Approximation du bilan économique sous Solvabilité II via des méthodes d'apprentissage ...

145 Pages·2016·5.46 MB·French

by  Arnaud Buzzi

Master Actuariat de Dauphine
Mémoire présenté devant l’Université Paris Dauphine
pour l’obtention du diplôme de Master Actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires
le
Buzzi
Arnaud
Par
Titre Approximation du bilan économique sous Solvabilité II via
des méthodes d’apprentissage automatique et application à l’ORSA
(cid:88)(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
Confidentialité: NON OUI (Durée: 1 an 2 ans)
Lessignatairess’engagentàrespecterlaconfidentialitéci-dessus.
Membresprésentsdujuryde Signatures
l’InstitutdesActuaires
Entreprise:
Nom Sia Partners
Signature
Directeur du mémoire en entreprise:
Membresprésentsdujurydu Signatures
masterActuariatDauphine Nom Khalid JEBBARI
Signature
ff
Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de di usion de docu-
ments actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)
Signature du responsable entreprise
Secrétariat:
Bibliothèque: Signature de l’étudiant
UniversitéParis-Dauphine,PlaceduMaréchaldeLattredeTassigny,75775PARISCedex16

Approximation du bilan économique sous Solvabilité II via
des méthodes d’apprentissage automatique et application à
l’ORSA
Buzzi
Arnaud
Entreprised’accueil:SiaPartners
Encadrant:KhalidJEBBARI M
ResponsablePédagogique:AndréGRONDIN
É
M
O
SiaPartners I
12rueMagellan
Paris,France
R
E

Remerciements
Cemémoireestlefruitd’untravailréaliséauseinducabinetdeconseilSiaPartners.Iln’auraitpas
abouti sans l’aide et l’implication des membres du cabinet et des équipes pédagogiques de l’École
Centrale Paris et du Master Actuariat de l’Université Paris Dauphine, et je tiens à ce titre à tous les
remercier.
Enpremierlieu,jetiensàadressermesplussincèresremerciementsettoutemagratitudeàKhalid
JEBBARI, mon encadrant pour ce mémoire. Rien n’aurait été possible sans son aide, son écoute, sa
disponibilité,sonsoutien,sessuggestions,sesconseilsetsesinnombrablesidées.
Je voudrais également remercier André GRONDIN, qui a encadré ce mémoire pour le compte du
Master Actuariat de l’Université Paris Dauphine. Je le remercie chaleureusement pour ses conseils,
sessuggestionsetsesretours.
Hamza GHRIB, auteur initial du modèle ALM que j’ai utilisé, a toute ma reconnaissance pour la
qualitédesontravail,quim’apermisdedémarrercemémoiresurdebonnesbases.
Je remercie M. Michael DONIO, directeur du service Actuariat de Sia Partners, ainsi que Mme.
DiarraFALL,actuairemanagerenchargedudépartementVie,pourleursdisponibilités,ainsiquele
suivietl’intérêtportéàmestravaux.
J’aimerais aussi remercier tous les membres du service Actuariat/Assurance de Sia Partners pour
l’ambiance chaleureuse et conviviale qu’ils ont su créer, leurs conseils avisés, et tous les échanges
constructifsquenousavonspuavoir,avecenparticulierAmélie,Amine,Angèle,Baptiste,Benjamin,
Clément,Giacomo,Julien,Louis,MoujibetThibault.
Enfin, merci à Valérie FERREBOEUF et à Lionel GABET, responsables respectivement, à l’École
CentraleParis,delaFilièreStratégie&Financeetdel’OptionMathématiquesAppliquées,etàMarc
HOFFMANN, responsable du Master Actuariat de l’Université Paris Dauphine, pour la qualité de
leursenseignements.
