Approximationstheorie: Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen

210 Pages·1973·7.18 MB·German

by  Dr.phil. Dr.h.c. Dr.E.h. Lothar Collatz

Teubner Studienbücher
Mathematik
Clegg: Variationsrechnung
138 Seiten. DM 12,80
Collatz: Differentialgleichungen
Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Anwendun
gen. 5. Aufl. 226 Seiten. DM 18,80 (LAMM)
Collatz/Krabs: ApproximatIonstheorie
Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen. 208 Seiten.
DM 26,80
Constantinescu: Distributionen und Ihre Anwendungen In der Physik
Grigorieff: Numerlk gewöhnlicher Differentialgleichungen
Band 1: Einschrittverfahren. 202 Seiten. DM 12,80
Band 2: Mehrschrittverfahren
Hainzl: Mathematik für Naturwissenschaftler
311 Seiten. DM 29,- (LAMM)
Hilbert: Grundlagen der Geometrie
11. Aufl. VII, 271 Seiten. DM 16,80
Jaeger/Wenke: Lineare WIrtschaftsalgebra
Eine Einführung
Band 1: XVI, 174 Seiten. DM 16,-(LAMM)
Band 2: IV, 160 Seiten. DM 16,- (LAMM)
Kochendörffer: Determinanten und Matrizen
IV, 148 Seiten. DM 12,80 (Vertrieb nur in der BRD und West-Berlin)
Stiefel: Einführung In die numerische Mathematik
Eine Darstellung unter Betonung des algorithmischen Standpunktes.
4. Aufl. 257 Seiten. DM 18,80 (LAMM)
Stummel/Hainer: Praktische Mathematik
299 Seiten. DM 26,80
Informatik
Hotz: Informatik: Rechenanlagen
Struktur und Entwurf, 136 Seiten. DM 12,80 (LAMM)
KandziaiLangmaack: Informatik: Programmierung
234 Seiten. DM 18,80 (LAMM)
Wi rth: Systematisches Programmieren
Eine Einführung. 160 Seiten. DM 14,80 (LAMM)
Approximationstheorie
Tschebyscheffsche Approximation
mit Anwendungen
Von Dr. phil. Dr. h.c. Dr. E.h. Lothar Collatz
o. Professor an der Universität Hamburg
und Dr. rer. nato Werner Krabs
Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt
1973. Mit 39 Abbildungen, 16 Aufgaben
mit Lösungen und zahlreichen Beispielen
Eß
B. G. Teubner Stuttgart
Prof. Dr. phi!. Lothar Collatz
Studium der Mathematik und Physik in Göttingen, München, BerIin. 1935 Promotion
an der Universität Berlin. 1938 Dozent an der Technischen Hochschule Karlsruhe. 1943
o. Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule Hannover und seit 1952
an der Universität Hamburg. 1956 Dr. h.c. Universität Sao Paulo, 1967 Dr.E.h. Wien.
Prof. Dr. rer. nato Wemer Krabs
Geboren 1934 in Hamburg-Altona. 1954 bis 1959 Studium an der Universität Hamburg,
Abschluß als Diplom-Mathematiker. 1963 Promotion an der Universität Hamburg.
1967/68 Visiting Assistant Professor an der University of Washington in Seattle. 1968
Habilitation. Seit 1970 Wissenschaftlicher Rat und Professor an der Technischen Hoch
schule Aachen. 1971 Visiting Associate Professor an der Michigan State University in
East Lansing. Seit 1972 Professor an der TH Darmstadt.
