Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

114 Pages·2017·2.63 MB·Spanish

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

APUNTES DE CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

SEMESTRE 2019-2

PROF. ING. ALICIA PINEDA RAMÍREZ
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

MÉTODO DE EVALUACIÓN

La exención se otorgará a los alumnos que acrediten el curso con calificación aprobatoria
•
mínima de siete (7).
Para poder presentar los exámenes correspondientes a cada parte del curso, el alumno deberá
•
entregar las series correspondientes a los capítulos que comprenda cada examen. Esta serie
tiene un valor del 10% + la calificación del examen.
Se dejarán tareas por clase, su promedio tendrá un valor del 25%, NO SE ACEPTAN TAREAS
•
ATRASADAS.
Lectura de dos libros en el semestre, para evaluarlos se necesita calificación APROBATORIA.
•
En caso de no quedar exentos se tendrá la posibilidad de presentar los dos exámenes finales,
•
siempre y cuando su asistencia a clases sea del 70%. El primer final será promediado con
parciales y con el promedio de las calificaciones de las tareas que se dejen a lo largo del curso.
Para este promedio se considerarán los siguientes porcentajes.

Examen final 50%
Exámenes parciales 40%
Tareas 10%
ESCALA DE CALIFICACIONES
0.0 – 5.9 --- 5
6.0 – 6.4 --- 6
6.5
6.6 – 7.4 --- 7
7.5
7.6 – 8.4 --- 8
8.5
8.6 – 9.4 --- 9
9.5
9.6 – 10 --- 10
2
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

En caso de no aprobar el primer examen final, la calificación correspondiente será la obtenida en el
segundo examen final.

Los oyentes serán evaluados exclusivamente con el segundo examen final colegiado.

FECHAS DE EXAMENES PARCIALES Y FINALES:
1er. Parcial: Del 21 al 27 de febrero 2019, capítulos 1 y 2
2do. Parcial: Del 28 de marzo al 3 de abril de 2019, capítulos 3 y 4
3er. Parcial: Del 6 al 8 de mayo de 2019, capítulos 5 y 6
4to. Parcial: 23 de mayo de 2019, capítulo 7

FINALES
1er. Final: 30 de mayo de 2019, 10:30 hrs.
2do. Final: 6 de junio de 2019, 10:30 hrs.

3
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

BIBLIOGRAFÍA

1. Andrade Arnulfo, Crail Sergio.
Cuaderno de ejercicio de Cálculo Diferencial, 2da. Edición, México

2. Castañeda de I. P. Erick
Geometría analítica en el espacio, 1ª. Edición, México

3. Larson R. Bruce E.
Cálculo I de una variable, 9ª. Edición, México

4. Stewart James
Cálculo de una variable, 6ª. Edición, México

5. Lehmann, Charles
Geometría Analítica, 1ª. Edición, México

CAPÍTULOS:
I. Secciones cónicas
II. Funciones
III. Límites y continuidad
IV. La derivada y aplicaciones
V. Variación de funciones
VI. Álgebra vectorial
VII. Recta y plano

4
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

1. SECCIONES CÓNICAS
1.1 Definición de Cónica.
Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo
que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas.

Clasificación de las cónicas.
- Circunferencia
- Elipse
- Parábola
- Hipérbola
- Degeneración en puntos y rectas

1.2 Ecuación General de las cónicas
Su ecuación general es de segundo grado:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F =0
Toda curva cónica tiene como representación una ecuación de segundo grado, cuando Z=0, pero no
toda ecuación de segundo grado representa una curva cónica, podría representar una degeneración
de una cónica o podría no representar un lugar geométrico.
1.3 Identificación de los tipos de cónicas a partir de los coeficientes de la ecuación general.
En la ecuación si los términos:
F 0, la curva no contiene el origen
F =0, la curva contiene el origen
5
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

B=0, los ejes de la curva son paralelos o coinciden con los ejes coordenados
B0, los ejes de la curva son oblicuos con respecto a los ejes coordenados
D=E=0, significa que la curva no está trasladada con respecto al origen
D o E0 o ambos diferentes de cero, significa que la curva está trasladada
A,B,C=0, se tiene una recta.
De acuerdo a la característica de los coeficientes en la ecuación de segundo grado se puede
especificar el tipo de cónica a estudiar. Considerando B=0
A=C Tipo circunferencia
AC y del mismo signo, es tipo elipse
AC con signos contrarios, es tipo hipérbola.
1.4 Ecuación de las cónicas en forma ordinaria.
Considerando B=0, entonces la ecuación general de la cónica es: 𝐴𝑥2+𝐶𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹 = 0
Circunferencia: Lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

6
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

Ecuación canónica: x2+y2 =r2
Ecuación ordinaria: (x−h)2+(y−k)2 =r2
Elementos de la circunferencia:
- Centro
- Radio
- Diámetro
- Perímetro
Parábola: Lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado foco es
siempre igual a la distancia de ese punto a una recta fija llamada directriz.