I
Résumé
L’Own Risk Solvency Assesment (ORSA), élément central du second pilier de Solvabilité ii, né-
cessite la mise en œuvre de lourds processus de calcul qui laissent souvent trop peu de temps à
l’analyse.Cetétatdefaitestparticulièrementvraienassurancevie,oùl’utilisationdemodèlesAsset
LiabilityManagement(ALM)complexespourprendreenconsidérationlesinteractionsentreactifet
passifdubilanrendlessimulationstrèschronophages.Àcetitre,laréglementationlaisseunegrande
souplessedanslechoixdesméthodes,àconditiond’êtreenmesuredejustifierleurutilisation.Nous
nousdemanderonsdanscemémoiresil’applicationd’algorithmesd’apprentissageautomatiquepeut
concrètementconstitueruncomplémentaucalculquipermettraitdepousserd’avantagelesanalyses
menées,enparticulierdanslecasdel’ORSA.
Les méthodes d’apprentissage automatique supervisé implémentées dans ce mémoire nécessitent
une base de données afin d’être calibrées. Pour les générer, un fonds en euros et une modélisation
ALM simplifiée de ce dernier ont été considérées. Les entrées ont été générées aléatoirement pour
calculerautantdefoisquepossibleBestEstimateofLiabilities(BEL),SolvencyCapitalRequirement
(SCR)etratiodesolvabilité.Unebasede11201observationsaainsiétécréée.
Une procédure d’analyse de modèles d’apprentissage automatique a été mise en œuvre afin de
prédire les trois valeurs mentionnées précédemment. La comparaison de différents modèles, parmi
lesquels le Support Vector Machine, les réseaux de neurones ou les forêts aléatoires, permet de sé-
lectionnerletreeboostingcommemeilleurprédicteur,àtraverssonimplémentationlaplusrécente,
XGBoost.
Après optimisation du paramétrage, le modèle permet de prédire le BEL, le SCR, et le ratio de
solvabilitéavecdeserreursrelativesmoyennessurlesprédictionsrespectivesde0,5%,9%,et9%.
Unautrepointintéressantdelaméthodeestquelenombrededonnéesnécessairesàunecalibra-
tion fournissant des résultats acceptables n’est pas si élevé. À peine 1 000 observations suffisent à
obteniruneerreursuffisammentfaiblepourappliquerlemodèleenconditionsréelles.
Si le modèle par apprentissage automatique n’est pas systématiquement en phase avec les pré-
dictions du modèle ALM, il s’avère être un outil complémentaire appréciable. En effet, la méthode
permet de générer plusieurs centaines de milliers de simulations presque instantanément. Il est de
pluspossibledemontrerque,surungrandnombrederéalisations,tracerladistributiondessorties
dumodèleALMoucelledesprédictionsparapprentissageestéquivalentsouscertainesconditions.
Aufinal,l’enseignementquiémergedecetteétudeestquelesdonnéesissuesdesimulationsALM
sont exploitables à un niveau statistique, et de ce fait, investir dans les technologies permettant de
faire tourner en continu les modèles pour générer des données utilisables s’avérerait un choix judi-
cieux. À défaut, mettre en place un processus robuste de conservation des données de simulations
constitueraitunealternativecrédible,viableetmoinscoûteuse,mêmesilastratégieneporteraitses
fruitsqu’àpluslongterme.
mots-clés : ORSA, Apprentissage automatique, XGBoost, Algorithmes supervisés, Arbres aléatoires,
SCR,BestEstimate,Pilier2,SolvabilitéIIALM,Formulestandard,Fondseuros,Bilan.
II
Abstract
The Own Risk Solvency Assesment (ORSA), key element of the second pillar of Solvency ii, re-
quirestheimplementationofveryheavycalculusprocess,thatpreventfromconductingathorough
analysis.Thisstateofaffairsisespeciallytrueforlifeinsurance,wheretheuseofcomplexAssetLia-
bility Management (ALM) models for taking into account the interactions between the elements of
the balance sheet make simulations very time-consuming. On the subject, the european regulation
is quite flexible on the methods, provided that they are justified. That is why the use of machine
learningalgorithmstoreproducetheALMmodellooksrelevantinordertogofurtherintheORSA.
Supervised learning methods require a database in order to be trained. To create it, a euro fund
withaslightlysimplifiedALMmodelareconsidered.Theentriesarerandomlygeneratedinorderto
calculateasmanytimesaspossiblethevaluesoftheBestEstimateofLiabilities(BEL),theSolvency
Capital Requirement (SCR) and the solvency ratio associated to the fund. A database containing
11,201observationsisthuscreated.
