Apuntes de Análisis y Diseño de Algoritmos

174 Pages·2007·7 MB·Spanish

Apuntes de Análisis y Diseño de
Algoritmos
Conrado Martínez
LSI-UPC
Septiembre 2006
1 Análisis de Algoritmos
2 Divide y Vencerás
3 Estructuras de Datos
4 Algoritmos Voraces
El análisis de algoritmos tiene como objetivo
establecer propiedades sobre la eficiencia permitiendo
la comparación entre soluciones alternativas y predecir
los recursos que usará un algoritmo o ED.
Consideremos el siguiente algoritmo para determinar
el mínimo de un vector A de n elementos:
i = 0; min = 0;
while (i < n) {
if (A[i] < A[min])
min = i;
++i;
}
// n = 0 y min = 0 (cid:243)
// n > 0 y A[min] = m(cid:19)(cid:16)nfA[i] : 0 (cid:20) i < ng
El número de operaciones elementales (comparaciones,
asignaciones, sumas, etc.) que realiza es básicamente
proporcional al número n de elementos del vector A y
el tiempo de ejecución será, consecuentemente, de la
forma a(cid:1)n+b.
La “forma” del coste a(cid:1)n+b es independiente del
hardware sobre el que se implementa, el sistema
operativo, el lenguaje de programación, etc.; sólo
las constantes a y b dependen de estos factores
Para analizar algoritmos sólo contaremos el
número de operaciones elementales, asumiendo
que cada una de ellas consume una unidad de tiempo
En general, la eficiencia de un algoritmo dependerá
de cada entrada concreta, no sólo del tamaño de la
entrada
Dado un algoritmo A cuyo conjunto de entradas es A
su eficiencia o coste (en tiempo, en espacio, en
número de operaciones de E/S, etc.) es una función T
de A en N (o Q ó R, según el caso):
T : A ! N
(cid:11) 7! T((cid:11))
Caracterizar la función T puede ser muy complicado y
además proporciona información inmanejable,
difícilmente utilizable en la práctica.
Sea A el conjunto de entradas de tamaño n y
n
T : A ! N la función T restringida a A .
n n n
Coste en caso mejor:
T (n) = m(cid:19)(cid:16)nfT ((cid:11))j(cid:11) 2 A g:
mejor n n
Coste en caso peor:
T (n) = m(cid:19)axfT ((cid:11))j(cid:11) 2 A g:
peor n n
Coste promedio:
T (n) = Pr((cid:11))T ((cid:11))
avg n
(cid:11)X2An
= k Pr(T = k):
n
k(cid:21)0
X
1 Para todo n (cid:21) 0 y para cualquier (cid:11) 2 An
T (n) (cid:20) T ((cid:11)) (cid:20) T (n):
mejor n peor
2 Para todo n (cid:21) 0
T (n) (cid:20) T (n) (cid:20) T (n):
mejor avg peor

Por lo general, estudiaremos el coste en caso peor de
los algoritmos por dos razones:
proporciona garantías sobre la eficiencia del
algoritmo ya que el coste nunca excederá el coste
en caso peor
es más fácil de calcular que el coste promedio