Ecuación canónica:
𝑦2 = 4𝑝𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑋 𝑦 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
𝑦2 = −4𝑝𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋 𝑦 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
𝑥2 =4𝑝𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 𝑦 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
𝑥2 =−4𝑝𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 𝑦 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
7
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

Ecuación ordinaria, donde el vértice se encuentra en (ℎ,𝑘) y el eje focal con las mismas
características que la ecuación canónica.
(𝑦−𝑘)2 = 4𝑝(𝑥−ℎ)
(𝑦−𝑘)2 = −4𝑝(𝑥−ℎ)
(𝑥−ℎ)2 = 4𝑝(𝑦−𝑘)
(𝑥−ℎ)2 = −4𝑝(𝑦−ℎ)
Elementos de la parábola:
- Vértice
- Foco
- Directriz
- Lado recto
Elipse: Lugar geométrico de todos los puntos en los que la suma de las distancias a dos puntos fijos
llamados focos, permanece constantes.

𝑥2 𝑦2
Ecuación canónica: + = 1
𝑎2 𝑏2

(𝑥−ℎ)2 (𝑦−𝑘)2
Ecuación ordinaria: + = 1
𝑎2 𝑏2
Elementos de la elipse:
- Centro
- Vértices
- Focos
- Semieje mayor
8
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

- Semieje menor
- Distancia focal: 𝑐2 = 𝑎2−𝑏2
Hipérbola: Lugar geométrico de todos los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de las
distancias a dos puntos fijos llamados focos, permanece constante.

Ecuación canónica:
𝑥2 𝑦2
− = 1
𝑎2 𝑏2
𝑥2 𝑦2
− + = 1
𝑎2 𝑏2
Ecuación ordinaria:
(𝑥−ℎ)2 (𝑦−𝑘)2
− = 1
𝑎2 𝑏2
(𝑥−ℎ)2 (𝑦−𝑘)2
− + = 1
𝑎2 𝑏2

Elementos de la hipérbola:
- Centro
- Vértices
- Focos
- Semieje transverso
- Semieje conjugado
- Distancia focal: 𝑐2 = 𝑎2+𝑏2
9
Apuntes de Cálculo y Geometría Analítica

Hipérbola equilátera: 𝑥2−𝑦2 = 𝑎2
1.5 Identificación de la cónica por medio del indicador 𝐼 = 𝐵2−4𝐴𝐶 y rotación de ejes.
En la ecuación general de las cónicas: 𝐴𝑥2+𝐵𝑥𝑦+𝐶𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹 = 0
Si 𝐵 ≠ 0 significa que la curva cónica en estudio tiene sus ejes girados con respecto a los ejes de
referencia, además solo podrá representar la ecuación de una parábola, una elipse o una hipérbola,
también podrá ser alguna de las degeneraciones de estas curvas.
Indicador o Discriminante: Se puede identificar la cónica que representa la ecuación a partir de su
forma general, auxiliándose del siguiente discriminante:
𝐼 = 𝐵2−4𝐴𝐶
Al valuar el discriminante si 𝐼 > 0 se tiene una cónica tipo hipérbola.
𝑠𝑖 𝐼 = 0 es tipo parábola
𝑠𝑖 𝐼 < 0 es tipo elipse
Pero la forma más exacta de identificarla es reducir la ecuación general a su ecuación ordinaria, para
ello es necesario hacer una transformación de coordenadas aplicando un cambio de variable:
𝑥 = 𝑥´𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑦´𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦 = 𝑥´𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑦´𝑐𝑜𝑠𝜃
El objetivo será eliminar el termino 𝑥𝑦 al girar los ejes de referencia y hacerlos paralelos a los de la
𝐵
cónica. Y el ángulo de giro estará dado por 𝑡𝑎𝑛2𝜃 =
𝐴−𝐶
Para la traslación de ejes se utiliza un nuevo cambio de variable donde:
𝑥 = 𝑥´−ℎ
𝑦 =𝑦´−𝑘

10