt werden k¨onnen, und
wie sie im parallel erscheinenden Buch H¨ohere Mathematik kompakt“ vor-
”
gestellt werden. Zun¨achst werden Aufgaben zur Analysis in einer Variablen
gestellt (Kapitel 1 bis 6), dann zur linearen Algebra (Kapitel 7 und 8). Die
Aufgaben zur linearen Algebra sind weitestgehend unabh¨angig von denen zur
Analysisundk¨onnendaherauchvorgezogenwerden.DieKapitel9bis11bein-
halten dann Aufgaben zur Analysis von Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher.
Die Kapitel entsprechen dabei thematisch genau den Kapiteln aus dem Buch
H¨ohere Mathematik kompakt“.
”
ZuBeginndereinzelnenKapitelbzw.Themenbl¨ockestehenAufgaben,diemehr
die Rechentechnik u¨ben, gefolgt von Aufgaben, bei denen die Anwendung der
Techniken zur L¨osung (mehr oder weniger) realer Probleme im Fokus steht.
Oft muss dazu zun¨achst eine geeignete mathematische Modellierung der Pro-
blemstellungentwickeltwerden.Fernergibtesdieeinoderanderebeispielhafte
Klausuraufgabe.BeidiesenAufgabenistvermerkt,wielangeeineBearbeitung
w¨ahrend einer Klausur ungef¨ahr dauern sollte.
Im Teil I sind ausschließlich die Aufgaben aufgefu¨hrt. Der Teil II bietet dann
die L¨osungen an. Dem Leser sei empfohlen, sich die Aufgaben zun¨achst nur
im Teil I anzusehen, um nicht gleich in Versuchung gefu¨hrt zu werden, einen
Blick auf die L¨osungen zu werfen. Der Lerneffekt, eine Aufgabe wirklich selbst
zum ersten Mal zu l¨osen, ist unwiederbringlich verloren, wenn man sich die
xi
xii Vorwort
fertige L¨osung aus Teil II angesehen hat. Die L¨osungen sollen dazu dienen, die
eigenen Rechnungen zu kontrollieren. Oft gibt es mehrere M¨oglichkeiten zur
L¨osung.ImL¨osungsteilwirdentsprechenddaraufhingewiesen.DieVorstellung
mehrerer L¨osungsvarianten zeigt dem Leser, dass es nicht nur einen Weg gibt,
denmanh¨attefindensollen,sonderndassesh¨aufigmehrereVariantenundun-
terschiedliche Zug¨ange gibt. Vielleicht hat der Leser sogar noch einen weiteren
gefunden.
Einige Aufgaben werden sp¨ater wieder aufgegriffen. Im Aufgabenteil wird das
entsprechend erw¨ahnt. Die zu Grunde liegende Theorie ist im parallel erschei-
nenden Buch H¨ohere Mathematik kompakt“ dargestellt. Abgesehen von Ver-
”
weisen auf Aufgaben beziehen sich Verweise in der Form s. Bemerkung x.x.x“
”
o.A¨.immeraufdiesesBuch.DabeisindVerweisenichtaufallebenutztenS¨atze
und Definitionen sondern eher nur bei Detailu¨berlegungen angefu¨hrt. Grund-
legend ist immer die Theorie des entsprechenden Kapitels.
Ich hoffe, dass diese Aufgabensammlung fu¨r die Studierenden interessante und
lehrreiche U¨bungsm¨oglichkeiten bereitstellt und auch von manchen Dozenten
als Anregung gesch¨atzt wird. U¨ber Ru¨ckmeldungen freue ich mich, sowohl was
die Formulierung der Aufgaben, die inhaltliche Darstellung der L¨osung oder
fehlende U¨bungsaspekte angeht, als auch einfach nur die Nennung von Druck-
fehlern. Eine Liste der gefundenen Fehler ver¨offentliche ich auf meiner Inter-
netseite www.hoever.fh-aachen.de.
An dieser Stelle m¨ochte ich mich bei den vielen Studierenden, Kollegen und
Freundenbedanken,namentlichbeiJonasJungjohann,diezumEntstehendie-
ses Buches beigetragen haben, sei es durch Anregungen zur Handhabung der
Aufgaben, zur Digitalisierung oder zu Druckfehlern in den ersten Versionen.
Ferner gebu¨hrt mein Dank dem Springer-Verlag fu¨r die komplikationslose Zu-
sammenarbeit.
Aachen, im September 2012,
Georg Hoever