Approximation und Nichtlineare Optimierung in Praxisaufgaben. Anwendungen aus dem Finanzbereich und der Standortplanung

237 Pages·2017·2.458 MB·German

by  Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Christiane Tammer

(cid:2) (cid:2)
Alfred Göpfert Thomas Riedrich
Christiane Tammer
Approximation und
Nichtlineare Optimierung
in Praxisaufgaben
Anwendungen aus dem Finanzbereich
und der Standortplanung
AlfredGöpfert ChristianeTammer
InstitutfürMathematik InstitutfürMathematik
Martin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg Martin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg
Halle,Deutschland Halle,Deutschland
ThomasRiedrich
InstitutfürAnalysis
TechnischeUniversitätDresden
Dresden,Deutschland
StudienbücherWirtschaftsmathematik
ISBN978-3-658-14760-0 ISBN978-3-658-14761-7(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-14761-7
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 GrundsätzlicheszuApproximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 AufgabenzuProjektionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 AufgabenzuProjektionenbeiderBild-undSignalverarbeitung . 14
2.2.3 AufgabenzuverallgemeinertenFourier-Entwicklungen . . . . . . 17
2.2.4 Gram’scheMatrixundApproximationsaufgaben. . . . . . . . . . . 19
2.2.5 AufgabenzurOptimalenSteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 NichtlineareOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 GrundsätzlicheszurNichtlinearenOptimierung. . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 AbbildungenundFunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 AlgebraischeundtopologischeEigenschaftenvonFunktionalen . 31
3.1.3 SatzvonHahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.4 Fenchel-Konjugierte, Subdifferentiale und Lagrange-Technik
derKonvexenAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.5 Limiting,Mordukhovich-Subdifferential. . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.6 UnterhalbstetigkeitundInfimumannahme . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.7 AufgabenzurOptimierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Skalarisierungsfunktionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 NichtlineareSkalarisierungsfunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 AufgabenzuSkalarisierungsfunktionalen . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 CharakterisierungssatzderkonvexenOptimierung . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 DualitätsaussagenundökonomischeInterpretationen . . . . . . . . . . . . 62
3.4.1 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.2 AufgabenzurAnwendungderDualitätinderlinearenOptimierung 64
3.5 VariationsprinzipvonEkelandundMaximalpunkttheoreme . . . . . . . . 67
3.5.1 DasVariationsprinzipvonEkeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.2 AufgabenzurAnwendungdesVariationsprinzips . . . . . . . . . . 69
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
3.6 Equilibriumprobleme,VariationsungleichungenundVerallgemeinerungen 78
3.6.1 VomGleichgewichtsproblemzurVariationsungleichung . . . . . . 78
3.6.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 DasMaximumprinzipinderOptimalenSteuerung . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.1 EinProblemderOptimalenSteuerungbeimAbbau
nichterneuerbarerRessourcen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.2 DasMaximumprinzipalsnotwendigeOptimalitätsbedingung. . . 91
3.7.3 AufgabenausderKontrolltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 Risiko,Robustheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.1 Akzeptanzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.2 KohärenteRisikomaße. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.3 AufgabenzurRisikotheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Robustheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1 StrikteRobustheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.2 Abweichungs-Robustheit(DeviationRobustness) . . . . . . . . . . 102
4.2.3 VerlässlicheRobustheit(ReliableRobustness) . . . . . . . . . . . . 102
