Approximations polynomiales de densités de probabilité et applications en assurance

173 Pages·2015·3.06 MB·French

Institut de Mathématiques de Marseille
Institut des Sciences Financières et d’Assurance
ED 184: Ecole doctorale en Mathématiques et Informatique
de Marseille
Approximations polynomiales de
densités de probabilité et applications
en assurance
THESE DE DOCTORAT
présentéepar
Pierre-Olivier Goffard
pourobtenirlegradede
Docteur de l’université d’Aix-Marseille
Discipline:Mathématiquesappliquées
Soutenuele29/06/2015devantlejury:
ClaudeLefèvre Professeuràl’universitélibredeBruxelles Rapporteur
ParticeBertail Professeuràl’universitéParisX Rapporteur
DominiqueHenriet Professeuràl’écoleCentraleMarseille Examinateur
XavierGuerrault ActuairechezAxaFrance Responsableentreprise
DenysPommeret Professeuràl’universitéd’Aix-Marseille Directeurdethèse
StéphaneLoisel Professeuràl’universitédeLyon1 Co-directeurdethèse
Table des matières
Remerciements 1
Introduction 1
1 Lesdistributionscomposéesetlathéoriedelaruine 7
1.1 Lesdistributionscomposéesendimension1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Lesdistributionscomposéesendimensionn . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Théorie de la ruine : L’approximation de la probabilité de ruine ultime
danslemodèlederuinedePoissoncomposée . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Approximation de la densité de probabilité via une représentation polyno-
miale 39
2.1 Les familles exponentielles naturelles quadratiques et leurs polynômes
orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Représentationpolynomialedeladensitéendimension1 . . . . . . . . . . 41
2.3 Représentationpolynomialedeladensitéendimensionn . . . . . . . . . . 50
2.4 Illustrationsnumériques:ApplicationàladistributionPoissoncomposée 59
2.5 Perspectivesenstatistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 A polynomial expansion to approximate ruin probability in the compound
Poissonruinmodel 93
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2 Polynomialexpansionsofaprobabilitydensityfunction . . . . . . . . . . . 97
3.3 Applicationtotheruinproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Numericalillustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Polynomial approximations for bivariate aggregate claims amount probabi-
litydistributions 115
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2 Expressionofthejointdensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Applicationtoabivariateaggregateclaimsamountdistribution . . . . . . 121
4.4 DowntonBivariateExponentialdistributionandLancasterprobabilities . 125
4.5 Numericalillustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
i
TABLEDESMATIÈRES
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5 Isitoptimaltogrouppolicyholdersbyage,gender,andseniorityforBELcom-
putationsbasedonmodelpoints? 139
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.2 Cashflowsprojectionmodelsandbestestimateliabilitiesassessment . . . 141
5.3 Presentationoftheaggregationprocedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4 Illustrationonareallifeinsuranceportfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.6 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Conclusion 157
Résumé 159
Abstract 161
ii
Liste des figures
1.1 Évolution des processus de richesse et d’excédent de sinistres au cours
dutemps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Erreurrelativedel’approximationpolynomiale,avecdifférentesparamé-
trisations,deladensitédeprobabilitéd’unedistribution[P(4),Γ(1,2)]. . . 63
2.2 Erreurrelativedel’approximationpolynomiale,avecdifférentesparamé-
trisations,delaFonctionDeSurvie(f.d.s.)d’unedistribution[P(4),Γ(1,2)]. 63
2.3 Erreurrelativedel’approximationpolynomialedelaf.d.s.d’unedistribu-
tion[P(4),Γ(1,1/2)]avecdifférentesméthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4 Approximation polynomiale de la densité défaillante, de la f.d.s., de la
FonctionDeRépartition(f.d.r.)etdelaprimestop-lossusuellepourune
distribution[P(4),Γ(1,2)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5 Erreurrelativedel’approximationpolynomiale,avecdifférentesparamé-
trisations,deladensitédeprobabilitéd’unedistribution[P(2),Γ(3,1)]. . . 70