ISBN 978-3-519-02041-7 ISBN 978-3-322-94885-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94885-4
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Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäß § 54 UrhG eine Vergütung zu
zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1973
Satz: Schmitt u. Köhler, Würzburg
Umschlaggestallung: W. Koch, Stuttgart
Vorwort
In neuerer Zeit sind so viele Lehrbücher über Approximationstheorie erschienen,
daß man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen mag. Die Motivie
rung ergab sich aus der Tatsache, daß sowohl in der Zeitschriftenliteratur über
Approximationstheorie als auch in den meisten Lehrbüchern relativ wenig auf die
Anwendungen eingegangen wird. Es scheint in der heutigen Zeit eine gewisse
Diskrepanz zu bestehen zwischen manchen viel von Mathematikern bearbeiteten
Gebieten und den Gebieten, deren mathematische Untersuchung von seiten der
Anwendungen aus dringend erwünscht wäre. Die in physikalischen und technischen
Fragestellungen auftretenden Approximationsprobleme sind, im Zug der fort
schreitenden Entwicklung, so vielseitig und oft andersartig als in der bisher ge
wöhnlich betrachteten Theorie und dabei zugleich häufig mathematisch sehr
interessant und tiefliegend, so daß sich hier ein außerordentlich reiches Betäti
gungsfeld für die mathematische Forschung ergibt. Sehr oft sind wir von Studen
ten, Diplomanden, Doktoranden nach Themen aus der Approximationstheorie
gefragt worden, die zugleich praktische Bedeutung haben, und da hierüber viel
fach nicht genügend bekannt zu sein scheint, versucht dieses Büchlein, die Lücke
zwischen Theorie und Anwendungen ein wenig aufzufüllen. Da bei den Anwen
dungen von den verschiedenen Approximationsarten die Tschebyscheffsche
Approximation, kurz T. A., die anderen Typen an Bedeutung weit zu übertreffen
scheint, befaßt sich das Buch vorwiegend mit der T. A., und zwar sowohl mit der
Theorie als auch mit den Anwendungen. Der Brücke zwischen bei den dienen auch
verschiedene Übungsaufgaben am Schluß des Buches.
Das erste Kapitel bringt eine Auswahl von Anwendungsproblemen, die auf
Approximationsaufgaben führen, und zwar häufig auf bisher weniger untersuchte
Typen, wie z.B. Simultan-Approximation, einseitige Approximation, Kombi
Approximation u. a. In Kapitel II wird dann eine allgemeine Theorie der T. A.
dargestellt, die sowohl die lineare als auch die nichtlineare T.A. umfaßt und in
dieser Form wohl von vielen anderen Darstellungen abweicht. Kapitel III behandelt
dann wieder ein den Anwendungen näher stehendes Gebiet, die "H-Mengen",
während Kapitel IV bis VI erneut der Theorie dienen, aber stets im Hinblick auf
für die Anwendungen wichtige Fragen. In Kapitel IV werden auch einige Vorschläge
zur numerischen Lösung rationaler und linearer Approximationsprobleme ge
macht. So mag der mehr an der Theorie interessierte Leser etwa die Kapitel II, IV,
V, VI herausgreifen, während die Kapitel I, III, VII (mit Ausnahme der ersten bei
den Abschnitte) mehr für den an den Anwendungen interessierten Leser geschrie
ben sind.
Wir danken den Herren Dr. Esser (Aachen), Dr. Krisch (Hamburg) und Dr.
Lempio (Hamburg) herzlich für ihr außerordentlich sorgfältiges Lesen der Kor
rekturen und Herrn Follmann (Aachen) für seine gewissenhafte Durchsicht des
Manuskriptes.
4 Vorwort
Dem Verlag Teubner danken wir für die sehr gute Ausstattung des Buches, für
das verständnisvolle Entgegenkommen bei allen unseren Wünschen und für die
Geduld bei Verzögerungen.