4.2.4 AufgabenzurOptimierungunterUnsicherheiten. . . . . . . . . . . 103
5 Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 GrundsätzlicheszurPortfolio-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 DasMarkowitz-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2 Private-Equity-Fonds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 AufgabenzurPortfolio-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1 AufgabenzurEffizienzundVektorminimalität . . . . . . . . . . . . 110
5.2.2 AufgabenzuKegelnundPräferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.3 AufgabenzurSkalarisierungundLinearisierung
inderVektoroptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Standort-undApproximationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 GrundsätzlicheszurStandortoptimierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.1 PlanareStandortprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1.2 RichtungsminimaleZeitfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.3 VerallgemeinerungendesFermat-Weber-Problems . . . . . . . . . 127
6.2 AufgabenzuStandortproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3 NäherungslösungenvonApproximationsproblemen . . . . . . . . . . . . . 144
6.4 AufgabenzurApproximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Versicherungsmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1 GrundsätzlicheszurVersicherungsmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1.1 Marginalsummengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Inhaltsverzeichnis IX
7.1.2 StochastischeDominanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.2 AufgabenzuMarginalsummengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3 AufgabenzurStochastischenDominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4 WeitereAufgabenausderpraktischenVersicherungsmathematik . . . . . 163
8 EinführungindieFourier-Transformation,einBlickaufdieSignaltheorie 167
8.1 ÜberSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2 DistributionenundFourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2.1 S.Rn/;S0.Rn/alstopologischeVektorräume.DerSignalbegriff . 168
8.2.2 DasRechnenmittemperiertenDistributionen . . . . . . . . . . . . 170
8.2.3 BeispielefürtemperierteDistributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2.4 AufgabenzuS.Rn/undS0.Rn/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2.5 EinImpulskamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.6 DieFourier-TransformationinS.Rn/undS0.Rn/ . . . . . . . . . . 177
8.2.7 AufgabenzurFourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.3 DieDistributionenaufdemRaumDderfinitenFunktionen . . . . . . . . 184
8.3.1 DerRaumderfinitenFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.2 AufgabenzuTestfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.3 DistributionenüberD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.3.4 AufgabenzuDistributionenüberdenRäumenDundS . . . . . . 186
8.4 UnendlicheReihenvontemperiertenDistributionen . . . . . . . . . . . . . 187
8.4.1 AufgabenzuunendlichenReihenvontemperiertenDistributionen 187
8.4.2 DiePoisson’scheSummenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.4.3 AufgabenzurPoisson’schenSummenformel . . . . . . . . . . . . . 188
8.4.4 PeriodischetemperierteDistributionen
undihreFourier-Transformierten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.4.5 AufgabenzuperiodischentemperiertenDistributionen . . . . . . . 192
8.4.6 AufgabenzurFourier-TransformationdesImpulskamms. . . . . . 195
8.4.7 Fourier-TransformationundFaltungsoperation . . . . . . . . . . . . 196
8.4.8 AufgabenzurFaltungtemperierterDistributionen . . . . . . . . . . 196
8.4.9 GrundlösungenlinearerpartiellerDifferentialgleichungen . . . . . 197
8.4.10 AufgabenzuGrundlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.4.11 DiskussionzurDigital-Analog-WandlungvonSignalen . . . . . . 200
8.4.12 AbtastungmitrealenImpulsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4.13 AufgabezumEffizienzmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9 NormierteRäumeinderOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.1 Cauchy-FolgenundVollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.1.1 DerVollständigkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.1.2 AufgabenzuCauchy-FolgenundNormänderungen . . . . . . . . . 206
9.2 AufgabenzuStützfunktionenundOrbiformen . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.3 MonotoneAbbildungenundMinty-Variationsungleichungen . . . . . . . 213
X Inhaltsverzeichnis
9.3.1 DerMinty-Trick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.3.2 AufgabenzumonotonenAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.4 Generizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.4.1 F -undG -Mengen.Wasistgenerisch? . . . . . . . . . . . . . . . . 217
(cid:2) ı
9.4.2 AufgabeninVerbindungmitgenerischenAussagen . . . . . . . . . 218
9.5 OptimalitätsbedingungenzweiterOrdnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.5.1 KoerzitivitätundHesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.5.2 AufgabezurKoerzitivitätundZwei-Normen-Diskrepanz . . . . . 221
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Symbolverzeichnis
R MengederreellenZahlen
P MengederrationalenZahlen
Z MengederganzenZahlen
Rn n-dimensionalerRaum
x 2Rn geordnetes n-Tupel reeller Zahlen, Schreibweise
alsZeileoderSpalte
xT Transposition kennzeichnet für x 2 Rn den
WechselinderSchreibweise
R RWDR[f(cid:2)1g[fC1g
R MengedernichtnegativenreellenZahlen
C
C MengederkomplexenZahlen
N,N(cid:3) Menge der nichtnegativenganzen Zahlen,N(cid:3) D
Nnf0g
ı Kronecker-Symbol
ik
.I (cid:4)J/-Matrix FormateinerMatrix
X;Y;Z;::: lineareRäumeodertopologischelineareRäume
X (cid:4)Y Produktraum
.X;d/ metrischerRaummitderMetrikd
jj(cid:5)jj,jj(cid:5)jj NorminX,NorminX(cid:3)
(cid:3)
.X;k(cid:5)k/ normierterRaummitderNormk(cid:5)k
h(cid:5)j(cid:5)i Skalarprodukt im (Prä-)Hilbert-Raum; im Rn
auchxTy .x;y Spalten-Vektoren)
C.T/ Raum der stetigen Funktionen über einer Menge
T
x(cid:3).x/ lineares stetiges Funktional x(cid:3) an der Stelle x 2
X
C (cid:6)Y KegelinY
y1 2y2CC ”y1 2fy2gCC
CC,C(cid:2) WD(cid:2)CC positiverbzw.negativerDualkegelzuC
C# Quasi-InneresdesDualkegelsCC
XI
XII Symbolverzeichnis
R durchC induzierteRelation
C
BV ,B offene und abgeschlossene Einheitskugel in ei-
X X
nemnormiertenVektorraumX
B.k0;"/ abgeschlosseneKugelmitMittelpunktk0undRa-
dius"
FWX (cid:2)Y mengen-wertigeAbbildung
fWX !Y einwertigeAbbildung,Funktion
lev .v/ Niveaumengezuf mitdemNiveauv
f
f.S/ f.S/WD[ f.x/D[ ff.x/g
x2S x2S
' ' .y/WDinfft 2Rjy 2tk0(cid:2)Ag(y 2Y)
A;k0 A;k0
Imf Dff.x/jx 2Xg WertebereichderFunktionf WX !Y
domf Definitionsgebiet der einwertigen Abbildung
fWX !Y
domF Definitionsgebiet der mengen-wertigen Abbil-
dungF WX (cid:2)Y
f(cid:2)1.B/Dfx 2X jf.x/2Bg UrbildderMengeB (cid:6)Y bezüglichderFunktion
f WX !Y
F(cid:2)1.B/WDfx 2X jF.x/\B ¤;g UrbildderAbbildungF bezüglichB (cid:6)F
.r;s/,.r;s(cid:3),Œr;s/,Œr;s(cid:3) Intervalle,bestimmtdurchr;s 2R,r (cid:7)s
epif Epigraphvonf WX !R
@f.x/ Subdifferential der konvexen Funktion f an der
Stellex
@ f.x/ Limiting, Mordukhovich-Subdifferential von f
M
anderStellex
F,F, L Fourier-Transformationen
intA,r-intA InneresundRelativ-InneresderMengeA
clA AbschlussderMengeA
bdA RandderMengeA
coneA,coneA Kegelhülle und abgeschlossene Kegelhülle der
MengeA
convA,convA konvexe und abgeschlossene konvexe Hülle der
MengeA
coreA Algebraisch-Inneres(oderKern)derMengeA
A RezessionskegeldernichtleerenMengeA
1
N.x IS/ NormalenkegelbezüglichderkonvexenMengeS
0
anx
0
NO.xI˝/ Fréchet-Normalenkegelbezüglich˝ anx 2˝
N .xI˝/ (Limiting, Mordukhovich-) Normalenkegel be-
M
züglich˝ anx 2˝
P.Y/ PotenzmengevonY
P metrischeProjektion(aufdieMengeC)
C
f(cid:3) Konjugiertevonf
Symbolverzeichnis XIII
(cid:2) StützfunktionderMengeA
A
(cid:4) IndikatorfunktionderMengeA
A
d.x;S/,d .x/ AbstandsfunktionvonxzuS
S
.x /,fx g(x 2X,n2N) FolgeninX
n n n
G Gram’scheMatrixderVektoreny (i D1;:::;n)
i
S.R/ Grundraum der rasch fallenden Funktionen über
R
S.Rn/ Grundraum der rasch fallenden Funktionen über
Rn
D.R/ GrundraumderfinitenFunktionenüberR
D.Rn/ GrundraumderfinitenFunktionenüberRn
S0.R/,S0.Rn/ RaumdertemperiertenDistributionenaufRbzw.