2.6 Erreurrelativedel’approximationpolynomiale,avecdifférentesparamé-
trisations,delaf.d.s.d’unedistribution[P(2),Γ(3,1)]. . . . . . . . . . . . . 70
2.7 Erreurrelativedel’approximationpolynomialedelaf.d.s.d’unedistribu-
tion[P(2),Γ(3,1)]suivantdifférentesméthodesnumériques. . . . . . . . . 72
2.8 Approximation polynomiale de la densité défaillante, de la f.d.s., de la
f.d.r.etdelaprimestop-lossusuellepourunedistribution[P(2),Γ(3,1)]. . 74
2.9 Erreurrelativedel’approximationpolynomiale,avecdifférentesparamé-
trisations,delaf.d.s.d’unedistribution[P(3),U(0,10)]parrapportàmé-
thoded’inversionnumériquedelatransforméedeFourier. . . . . . . . . . 76
2.10 Erreur relative, en %, sur la f.d.s. d’une distribution [P(2),U(0,10)] sui-
vantlaméthodenumériqueutilisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.11 Approximation polynomiale de la densité défaillante, de la f.d.s., de la
f.d.r.etdelaprimestop-lossusuellepourunedistribution[P(3),U(0,10)]. 79
3.1 Differencebetweenexactandpolynomialapproximationsofruinproba-
bilitiesforΓ(2,1)-distributedclaimsizesusingdifferentparametrizations
andanorderoftruncationK=40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 DifferencebetweenexactandapproximatedruinprobabilitiesforΓ(2,1)-
distributedclaimsizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3 DifferencebetweenexactandapproximatedruinprobabilitiesforΓ(3,1)-
distributedclaimsizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4 RelativeerrorandruinprobabilitiesforU(0,100)-distributedclaimsizes . 111
iii
LISTEDESFIGURES
4.1 Error map for the joint PDF of a DBVE(1/2,2,1/4) distribution approxi-
matedbypolynomialexpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2 Error map for the joint PDF of a DBVE(1/2,2,1/4) distribution approxi-
matedbythemoment-recoveredmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3 Error map for the joint survival function of a MOBVE(1/2,2,1) distribu-
tionapproximatedbypolynomialexpansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4 Error map for the joint survival function of a MOBVE(1/2,2,1) distribu-
tionapproximatedbythemomentrecoveredmethod. . . . . . . . . . . . . 131
4.5 Discrete error map for the joint survival function of compound NEG−
BIN(1,3/4)DBVE(1,1,1/4)distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6 Joint survival function of compound NEG−BIN(1,3/4) DBVE(1,1,1/4)
distributionwithanorderoftruncationequalto10 . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7 Error map for the joint survival function of (S ,S ) obtained by polyno-
1 2
mialexpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.8 Jointdensityandsurvivalfunctionoftheaggregateclaimsinthetwoin-
suranceportfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.9 Survivalfunctionofthereinsurancecostobtainedbypolynomialexpan-
sion (blue) and Monte-Carlo simulations (red); Difference between the
survivalfunctionobtainedwithMonteCarloandtheoneobtainedbypo-
lynomialexpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1 Lapseratecurvedependingontheseniorityofcontractsinasavingcontract
portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Error on the BEL evaluation depending on the number of model points
andtheaggregationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 WWCIevolutiondependingonthenumberofclusters . . . . . . . . . . . . 151
5.4 Partitionning quality indicators variations depending on the number of
clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.5 Portfoliovisualizationthroughitstrajectoriesofsurrender . . . . . . . . . 152
5.6 Expectedpresentvalueofsurrenderduringtheprojection. . . . . . . . . . 153
iv
Liste des tableaux
2.1 Approximations de la f.d.s. d’une loi (P(4),Γ(1,4)) par la méthode d’ap-
proximationpolynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2 Erreur relative (%) sur la f.d.s. d’une loi (P(4),Γ(1,2)) associée à la mé-
thoded’approximationpolynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Approximationsdelaf.d.s.d’uneloi(P(4),Γ(1,2)) . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4 Erreurrelative(%)surlaf.d.s.d’uneloi(P(4),Γ(1,2)) . . . . . . . . . . . . . 67
2.5 Calculdelaprimestop-losspouruneloi(P(4),Γ(1,1/2)) . . . . . . . . . . . 68
