aprender matem´aticas a trav´es de su historia

179 Pages·2004·4.12 MB·Spanish

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PROYECTO DE INNOVACION EDUCATIVA
MEMORIA FINAL DEL PROYECTO
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TITULO DEL PROYECTO:
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APRENDER MATEMATICAS A
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TRAVES DE SU HISTORIA
Coordinador:
Carlos O. Su´arez Alem´an
I. E. S. “J. M. Caballero Bonald”
Jerez de la Frontera (C´adiz)
Referencia del Proyecto: PIN-038/01
Proyecto subvencionado por la Consejer´ıa de
Educaci´on y Ciencia de la Junta de Andaluc´ıa
(Orden de 15-05-2001; Resoluci´on de 30-11-2001)

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Indice general
Introducci´on 7
I Aspectos hist´oricos de las Matem´aticas 15
1. Introducci´on hist´orica a la evoluci´on del nu´mero 17
1.1. La numeraci´on en Babilonia y Egipto . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2. Documentos matem´aticos de Babilonia y Egipto . . . . . . . . 21
2. La matem´atica griega antes de Euclides 29
2.1. Thales y Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. El inicio de la matem´atica infinita . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. El gran libro: Elementos de Euclides 43
4. Arqu´ımedes de Siracusa 51
5. La resoluci´on de ecuaciones a trav´es de la historia. 63
5.1. Ecuaciones en Egipto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2. Resoluci´on de ecuaciones por procesos iterativos. . . . . . . . . 70
3
5.3. Resoluci´on algebraica de ecuaciones de segundo grado . . . . . 77
5.4. Ecuaciones segu´n Al’Khwarizmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5. Las ecuaciones segu´n Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6. La ecuaci´on cu´bica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6. M´etodos num´ericos para resolver ecuaciones 103
7. Nu´meroyacotaci´ondelassolucionesdeunaecuaci´onpolin´omi-
ca 109
7.1. Del nu´mero de soluciones de una ecuaci´on . . . . . . . . . . . 110
7.2. De la localizaci´on de ra´ıces del polinomio . . . . . . . . . . . . 114
8. Logaritmos y exponenciales. 121
8.1. La exponencial y el Logaritmo en Euler . . . . . . . . . . . . . 126
9. Evoluci´on hist´orica del concepto de funci´on. 135
II Aspectos did´acticos del proyecto 141
10.Actividades realizadas 143
10.1.Introducci´on al sistema de numeraci´on decimal a trav´es de su
evolucio´n hist´orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2.Introducci´on al lenguaje matem´atico desde los Elementos de
Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3.Introducci´onat´ecnicasdec´alculoaproximativosegu´nelm´eto-
do de exhausci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.4.Introducci´on a la resoluci´on de ecuaciones de primer grado a
trav´es de los m´etodos de resoluci´on egipcios, hindu´es y ´arabes. 151
10.5.Obtenci´on de la f´ormula de resoluci´on de ecuaciones de se-
gundo grado a partir de las interpretaciones geom´etricas de
Al’Kwarizmi y Bhˆaskara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.6.Utilizaci´on de los sistemas de ecuaciones de segundo grado con
dos inc´ognitas para resolver ecuaciones de tercer grado segu´n
los trabajos de Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.7.Introducci´on al concepto de funci´on a trav´es de las distintos
definiciones aportadas por diversos autores . . . . . . . . . . . 154
10.8.Introducci´on a la resoluci´on de problemas a partir de los tex-
tos originales traducidos de la G´eom´etrie de Descartes en los
cursos de 3o E.S.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.9.Introducci´on de m´etodos num´ericos de resoluci´on de ecua-
ciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.10.Otras actividades relacionadas con la Historia . . . . . . . . . 157
10.10.1.La proporcionalidad y semejanza a trav´es de la evolu-
ci´on hist´orica del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.10.2.Trabajos de investigaci´on por alumnos . . . . . . . . . 159
11.Valoraci´on del proyecto 163
Bibliograf´ıa 164

Introducci´on
Tradicionalmente se ha considerado innecesario incluir en entre los estu-
dios de formaci´on de futuros matem´aticos la Historia de las Matem´aticas.
