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Apuntes de Ecuaciones diferenciales
Badajoz, 27 de febrero de 2018
Volumen 1
Fig. Ca´ustica de la exponencial (pa´g. 604)
Apuntes de Ecuaciones diferenciales
Volumen 1
«Apuntes de Ecuaciones Diferenciales. 27 de febrero de 2018
´
Indice general
I Ecuaciones diferenciales ordinarias
XIX
1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial 1
1.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El haz de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3. Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . . . . 24
1.5. Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1. Interpretaci´on geom´etrica de la diferencial. . . . . 26
1.5.2. Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1. Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1. Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.2. Coordenadas Roequis y c´onicas . . . . . . . . . . . 35
1.8. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8.1. Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.8.2. Ecuaciones diferenciales no aut´onomas. . . . . . . 39
1.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . . . . 40
1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 42
1.9.1. Problemas Geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9.2. Problemas Qu´ımicos. Desintegraci´on. . . . . . . . . 43
1.9.3. Problemas Econ´omicos. . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9.4. Problemas Biol´ogicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.9.5. Problemas F´ısicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9.6. Problemas Arquitect´onicos 1. La catenaria. . . . . 57
i
ii ´INDICE GENERAL
1.9.7. Problemas Arquitect´onicos 2. La par´abola. . . . . 64
1.10.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.11.Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales 83
2.1. Grupo uniparam´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2. Existencia de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3. Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4. Unicidad de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5. Grupo Uniparam´etrico de un campo . . . . . . . . . . . . 96
2.6. Grupo Unip. de campos subidos. . . . . . . . . . . . . . . 101
2.7. Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . . . 103
2.7.1. Clasificaci´on local de campos no singulares. . . . . 108
2.8. Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.9. Corchete de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 114
2.10.Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 116
2.11.M´etodo de Lie para resolver ED. . . . . . . . . . . . . . . 120
2.12.Ap´endice. La tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.13.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.14.Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3. Campos tensoriales en un espacio vectorial 153
3.1. Tensores en un m´odulo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2. Campos tensoriales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 158
3.4. Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.5. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.6. El Lema de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.7. Aplicaci´on. Factores de integraci´on . . . . . . . . . . . . . 176
3.8. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.8.1. Tensor m´etrico del espacio eucl´ıdeo. . . . . . . . . 180
3.8.2. Gradiente, divergencia y rotacional. . . . . . . . . 182
3.8.3. Interpretaci´on geom´etrica del rotacional. . . . . . . 185
3.8.4. Tensores de torsi´on y de curvatura. . . . . . . . . . 188
3.8.5. Tensores de una variedad Riemanniana. . . . . . . 189
3.8.6. El tensor de inercia. S´olido r´ıgido . . . . . . . . . . 192
3.8.7. La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.8.8. El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.8.9. El tensor de deformaci´on. . . . . . . . . . . . . . . 206
3.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
´INDICE GENERAL iii
3.10.Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4. Campos tangentes lineales 221
4.1. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.2. Existencia y unicidad de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . 225
4.3. Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.3.1. El sistema homog´eneo. . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.3.2. El sistema no homog´eneo. . . . . . . . . . . . . . . 235
4.4. Reducci´on de una EDL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.5. Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.6. EDL con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.7. Clasificaci´on de campos lineales . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.8. EDL con coeficientes peri´odicos . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . 249
4.9.1. Caso homog´eneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.9.2. Caso no homog´eneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.10.EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.10.1. Ecuaci´on de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.11.EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.11.1. Ecuaci´on de Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.12.Otros m´etodos para resolver EDL . . . . . . . . . . . . . . 261
4.12.1. M´etodo de las potencias.. . . . . . . . . . . . . . . 261
4.12.2. M´etodo de Frobenius de las potencias. . . . . . . . 262
4.12.3. M´etodo de la transformada de Laplace. . . . . . . 263
4.13.La Ecuaci´on de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.14.La Ecuaci´on de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
4.15.La Ecuaci´on de Laguerre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.16.Algunas EDL de la F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
4.16.1. Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . 274
4.16.2. Problemas de muelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 274
4.16.3. Problemas de circuitos el´ectricos. . . . . . . . . . . 283
4.16.4. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4.17.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.18.Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5. Estabilidad 299
5.1. Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.2. Linealizaci´on en un punto singular . . . . . . . . . . . . . 300
5.3. Estabilidad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . 302
5.4. Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
iv ´INDICE GENERAL
5.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.5.1. Sistemas tipo “depredador–presa”. . . . . . . . . . 313
5.5.2. Especies en competencia. . . . . . . . . . . . . . . 316
5.5.3. Aplicaci´on en Mec´anica cl´asica. . . . . . . . . . . . 316
5.6. Clasificaci´on topol. de las ED lineales . . . . . . . . . . . 319
5.7. Teorema de resonancia de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . 325