2.6 Approximationspolynomialesdelaf.d.s.d’uneloi(P(2),Γ(3,1)) . . . . . . 71
2.7 Erreur relative (%) sur la f.d.s. d’une loi (P(2),Γ(3,1)) associée à la mé-
thoded’approximationpolynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.8 Approximationsdelaf.d.s.d’uneloi(P(2),Γ(3,1))viadifférentesméthodes 73
2.9 Erreurrelative(%)liéeàl’approximationdelaf.d.s.d’uneloi(P(2),Γ(3,1)) 73
2.10 Calculdelaprimestop-losspouruneloi(P(2),Γ(3,1)) . . . . . . . . . . . . 73
2.11 Approximationspolynomialesdelaf.d.s.d’uneloi(P(4),U(0,10)) . . . . . 76
2.12 Erreurrelative(%)surlaf.d.s.d’uneloi(P(4),U(0,10))associéeàlamé-
thoded’approximationpolynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.13 Approximationsdelaf.d.s.d’uneloi(P(4),U(0,10)) . . . . . . . . . . . . . 77
2.14 Erreurrelative(%)surlaf.d.s.d’uneloi(P(4),U(0,10)) . . . . . . . . . . . 78
2.15 Calculdelaprimestop-losspouruneloi(P(4),U(0,10)) . . . . . . . . . . . 80
3.1 Probabilities of ultimate ruin approximated via the Fourier series me-
thod,thepolynomialexpansionandthescaledLaplacetransforminver-
sionwhentheclaimamountsareΓ(2,1)-distributed. . . . . . . . . . . . . . 109
3.2 Probabilities of ultimate ruin approximated via the Fourier series me-
thod,thepolynomialexpansionandthescaledLaplacetransforminver-
sionwhentheclaimamountsareΓ(3,1)-distributed. . . . . . . . . . . . . . 109
3.3 Probabilities of ultimate ruin approximated via the Fourier series me-
thod,thepolynomialexpansionandthescaledLaplacetransforminver-
sionwhentheclaimamountsareU[0,100]-distributed. . . . . . . . . . . . 111
4.1 Survivalfunctionofthereinsurancecostobtainedbypolynomialexpan-
sionandMonte-Carlosimultions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1 Numberofpoliciesandamountoftheinitialsurrendervalueoftheport-
folio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2 StatisticaldescriptionofthevariableAGEintheportfolio . . . . . . . . . . 148
5.3 StatisticaldescriptionofthevariableSENIORITYintheportfolio . . . . . . 148
v
LISTEDESTABLEAUX
5.4 NumberofMPandbestestimateliabilityoftheaggregatedportfolio . . . 149
5.5 Bestestimateliabilitieserrorwith28modelpointsdependingontheag-
gregationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6 Best estimate liabilities error with 3 model points depending on the ag-
gregationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1
LISTEDESTABLEAUX
2
Remerciements
« ATataAnnette. »
JetiensàremercierClaudeLefevreetPatriceBertailpouravoiracceptéderappor-
ter cette thèse. Je remercie Dominique Henriet pour avoir accepté de faire partie du
jury.J’ensuistrèshonoré.
Je remercie bien entendu mes deux directeurs de thèse, Denys Pommeret et Sté-
phaneLoisel.Sansvouscetravailn’auraitjamaisexisté.Mercipourletempsquevous
avez pu me consacrer, les conseils toujours pertinents que vous m’avez prodigués et
le goût de la recherche que vous avez su m’insuffler. Je garderai en mémoire les bons
momentspassésenmargedesconférencesouencorelesaprès-mididetravailàl’ISFA
postrestaurant,toujourstrèsfructueuses...
J’adresse un grand merci à Xavier Guerrault, mon "responsable-entreprise" chez
AXA,quiasusemontrertrèspatientavecmoi.Jesaisquejepeuxparfoisêredifficileà
manager.J’aibeaucoupappréciétravailleravectoi,etjesuistrèstristeàl’idéequeça
s’arrête. Tu m’as fait confiance jusqu’au bout et je sais que sans toi cette thèse CIFRE
n’auraitjamaisvulejour.Tuesunexempleàsuivreprofessionnellement,peut-êtreas-
turaisonunpeutropsouventcequiestunpeuénervant!J’enprofitepourremercier
Mohammed Baccouche, pour le soutien qu’il a apporté au projet Model Point, et Isa-
belleJubelinenchargedelagestiondufondsAXApourlarecherchequim’apermisde
terminercettethèsedanslesmeilleuresconditions.
J’aiunepenséepourmesparentsetmafamille,quim’onttoujourssoutenu,etsup-
portémalgrémessautsd’humeuretmesphasesde"débranchage"lorsdemesretours
àLorient.Jeremerciemesparentsd’avoirfaitlemaximumpourquemasoutenancese
dérouledanslesmeilleursconditions,jenesaispascommentj’auraisfaitsansvous.Je
remercieLouis-Marie,Nathalie,Corentin,etAmélied’avoirfaitledéplacementjusque
dans cette sulfureuse cité phocéenne, mes deux grands-parents dont la présence est
toujoursréconfortante,enfinmesdeuxfranginsSimonetVincentquiontprisleurpart
deresponsabilitédansl’organisationdecettemerveilleusesoiréedesoutenance!