Sommer 1973 L. Collatz, W. Krabs
Inhalt
I. Auftreten von Approximationsaufgaben
1. Eingabe von Funktionen auf Rechenanlagen 9
2. Diskrete Approximation und Ausgleichsrechnung . . . . . . . . 10
3. Einteilung der Approximationsaufgaben nach der verwendeten Funktionen-
mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Approximationsaufgaben bei Differentialgleichungen. . . . . . 14
5. Einseitige Tschebyscheff-Approximation bei Randwertaufgaben . 17
6. Kombinations-Approximationen (kurz Kombi-Approximationen) 20
A. Segment-Approximation. 20
B. Syn-Approximation. . . 21
C. Simultan-Approximation 21
D. Kombi-Approximation . 22
E. Bedingte Approximation. 22
7. Weitere Beispiele von Randwertaufgaben . 23
A. Telegraphengleichung . . . . . 23
B. Weitere einfache Beispiele. . . 23
C. Wellenfortpfianzung im Plasma. 26
D. Simultan-Approximation 26
8. Andere Gebiete der Analysis . . . 27
A. Integralgleichung. . . . . . . 27
B. Integro-Differentialgleichung mit Differenzkem. 28
C. Konforme Abbildung. . . . . . 29
D. Differenzen-Differentialgleichung. . . . . . . 30
E. Numerische Integration . . . . . . . . . . . 30
9. Lp-Approximation und weitere Approximationsaufgaben . 32
A. Lp-Approximation . . . . . . 32
B. Einseitige LrApproximation. . . . . . . . . . . . 32
C. Gemischte L1-T-Approximation . . . . . . . . . . 33
D. Approximation durch unendlich dimensionale Teilräume . 33
E. Unsymmetrische T-Approximation 34
F. Feldapproximation . . . . . . 36
G. Monoton zerlegbare Operatoren . 36
11. Nichtlineare TschebyschetT-Approximation: Allgemeine Theorie
1. Problemstellung. . . . . . . . . . . . 38
A. Allgemeine Formulierung des Problems 38
B. Spezialfälle . . . . . . . . . . . . 38
C. Problemstellungen . . . . . . . . . 41
2. Untere Schranken für die Minimalabweichung und eine hinreichende Bedingung
nir Minimallösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A. Ein allgemeines Prinzip zur Gewinnung unterer Schranken. . . . . . . . . 42
6 Inhalt
B. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . 44
C. Eine hinreichende Bedingung rur Minimallösungen 50
3. Existenz von Minimallösungen 51
A. Allgemeine Aussagen . . . 51
B. Beispiele. . . . . . . . . 54
4. Notwendige Bedingungen iür Minimallösungen 55
A. Tangentialkegel in normierten Räumen . . 55
B. Anwendung auf das allgemeine T-Problem. 58
C. Der differenzierbare reelle Fall. . . . . . 60
5. Charakterisierung von Minimallösungen . . . 65
A. Die allgemeine und die lokale Kolmogoroff-Bedingung 65
B. Die Vorzeichenbedingung 68
C. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . 70
6. Eindeutigkeit. . . . . . . . . . . . . . . 71
A. Hinreichende Bedingung für Eindeutigkeit . 71
B. SpezialIälle . . . . . . . . . . . . . 76
C. Notwendige Bedingung für Eindeutigkeit . 80
7. Approximation auf einem reellen Intervall . . 84
A. Untere Schranken iür die Minimalabweichung und eine hinreichende Bedin-
gung für Minimallösungen . . . . . . . . . 84
B. Notwendige Bedingungen rur Minimallösungen . 85
C. Eindeutigkeit von Minimallösungen . 88
8. Stetigkeit des T-Operators . . . . . . . . . . . 89
A. Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . 89
B. Starke Eindeutigkeit und Stetigkeit des T-Operators 90
C. Normalität und lokale Stetigkeit des T-Operators 93
D. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
III. H-Mengen
1. H-Mengen, HrMengen, HrMengen. 101
2. Lineare Approximation 103
3. Beispiele von H-Mengen 105
A. T-Systeme. . . . . 105
B. Lineare Funktionen. 106
C. Polynome . . . . . 107
D. Polynome bei zwei unabhängigen Variablen 108
E. Allgemeinere Fälle . . . . . . . . . . . 108
4. Trigonometrische Tschebyscheff-Approximation in zwei Variablen. 109
5. Segment-Approximation (Spline-Approximation) mit Polynomen 111
6. Segment-Approximation mit rationalen Funktionen 112
7. HrMengen und Monotonie ....... . 114
A. Monotonieprinzip . . . . . . . . . . . 114
B. Dreipunktige H 2-Menge auf einer Geraden 114
Inhalt 7
8. Anwendung auf Differentialgleichungen 116
A. Endlicher Bereich. . 116
B. Unendlicher Bereich . . . . . . . 118
IV. Allgemeine rationale und lineare Approximation
