Apuntes de Análisis Matemático I

578 Pages·2006·2.25 MB·Spanish

Apuntes
de
Análisis Matemático I
María D. Acosta
Camilo Aparicio
Antonio Moreno
Armando R. Villena
II
Índice general
I Continuidad 3
1. IntroducciónalAnálisisdeunavariable. 5
1.1. ResultadosfundamentalesenR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. ResumenderesultadosdelTema1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. EjerciciosdelTema1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. SolucionesalosejerciciosdelTema1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Camposescalaresyvectorialescontinuos.Límitefuncional. 21
2.1. Normasydistancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Topologíadeunespaciométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Compactos,convexosyconexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Funcionescontinuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. Límitefuncional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6. Apéndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.1. A)TeoremadeHeine-Borel-Lebesque. . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.2. B)Desigualdadentrelamediageométricayaritmética. . . . . . . . 57
2.6.3. C)Demostracióndelacaracterizacióndelacontinuidadglobal. . . . 58
2.6.4. D)OtrademostracióndelTeoremadeHeine. . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.5. E)Fórmulaparaelargumentodeunnúmerocomplejo. . . . . . . . 60
2.7. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.8. ResumenderesultadosdelTema2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.9. EjerciciosdelTema2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.10. SolucionesalosejerciciosdelTema2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.11. Brevebiografíadelosmatemáticosmencionadosenlostemas1y2 . . . . . 87
II Derivación 91
3. Camposescalaresyvectorialesderivables.Reglasdederivación. 93
3.1. ElespaciodeBanachL(RN,RM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2. Conceptodederivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3. Camposescalaresderivables.Vectorgradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4. Camposvectorialesderivables.Matrizjacobiana. . . . . . . . . . . . . . . . 112
III
IV ÍNDICEGENERAL
3.5. Reglasdederivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.6. Interpretacióngeométricadelconceptodederivada.Hiperplanotangente. . . 122
3.7. ApéndiceA)DesigualdaddeCauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.8. ApéndiceB)Normasduales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.9. ApéndiceC)Hiperplanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.10. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.11. ResumendelresultadosdelTema3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.12. EjerciciosdelTema3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.13. SolucionesalosejerciciosdelTema3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4. Teorema del valor medio. Teoremas del punto fijo de Banach y de Schauder.
TeoremadePicard-Lindelöf. 155
4.1. Teoremadelvalormedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.2. Teoremas delpunto fijo de BanachydeSchauder. . . . . . . . . . . . . . 162
4.3. TeoremadePicard-Lindelöf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.4. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.5. ResumendelresultadosdelTema4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.6. EjerciciosdelTema4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.7. SolucionesalosejerciciosdelTema4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5. Derivadasegunda.Matrizhessiana. 183
5.1. Aplicacionesbilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.2. Derivadasegunda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.3. Reglasdederivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.4. TeoremadeSchwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.5. FórmuladeTaylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.6. Camposescalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.7. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.8. ResumendelresultadosdelTema5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.9. EjerciciosdelTema5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.10. SolucionesalosejerciciosdelTema5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6. Derivadassucesivas. 219
6.1. Reglasdederivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.2. Derivadasdeordensuperiordecamposescalares. . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.3. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.4. ResumendelresultadosdelTema6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.5. EjerciciosdelTema6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.6. SolucionesalosejerciciosdelTema6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7. Extremosrelativos. 243
7.1. Condicionesnecesariasysuficientesdeextremorelativo . . . . . . . . . . . 243
7.2. Apéndice:ClasificacióndeformascuadráticasdeN variables . . . . . . . . 251
7.3. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.4. ResumenderesultadosdelTema7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.5. EjerciciosdelTema7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
ÍNDICEGENERAL V
7.6. SolucionesalosejerciciosdelTema7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8. Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita. 277
8.1. Teoremadelafuncióninversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.2. Teoremadelafunciónimplícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