5.8. Cuenca de un sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5.9. La aplicaci´on de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.10.Estabilidad de ´orbitas c´ıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5.11.El Teorema de Poincar´e–Bendixson . . . . . . . . . . . . . 342
5.12.Estabilidad de ´orbitas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 348
5.13.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
5.14.Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
II Ecuaciones en derivadas parciales 359
6. Sistemas de Pfaff 361
6.1. Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 365
6.2.1. Sistemas de Pfaff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
6.2.2. Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.3. El sistema caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
6.4. El Teorema de la Proyecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 373
6.4.1. Campos tangentes verticales. . . . . . . . . . . . . 373
6.4.2. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 373
6.5. El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.5.1. M´etodo de Natani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
6.5.2. 1–formas homog´eneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6.6. Aplicaci´on: Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.6.1. Funciones especiales del fibrado tangente. . . . . . 393
6.6.2. Variedad con conexi´on. Distribuci´on asociada. . . . 394
6.7. Aplicaci´on: Termodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.8. Aplicaci´on: Clasificaci´on de formas . . . . . . . . . . . . . 407
6.8.1. Clasificaci´on de 1–formas . . . . . . . . . . . . . . 407
6.8.2. Clasificaci´on de 2–formas. . . . . . . . . . . . . . . 414
6.9. Variedades simpl´ecticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.9.1. Campos Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.9.2. El Fibrado Cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . 421
6.9.3. Fibrado de Jets de funciones de orden 1 . . . . . . 422
´INDICE GENERAL v
6.9.4. Fibrado tangente de una var.Riemanniana. . . . . 423
6.9.5. Mec´anica Hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . 424
6.9.6. Problema de los dos cuerpos. Leyes de Kepler . . . 427
6.9.7. Ecuaci´on de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
6.9.8. Los 5 puntos de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 439
6.10.Ap´endice: Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . 449
6.10.1. Particiones de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . 452
6.10.2. Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 455
6.10.3. Variedades integrales m´aximas . . . . . . . . . . . 456
6.10.4. Otra demostraci´on del Teorema de Frobenius . . . 460
6.11.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
6.12.Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 475
7.1. Definici´on cl´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
7.2. El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
7.3. EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
7.3.1. Ejemplo: Tr´afico en una autopista. . . . . . . . . . 482
7.3.2. Ejemplo: Central telef´onica. . . . . . . . . . . . . . 484
7.3.3. Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . 486
7.3.4. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . . . . 487
7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP. . . . . . . . . . . . 490
7.4.1. Campo caracter´ıstico. . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.5. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . 493
7.5.1. Dimensi´on de una subvariedad soluci´on. . . . . . . 494
7.5.2. Existencia de soluci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . 496
7.5.3. El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 498
7.6. M´etodos para resolver una EDP . . . . . . . . . . . . . . 501
7.6.1. M´etodo de las caracter´ısticas de Cauchy . . . . . . 501
7.6.2. M´etodo de la Proyecci´on. Integral completa . . . . 503
7.6.3. M´etodo de Lagrange–Charpit.. . . . . . . . . . . . 506
7.7. M´etodo de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
7.7.1. Envolvente de una familia de superficies. . . . . . . 507
7.7.2. Envolvente de una familia de hipersuperficies. . . . 511
7.7.3. M´etodo de la envolvente. . . . . . . . . . . . . . . 513
7.7.4. Soluci´on singular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
7.8. Definici´on intr´ınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
7.9.1. M´etodo de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
7.9.2. Ecuaci´on de Hamilton–Jacobi. . . . . . . . . . . . 524
vi ´INDICE GENERAL
7.9.3. Geod´esicas de una variedad Riemanniana. . . . . . 527
7.10.Introducci´on al c´alculo de variaciones. . . . . . . . . . . . 537
7.10.1. Ecuaciones de Euler–Lagrange. . . . . . . . . . . . 538
7.10.2. Ejemplo. La braquist´ocrona.. . . . . . . . . . . . . 542
7.10.3. Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton. . . . . 549
7.10.4. Ap´endice. La ecuaci´on de Schr¨odinger . . . . . . . 553
7.11.Lagrangianas. Teorema de No¨ether . . . . . . . . . . . . . 554
7.11.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 554
7.11.2. Ejemplo. Lagrangiana de la longitud . . . . . . . . 560
7.11.3. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . 563
7.11.4. Curvas de m´ınima acci´on y geod´esicas . . . . . . . 565
7.11.5. El Teorema de No¨ether. . . . . . . . . . . . . . . . 567
7.12.C´alculo de variaciones en Jets . . . . . . . . . . . . . . . . 574
7.12.1. Jets de aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . 574
7.12.2. Distribuci´on can´onica . . . . . . . . . . . . . . . . 575
7.13.Ap´endice. El Campo geod´esico . . . . . . . . . . . . . . . 583
7.13.1. Subidas can´onicas de un campo tangente. . . . . . 583
7.13.2. Variedad con conexi´on. Campo geod´esico. . . . . . 586
7.13.3. Campo geod´esico en una variedad Riemanniana. . 588
7.13.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
7.14.Ap´endice. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . . 593
7.15.Ap´endice. O´ptica geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 595
7.15.1. Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
7.15.2. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
7.15.3. O´valo de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
7.15.4. Propiedad de refracci´on de las elipses . . . . . . . 598
7.15.5. Propiedades de reflexi´on de las elipses . . . . . . . 601
7.15.6. Trayectoria en un medio de´ındice variable. . . . . 601
7.16.Ap´endice. Envolventes y c´austicas . . . . . . . . . . . . . 603
7.16.1. Epicicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
7.16.2. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
7.16.3. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
7.17.Ap´endice: Proyecciones de la esfera . . . . . . . . . . . . . 607
7.17.1. La proyecci´on estereogr´afica. . . . . . . . . . . . . 607
7.17.2. Proyecciones de Mercator y de Gall–Peters . . . . 609
7.18.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
7.19.Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