1. Das Existenzproblem bei reeller rationaler Approximation 118
A. Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . 118
B. Gewöhnliche rationale Approximation im Reellen . . 121
C. Rationale trigonometrische Approximation . . . . . 122
2. Berechnung der Minimalabweichung und Charakterisierung von Minimallösungen 125
A. Ein Dualitätssatz bei allgemeiner rationaler Approximation 125
B. Charakterisierung von Minimallösungen . . 128
C. Der Spezialfall der linearen Approximation 130
3. Diskrete rationale Approximation . . . . . . 131
A. Dualität. . . . . . . . . . . . . . . . 132
B. Ein Kriterium für die Lösbarkeit des T-Problems . 133
+ +
C. Der Fall m = r s 2 . . . . . . . . . . . 134
D. Der Fall der linearen Approximation . . . . . . 137
4. Ein Verfahren zur Lösung des diskreten rationalen Approximationsproblems 139
A. Theoretische Grundlagen des Verfahrens. . . . . . . . . . . . . . 139
B. Durchführung des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5. Ein Verfahren zur Lösung des diskreten linearen Approximationsproblems 147
A. Grundlagen des Verfahrens . . . . . . . 147
B. Theoretische Beschreibung des Verfahrens. 148
C. Konvergenz . . . . . . . . . . . . . 150
D. Praktische Durchführung des Verfahrens 152
V. Nichtlineare Exponentialapproximation
1. Existenz von Minimallösungen . 154
A. Problemstellung . . . . . . . . . 154
B. Ein allgemeiner Existenzsatz . . . . 155
C. Anwendung auf die Exponentialapproximation . 159
2. Zur Charakterisierung und Eindeutigkeit von Minimallösungen 161
A. Notwendige und hinreichende Bedingungen für Minimallösungen . 162
B. Zur Eindeutigkeit von Minimallösungen . . . . . . . . . . . . 163
VI. Weitere Fragestellungen
1. Die Sätze von Stone und Weierstraß . 165
A. Problemstellung . . . . . . . . 165
B. Der Satz von Stone. . . . . . . 166
C. Anwendung des Satzes von Stone. 169
2. Rationale Approximation und Eigenwertaufgaben . 171
A. Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B. Eigenwertaufgaben bei allgemeiner rationaler Approximation. 171
C. Gewöhnliche rationale Approximation . . . . . . . . . . 176
8 Inhalt
Vll. Anhang
1. Metrische und normierte Räume 178
2. Einige Eigenschaften konvexer Mengen in linearen Vektorräumen 185
3. Vergleich zwischen Lz-und T-Approximation . 188
4. Einige weitere Beispiele für T-Systeme 190
5. Aufgaben mit Lösungen 191
6. Weitere Aufgaben. 197
Literaturverzeichnis • 199
Namen-und Sachverzeichnis . 204
I. Auftreten von Approximationsaufgaben
Wird das Wort Approximation genügend weit gefaßt, so können große Teile der
Numerischen Mathematik darunter subsumiert werden. In diesem Buch soll
der Begriff Approximation jedoch viel enger gefaßt und nur ein spezieller Auf
gabenkreis herausgegriffen werden. Es wird sich meist darum handeln, Funktionen
von einer oder mehreren unabhängigen Veränderlichen durch andere Funktionen
anzunähern. Bevor diese Aufgabe genauer präzisiert wird, seien einige wichtige
Probleme der numerischen Analysis genannt, welche auf Approximationsauf
gaben der hier betrachteten Art führen.
1. Eingabe von Funktionen auf Rechenanlagen
Da die Eingabe genauerer Zahlentabellen in Computern (Rechenanlagen) zu viel
Speicherplatz beanspruchen würde, berechnet der Computer benötigte Tafelwerte,
selbst bei einfachen Funktionen wie sin x, eS, ... , stets selbst.
Man kann z. B. die Funktion
f(x) = eS (1.1)
im Intervall [0,1] durch ein Polynom p-ten Grades
t
w(x) = ajxj (1.2)
j~O
so anzunähern versuchen, daß der Fehler
e(x) = w(x) - f(x) (1.3)
im betrachteten Intervall eine vorgeschriebene Genauigkeitsschranke nicht über
schreitet, z. B.
1
le(x)I::;;I·10-s (1.4)
Gelingt es, die Konstanten ao, ... , a so zu bestimmen,
p
daß die Forderung (1.4) erfüllt ist, so kann man im
Computer diese Koeffizienten speichern und unter
Benutzung des Polynoms (1.2) den Wert von eX für
jedes x E [0,1] mit achtstelliger Genauigkeit berechnen,
Abb. 1.1.1.
JI
Es zeigt sich nun, daß man in vielen Fällen, so auch
im vorliegenden, durch Verwendung von rationalen
Funktionen
J(
(1.5) Abb.I.1.1
Polynom-Approximation w (x)
für eine Funktion/(x) (hier w(x)
als Polynom 3. Grades)