Son muchos los que consideran que esta no aporta nada a la formaci´on
de los j´ovenes y que no es necesario conocer la Historia para desarrollar el
conocimiento matem´atico. Esto lleva al tradicional rechazo por parte de las
universidades espan˜olas el incluir como parte fundamental de la formaci´on
de Licenciados en Matem´aticas. Afortunadamente, aquellos matem´aticos que
se han preocupado en profundizar en este campo han podido probar el error
de estas concepciones. Aquellos que por afici´on hemos querido penetrar en
el mundo de la historia hemos podido tomar conciencia del enorme poder
que tiene la Historia de las Matem´aticas y todo ello est´a basado en un sim-
ple hecho, que nos ayuda a completar un aspecto fundamental de nuestra
formaci´on cient´ıfica y did´actica: la comprensi´on de la propia ciencia.
Lainvestigaci´onenhistoriadelacienciaesfundamentalparaelconocimien-
to de la propia ciencia. La g´enesis y evolucio´n de los diversos conceptos nos
facilitan el entendimiento de los mismos y, sobre todo, nos aclaran el sentido
paraelquefuerondesarrollados. Lapresentaci´onfinalqueseda aunteorema
o un resultado no refleja en absoluto las dificultades a las que se ha tenido
que hacer frente para resolverlo. El hecho de que en cualquier manual de
matem´aticas la demostraci´on de un resultado vaya a continuacio´n del enun-
ciadodelmismodalaimpresi´ondequedichoresultadofuerainmediatamente
7
8 Aprender matem´aticas a trav´es de su historia
demostrado por el autor. Sin embargo nada m´as lejos de la realidad, la may-
or´ıa de los resultados importantes distan, en tiempo, bastante del instante
en que fueron enunciados. Sirva de ejemplos que el Teorema de Fermat fue
enunciado por Diofanto (S. III a. C) y su demostraci´on fue dada por Andrew
J. Wiles (1953 - ) en 1994, m´as de dos milenios despu´es, o que el Teorema
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Fundamental del Algebra fue enunciado por Albert Girard (1595-1632) en
1629 y fue demostrado, desde un punto de vista v´alido en la ´epoca pero no
actualmente, por Carl F. Gauss (1777-1855) en 1799, o la evoluci´on sufrida
por el concepto de funci´on que desde que fuese formulada la primera idea
por Johann Bernoulli (1667-1748) en una carta a Gottfried W. von Leibniz
(1646-1716) en 1694, hasta la formulaci´on actual dada en 1954 por Nicol´as
Bourbaki El´ements de Math´ematique [8] pasaron m´as de 250 an˜os.
Por tanto, la historia de las matem´aticas nos muestra las dificultades a
las que la mente humana se ha tenido que enfrentar para el estudio y an´alisis
de las diversas cuestiones que ha resuelto. Esta informaci´on, desde el punto
de vista de la ensen˜anza, puede ser muy u´til e interesante al profesor que
debe mostrar el concepto. Si sabe en qu´e pasos se ha detenido el proceso
es previsible que los alumnos muestren dificultades tambi´en en esos mismos
pasos.
Estas conclusiones vienen corroboradas por el incremento que en los
u´ltimos an˜os experimenta el nu´mero de investigadores en historia de las
matem´aticas y en historia de la ciencia y el hecho de que esta disciplina
se comience, lentamente, a implantar en los planes de estudio de diversas
carreras cient´ıficas.
Lasconexionesexistentesentrelosdiversosresultadosobtenidosencualquier
rama de las ciencias muestra siempre un enfoque nuevo en las conclusiones
y evolucio´n de la misma.