Jeremercietouslesgensquej’aieulachancederencontrerauseind’AXA.J’aipassé
detrèsbonsmomentsavecvouspendantlespausescafé,lesrepasdemidi,maisaussi
les foots en salle, les barbeucs, les plages, les restos avec piscine et les soirées en tout
1
REMERCIEMENTS
genre!MerciàJennifer,Julie,Céline,Modou,AminetDaviddel’équipeépargneindi-
viduelle.Merci à Patricio, Tom et JP de la retraite collective. Merci à Vince, Badr, Ma-
thieu, Marilyne, Marion, Pierre-Etienne et Emmanuele dans l’équipe prévoyance in-
dividuelle. Merci à Anais, Loic, Sophie, Maud V, Maud M, Olive, Christine, et Thérèse
del’équipedescomptesIARD.MerciàErwanquiauraitvraimenttoutesaplacedans
cette équipe IARD. Merci à Alban, Fida, John, Laure, Anwar, Hugo, Leslie, Delphine,
Corinne,etCarelledansl’équipeRMMV.MerciàRaphetàBénédictedelaformation,
ainsiqu’auPoppyChapdesRessourcesHumaines.Desremerciementsspéciauxvontà
VikenpourtouslesBBQquetuasorganisés,tabonnehumeur,lesdiscussionstoujours
passionantesetconflictuelles(lesfameux"débats-minute"desrepasdemidi),etl’ani-
mation générale que tu parviens à générer à AXA Marseille. Je remercie spécialement
RomainSilvestricartum’ashébergélorsdessemainesd’examàLyon,etincrustéaux
soiréesdefind’exam,Goodtimes!
Je veux remercier toutes les personnes rencontrées au laboratoire de mathéma-
tiquesàLuminy,mêmesimonintégrationaétédifficilecarjenefaispasdes"vraies"
maths. Je garde énormément de très bons souvenirs des foots à Luminy, des sémi-
bières, de la rando dans les calanques, des soirées au barberousse, des soirées chez
Joël, des soirées Tonneaux-Bagel, des nombreuses parties de belotte contrée, et bien
sûrl’organisationdecetimmenseévènementqu’estlePiDay!Merciàmesamisthé-
sardsEmilie,J-BouJeanBa,Kimo,MarcM,MarcB,Eugenia,Fabio,Jordi,Fra,Matteo,
Lionel,PaoloI,PaoloII,Marcello,Florent,Guillaume,etSarahl’americaine.Merciaux
membres de la team stat de l’I2M Mohamed, Badhi et Laurence. Merci à Jean-Bruno,
l’applegeniusdulabo,toujourslaencasdesoucisinformatique!J’adressedesremer-
ciementsspéciauxàJoëlCohenquiaprisletempsdereliremathèsepourtraquerles
typos!Lesdiscussionsquel’onapuavoironttoujoursétérichesenenseignement,et
montrentqu’unecollaborationentreunmatheuxappliquéetunmatheuxfondamen-
talestpossible(mêmesidanslecasprésentcelan’amarchéquedansunsens,cen’est
pas comme si je pouvais aider à résoudre des problèmes dans les groupes p-adiques
tordus...)! J’adresse aussi un gigantesque merci à Anna Iezzi pour toute la bonne hu-
meur, et le dynamisme qui la caractérisent. Tu es la Chief Happiness Officer du labo.
Laviesanstoiyseraitbienterne.Jeteremerciecartut’esoccupéedemoilorsdemes
week-endspasseràLuminy(surtoutenfinderédaction).Tum’assoutenumoralement
etnutritivementàbasedepâtesaumomentoùj’enavaisleplusbesoin.Tubénéficies
d’uneinfinitédeJokers.
JeremerciemesamisdeLorient,Romain,Jerem,Jo,Raph,etGwennbienentendu.
Vous avez toujours su répondre présent lors de mes retours en Bretagne pour aller se
pinterunbrundanslesbars,etlesboîtesdeLorient,chilleràlaplage,ausonisphereet
àNantes(epicnightsout).J’enviensnaturellementàremerciermesamisdulycée,Ju-
lien,Awen,Lucas,Romain,Carole,Tonton,Greg,Julie,Mathieu,Solène,Laura,Manon,
Sarah,Lucile,Camille,Maena,etMarjo.C’estvraiqu’ildevientdeplusenplusdifficile
deseréuniretqu’ilfautattendredesévènementscommelenouvelan,lesEVGetles
mariages.J’espèreque"lesvacsentrepotesquidepotentetAhqueçavaêtrelagrosse
teuf"deviendrontunetraditionquiperdurera!
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