Rn
D0.R/,D0.Rn/ Raumder Distributionen aufdem Raumderfini-
tenFunktionenüberRbzw.Rn
˛ D.˛ ;:::;˛ / Multiindex
1 N
j˛jD˛ C(cid:5)(cid:5)(cid:5)C˛ BetragdesMultiindex˛
1 N
x˛ D(cid:5)˛1 (cid:5):::(cid:5)(cid:5)˛n PotenzproduktzumMultiindex˛
1 n
@˛k WD @˛k partielleAbleitungzumMultiindex˛
k @(cid:5)˛k
Pk
P.@/WD M a @˛ linearer partieller Differentialoperator mit kon-
P j˛jD0 ˛
D 0(cid:7)j˛j(cid:7)M a˛@˛11:::@˛nn stantenKoeffizienten
.f;'/ Wert der temperierten Distribution f für die
Grundfunktion'
F,F(cid:2)1,F(cid:3) Fouriertransformation bzw. inverse Fouriertrans-
formationbzw.adjungierteFouriertransformation
aufS
F,F(cid:2)1,F(cid:3) Fouriertransformation bzw. inverse Fouriertrans-
formationbzw.adjungierteFouriertransformation
aufS0
.'(cid:3) / FaltungsproduktderGrundfunktionen' und
..f (cid:3)'/; /WD.f;'(cid:3)(cid:3) / Faltungsprodukt der temperierten Distributionen
f mitderGrundfunktion'
.f (cid:3)g/ FaltungdertemperiertenDistributionenf undg
.ı ;'/WD'.a/ diezum Punkt a 2 Rn (n D 1;:::) verschobene
a
Delta-Distribution
Einführung 1
Viele Aufgabenstellungen in unserem täglichen Leben, in der Wirtschaft, in den Natur-
und Ingenieurwissenschaften bis hin zur Signalübertragung und dem optimalen Signal-
empfang,fordernbestmöglicheLösungen,daswirddurchWortewiemaximal,minimal,
optimal, stationär, im Gleichgewicht befindlich, aber auch stabil oder robust gegenüber
Störungen oder Unsicherheiten oder durch Bewertungen und Approximationen ausge-
drückt.AusmathematischerSichtheißtdas,manwirdaufApproximations-undaufOp-
timierungsaufgaben (oft in Funktionenräumen) geführt, wobei das auch Probleme mit
vektor-wertigenodermengen-wertigenZielfunktionen(vgl.[63])seinkönnen.Historisch
gesehenfindetmanOptimierungsaufgabeninsehrfrüherZeit,vgl.[104].
Zum Charakter des Buches: Wir wollen die Vielgestaltigkeit von Optimierung und
Approximationzusammen mit ihrem breiten Umfeld zum Ausdruckbringen,indem wir
AufgabenmitmodernenAnwendungsbezügensamtihrenLösungenodermitausreichend
Hinweisen undinterpretierendenAussagen zwanglosaneinanderreihen.Damiterreichen
wir eine große Breite bei kurzer Zugriffszeit und es kann den in Vorlesungen oft ge-
machten Nebenbemerkungen Raum gegeben werden. Fachlich steht dabei im Vorder-
grund, Methoden vor allem der Angewandten Analysis zu nutzen, um die Struktur und
Eigenschaften der Probleme zu erkennen und handhabbare Optimalitätbedingungen in
Form von Variationsungleichungen, Inklusionen, Fixpunktbedingungen oder Dualitäts-
aussagen herzuleiten, die die Behandlung der Approximations- und Optimierungsauf-
gaben ermöglichen und vereinfachen. Viele praktische Aufgabenstellungen führen auf
Optimierungsprobleme,wokeineKonvexitätseigenschaftenerfülltsind.Deshalbwidmen
wir uns auch intensiv nichtkonvexen Aufgabenstellungen. Das angrenzende Gebiet der
OptimalenSteuerungwirdberührt.
Wesentlich ist es, Optimierungsprobleme nicht nur im Rn zu behandeln, das zeigen
schonhistorischfrüheBeispiele,mandenkeanJohannBernoullisBrachystochrone(1696)
oderDidosisoperimetrischeAufgabe.TretenindenOptimierungsaufgabenDifferential-
gleichungen in den Restriktionen (wie zum Beispiel in der Kontrolltheorie) auf, so ist
man oft auf die integrierte Variante der Differentialgleichungen angewiesen und damit
©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH2017 1
A.Göpfert,T.Riedrich,C.Tammer,ApproximationundNichtlineareOptimierungin
Praxisaufgaben,StudienbücherWirtschaftsmathematik,DOI10.1007/978-3-658-14761-7_1