8.3. Apéndice: El Teorema de la función inversa se deduce del Teorema de la
funciónimplícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.4. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.5. ResumenderesultadosdelTema8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.6. EjerciciosdelTema8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.7. SolucionesalosejerciciosdelTema8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
9. Variedades.Extremoscondicionados. 307
9.1. Variedadesdiferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.2. Espaciostangenteynormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
9.3. Extremoscondicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.4. Cálculoprácticodepuntoscríticoscondicionados.FuncióndeLagrange,sis-
temadeLagrangeymultiplicadoresdeLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.5. AplicacióndelTeoremadeLagrangealcálculodeextremosabsolutos. . . . 322
9.6. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.7. Resumenderesultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.8. EjerciciosdelTema9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.9. SolucionesdelosejerciciosdelTema9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
III Integración 355
10. MedidadeLebesgueenRN. 357
10.1. σ-álgebrasymedidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.2. ConstruccióndelamedidadeLebesgueenRN. . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.3. ExistenciayunicidaddelamedidadeLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.4. CaracterizacióndelamedidadeLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.5. ComportamientodelamedidadeLebesguefrenteaaplicaciones . . . . . . . 377
10.6. ApéndiceA:Orden,topologíayaritméticaen[0,¥ ]. . . . . . . . . . . . . . 384
10.7. ApéndiceB:“Subaditividaddelvolumen”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.8. ApéndiceC:“Descomposicióndeunisomorfismolineal.” . . . . . . . . . . 388
10.9. ApéndiceD:“ConjuntosternariosdeCantoryfunciónsingulardeLebesgue” 390
10.10.Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.11.ResumendelresultadosdelTema10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10.12.EjerciciosdelTema10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
10.13.SolucionesalosejerciciosdelTema10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
11. Integralasociadaaunamedida 411
11.1. Funciónmedible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.2. Propiedadesdelasfuncionesmedibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.3. Funcionessimples.TeoremadeaproximacióndeLebesgue. . . . . . . . . . 418
VI ÍNDICEGENERAL
11.4. Integraldefuncionessimplespositivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.5. Integraldeunafunciónmediblepositiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.6. Funciónintegrableeintegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
11.7. DensidaddelasfuncionessimplesenL(µ). . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.8. Referenciasrecomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.9. ResumendelresultadosdelTema11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.10.EjerciciosdelTema11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
11.11.SolucionesalosejerciciosdelTema11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
12. Teoremasdeconvergencia 447
12.1. Teoremadelaconvergenciamonótona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
12.2. TeoremadelaconvergenciadominadayLemadeFatou . . . . . . . . . . . 453
12.3. Teoremadelaconvergenciaabsoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
12.4. TeoremadeRiesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
12.5. SubespaciosdensosenL(RN). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
12.6. ResumendelresultadosdelTema12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
12.7. EjerciciosdelTema12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
12.8. SolucionesalosejerciciosdelTema12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
13. Técnicasdeintegraciónenunavariable. 477
13.1. Integrabilidadlocal.Propiedadesdelaintegral. . . . . . . . . . . . . . . . . 477
13.2. Teoremafundamentaldelcálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
13.3. Cambiodevariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
13.4. Integraciónporpartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
13.5. Criteriodecomparación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
13.6. Funcionesdefinidasporintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.7. Continuidadabsoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
13.8. ResumendelresultadosdelTema13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
13.9. EjerciciosdelTema13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
13.10.SolucionesalosejerciciosdelTema13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
14. Técnicasdeintegraciónenvariasvariables. 519
14.1. TeoremadeFubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
14.2. TeoremadeTonelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
14.3. Teoremadelcambiodevariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
14.4. Coordenadaspolares,cilíndricasyesféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
14.5. ResumenderesultadosdelTema14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
14.6. EjerciciosdelTema14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
14.7. SolucionesalosejerciciosdelTema14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
IV Referencias 569
1
2
Capítulo I
Continuidad
3