An analysis process for learning models is then implemented in order to predict the three pre-
viously mentioned values. The outcome of the the comparision of different models, which include
SVMs,neuralnetworksorrandomforests,istheselectionofoneofthemostrecentimplementations
oftreeboosting,XGBoost.
Afteroptimizingthecalibration,themodelpredictstheBEL,theSCR,andthesolvencyratiowith
relativeerrorsontherespectivepredictionsof0.5%,9%,and9%.
Anotherinterestingpointofthemethodisthattheamountofdatarequiredforacalibrationgiving
acceptable results is not very high. 1,000 observations are sufficient to get an error low enough to
applythemodeltoarealcase.
EventhoughthelearningmodelhassomedifficultytostayinlinewiththeALMapproach,itpro-
vides the ORSA with a good add-on. Indeed, the method allows to generate hundreds of thousands
of scenarii instantaneously. Moreover, it is possible to show that, on a great number of values and
with certain conditions, reprenting the distribution of the outcome of the ALM model is equivalent
torepresentingtheoutcomeofthemachinelearningproxy.
TheconclusioncomingfromthestudyisthatdatafromALMsimulationscanbeusedtoconstruct
statisticalmodels,andbecauseofthemeaningstheycarry,itisofutmostimportanceforinsurersto
investintechnologiescapableofrunningmodelscontinuouslytogenerateusabledata,oratleastto
setuparobustprocessofdataconservation,inordertobuildpredictivemodels.
keywords:ORSA,MachineLearning,XGBoost,Supervisedalgorithms,Randomtrees,SCR,BestEsti-
mate,Secondpillar,SolvencyII,ALM,Standardformula,Eurofund,Balancesheet.
III
Synthèse
ORSAetApprentissageautomatique
L’Own Risk Solvency Assesment (ORSA) est un outil interne d’analyse stratégique et d’aide à la
décision, dont l’objectif est d’évaluer les risques spécifiques de l’entreprise qui le mène, de manière
prospectiveetcontinue,surunhorizondetempsaumoinségalaupland’activité.Deuxévaluations
particulières,auxquelless’intéressecemémoire,sontréaliséesdansceprocessus:
1. L’évaluation du besoin global de solvabilité de l’entreprise, appelé ORSA annuel dans l’étude.
L’entreprisedéfinitsonprofilproprederisque,listelesmoyensàmettreenœuvrepouryfaire
faceetvérifiequesesrisquessontmaîtriséspourdifférentsscénarios.
2. L’évaluationdurespectpermanentdesobligationsréglementairesconcernantlacouverturedu
Solvency Capital Requirement (SCR), du Minimum Capital Requirement (MCR) et le respect
des exigences concernant le calcul des provisions techniques, appelé ORSA permanent dans
l’étude.
Mener à bien ces deux études nécessite de réaliser de nombreux calculs relatifs au bilan d’une
compagnied’assurance,dufaitdel’obligationd’évaluerplusieursfoisdesgrandeurscommeleBest
Estimate of Liabilities (BEL) ou le SCR. Sachant que la durée du processus permettant d’obtenir ces
valeurs se mesure généralement en jours, il est difficile de réaliser un ORSA de manière exhaustive
etd’effectuerungrandnombredetests.
Unesolutioninnovanteàcetteproblématiqueestl’apprentissageautomatique.Àpartirdedonnées
de simulations déjà réalisées, il est possible de calibrer un modèle capable de prédire la valeur du
BEL, du SCR, ou du ratio de solvabilité d’une entreprise à partir des variables d’entrée du modèle
AssetLiabilityManagement(ALM).Ceprocédépermetd’éliminerlacontraintedetempsinduitepar
lessimulationsrequises,maisauprixd’uneapproximation,généralementd’autantplusgrandeque
le nombre de données disponibles est faible. Ce mémoire s’interroge sur la possibilité d’utiliser des
algorithmes d’apprentissage automatique pour estimer les trois grandeurs évoquées et d’appliquer
lesrésultatsauxdeuxpointsdel’ORSAmentionnés.