El escoc´es J. C. Maxwell escribi´o “Es muy u´til para los estudiantes de
cualquier tema leer art´ıculos originales sobre el mismo; la ciencia se asimila
Introducci´on 9
mejor, m´as completamente, en su etapa de formaci´on”. A partir de esta idea,
hay profesores, entre los que me encuentro, que utilizan el m´etodo gen´etico,
esto es, al exponer una idea nos referimos a su g´enesis y reconstruyen su
formaci´on hist´orica de acuerdo con el grado de madurez intelectual de su
alumnado. En las propias palabras de Siu Man-Keung [95, p. 8]:
La conciencia del aspecto evolutivo de las matem´aticas puede hac-
er a un profesor m´as paciente, menos dogm´atico, m´as humano,
menos pedante. La historia impulsar´a a un profesor a hacerse
m´as reflexivo, m´as impaciente para aprender y dar clases con un
compromiso intelectual.
Pronuncia´ndose en este mismo sentido, George Sarton (1884-1956) dijo
en [133, p. 28]:
El estudio de la historia de matem´aticas no nos har´a mejores
matem´aticos, pero nos har´a m´as apacibles; enriquecer´a nuestras
mentes, suavizar´a nuestros corazones, y recalcar´a nuestras cali-
dades m´as finas.
Por otro lado, Luc´ıa Grugnetti, profesora de la Universidad de Parma,
expone en su art´ıculo The History of Mathematics an its Influence on Peda-
gogical Problems [63, p. 29] lo siguiente:
Los profesores deben permanecer conscientes de la relatividad in-
herente de conocimiento, y del hecho de que, a la larga, proveer
a los estudiantes de una visi´on adecuada de c´omo la ciencia au-
menta el conocimiento es m´as valioso que la mera adquisici´on de
hechos.
Conesteenfoquecabeesperarm´as´exitosenlaensen˜anzadelamatem´atica.
Utilizando la historia se comprueba que los conocimientos se asimilan mejor
10 Aprender matem´aticas a trav´es de su historia
y se ofrece al alumnado una idea de una matem´atica no cerrada. Tradicional-
mente se presentaba como si fuera un conocimiento aislado y autosuficiente,
con la historia se abren caminos para buscar la uni´on de las principales cor-
rientes del pensamiento y de nuestra herencia.
En la actualidad nos encontramos con gran cantidad de alumnos que
muestran rechazo al aprendizaje pasivo en la ensen˜anza. La obligatoriedad
en la ensen˜anza produce que alumnos muy diversos tengan que estar durante
seis horas diarias en un aula, tarea esta que para muchos se hace insoportable
por la falta de actividad y est´ımulo.
Adem´as se une la dificultad que para muchos alumnos supone el apren-
dizaje de la matem´atica, en gran medida por las causas que se han expuesto
anteriormente.
Por otro lado el mundo cient´ıfico est´a asimilando la importancia que tiene
conocer la historia de la ciencia y cada vez son m´as los autores que se mues-
tran favorables al aprendizaje de la misma en las diversas etapas de la edu-
caci´on.
Puntos de vista diferentes
Tras la clausura del X Congreso sobre Ensen˜anza y Aprendizaje de las
Matem´aticas THALES, unos cuantos congresistas nos fuimos a comer juntos
antes de partir hacia nuestros domicilios. Yo tuve la inmensa suerte de poder
compartir mesa con el profesor Urbiratan D’Ambrosio, un ser entran˜able y
que por edad y forma de hablar me recordaba enormemente a esas personas
mayores que siempre hemos sentido cercanos y hemos admirado. Durante la
comida, Urbiratan hizo referencia al hecho de que hoy d´ıa un ordenador ser´ıa
capaz de reproducir, con gran exactitud y perfecci´on, cualquier melod´ıa o
pieza musical. Pero que jam´as el oyente podr´ıa percibir la misma belleza y
sentirlamismaemoci´onquecuandoesaobramusicalest´asiendointerpretada