ModélisationALM
Afin de mettre en œuvre la démarche suggérée, une modélisation ALM initiale est nécessaire.
Étant donné que c’est en assurance vie que les calculs liés au bilan d’un assureur sont les plus com-
plexes, à cause des relations qui existent entre actif et passif, l’étude s’intéressera au cas d’un fonds
en euros. Bien que des hypothèses fortes et parfois trop simplificatrices d’un point de vue métier
IV
soient prises, la modélisation ALM développée présente un niveau de complexité suffisant pour la
considérer pertinente par rapport aux standards actuels du marché. Le SCR est calculé à l’aide de
la formule standard. Parmi les limitations les plus significatives se trouvent l’absence d’ajustement
danslaformulestandardetlerassemblementenuneuniqueobligationdel’ensembleduportefeuille
obligataire.
(a)Bilancomptable (b)Bilanéconomique
Figure1–Modélisationdubilan
La figure 1 présente les bilans comptable et économique associés au fonds en euros étudié. Ces
bilans sont simplifiés, et nombre d’éléments pourtant importants, comme la Provision pour Risque
d’ExigibilitéetlaRiskMargin(RM),sontomis.Laformulestandardestquantàelleimplémentéeen
agrégeantlessous-modulesderisquesprésentésparlafigure2.
Figure2– Agrégationdesdifférentssous-modulesdeSCRdanslecadreétudié
Les entrées du modèle ALM sont alors générées aléatoirement, avant que ne leur soit appliqué
leditmodèle,pourconstituerunebasededonnéesregroupant11201observationsduBEL,duSCR
etduratiodesolvabilitédufondsétudié.
V
Apprentissageautomatiquesuperviséetcomparaisondemodèles
L’apprentissage automatique supervisé consiste à utiliser un ensemble d’observations, pour les-
quelleslesentréesetlessortiesd’unmodèlesous-jacentsontconnues,afindeconstruireunefonction
de prédiction des sorties au regard des entrées. La fonction de prédiction est calibrée en choisissant
parmilesélémentsd’unsous-espacefonctionnelcaractériséparletyped’algorithmemisenœuvre.
Plusieursclassesd’algorithmessontalorstestées:
(cid:3) Lesmodèleslinéairesgaussiens,quisupposentunefonctiondeprédictionlinéaireparrapport
àchacunedesvariables.
(cid:3) Lesréseauxdeneurones,inspirésdufonctionnementdesneuronesbiologiques.
(cid:3) LesSéparateursàVasteMarge,quireposentsuruneséparationoptimaledesvariables.
(cid:3) Les algorithmes CART, qui supposent que la fonction de prédiction est un arbre de décision
binaire.
(cid:3) Lesforêtsaléatoiresetlebagging,agrégationsdeplusieursarbresCARTindépendants.
(cid:3) Le tree boosting, qui est aussi une agrégation d’arbres, mais interdépendants, à travers sont
implémentationlaplusrécente:XGBoost.
Afin de comparer les capacités prédictives des modèles, la base de données est scindée en deux :
80% des observations serviront à calibrer les modèles, et les 20% restantes serviront à les évaluer.
Lestermesapprentissageettestserontrespectivementemployéspourlesdésigner.
n pourcentage234 lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll llllllllll lllll n pourcentage2300 llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll n pourcentage2300 llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
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Err1 Err10 Err10
0 0 0
XGRBéosoesatu Neuronal SFVoMrêt aléatoire BagMgiondgèle linéaire CART XGBoost RéSsVeMau Neuronal BaggFionrgêt aléatoire CMARodTèle linéaire XGBoost RéSsVeMau Neuronal BaggFionrgêt aléatoire CMARodTèle linéaire
Modèle Modèle Modèle
(a)PourleBEL (b)PourleSCR (c)Pourleratiodesolvabilité
Figure3–Comparaisondesmodèles
Lafigure3comparelesrésultatsdechaquealgorithmeenfournissantl’erreurenpourcentagesur
chacune des observations de la base de test pour les trois grandeurs d’intérêt. Dans tous les cas,
XGBoostestlemodèleleplusperformant.
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